用欣賞的眼光看數(shù)學(xué)

龔輝

【摘要】數(shù)學(xué)難學(xué)似乎是不爭(zhēng)的事實(shí)，破解這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，懂得欣賞數(shù)學(xué).本文由淺入深地探究了在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中展現(xiàn)數(shù)學(xué)美的方法，使學(xué)生能夠感受和欣賞數(shù)學(xué)美，從而把數(shù)學(xué)的美育功能真正落實(shí)在數(shù)學(xué)課堂上.

【關(guān)鍵詞】欣賞;數(shù)學(xué)欣賞

數(shù)學(xué)能被欣賞嗎？大家會(huì)說(shuō)：數(shù)學(xué)是一堆枯燥的數(shù)字和公式、抽象的概念和定理和解不完的數(shù)學(xué)題.看來(lái)，數(shù)學(xué)是談不上欣賞.這就是目前數(shù)學(xué)教學(xué)的尷尬——數(shù)學(xué)不好學(xué)，也不好教！

怎么辦？

數(shù)學(xué)的抽象性就像一堵高墻，把美的數(shù)學(xué)世界和大家隔絕了.數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生將數(shù)學(xué)分為“教育形態(tài)的數(shù)學(xué)”和“學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)”.作為一線教師，如何將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)教得有血有肉、生動(dòng)活潑，發(fā)揮數(shù)學(xué)的教育功能，是數(shù)學(xué)欣賞的重任，也是使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

下面筆者從欣賞數(shù)學(xué)美的三個(gè)層次談一點(diǎn)體會(huì).

一、美 觀

這主要是數(shù)學(xué)對(duì)象以形式上的對(duì)稱、和諧、簡(jiǎn)潔，給人的感官帶來(lái)美麗、漂亮的感受.

幾何學(xué)常常帶給人們直觀的美學(xué)形象.幾何圖形中“圓”是全方位對(duì)稱圖形，美觀、勻稱.從“一石激起千層浪”到“大漠孤煙直，長(zhǎng)河落日?qǐng)A”，以及畢達(dá)哥拉斯學(xué)派說(shuō)：“顯然，在一切平面圖形中，圓是最美的”.

在代數(shù)方面也很多.例如，（a+b）·n=a·n+b·n;ba·dc=bdac;a+b=b+a;（a·b）n=an·bn等.這些公式和法則非常對(duì)稱與和諧，同樣給人以美觀感受.

二、美 好

“美觀”的數(shù)學(xué)對(duì)象，必須進(jìn)到“美好”的層次，才真正跳出淺層次的欣賞角度.圓，從結(jié)構(gòu)上看是極其美觀的，從性質(zhì)上看它也十分美好.世間萬(wàn)物都在變化之中，但只說(shuō)事物在“變”，不說(shuō)明什么問(wèn)題，科學(xué)的任務(wù)是要找出“變化中不變的規(guī)律”.“圓”中的許多定理和結(jié)論，例如，圓周角定理就是一種典型的運(yùn)動(dòng)不變性.這是一個(gè)多么美妙的結(jié)論.又如，韋達(dá)定理，一元二次方程有無(wú)窮多個(gè)，各個(gè)方程對(duì)應(yīng)的根（若存在）也有很多，韋達(dá)定理則是架設(shè)在已知和未知之間溝通天塹之橋.難怪張奠宙先生這樣點(diǎn)評(píng)：“求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，好比猜謎.一個(gè)好的謎語(yǔ)，謎面是已知的信息，謎底則是我們尋求的與謎面相適應(yīng)的未知結(jié)果.大自然給我們展示了謎面，而把謎底留給人們?nèi)ヌ剿?人類的智慧就是在探索和解釋大自然謎底的過(guò)程中展現(xiàn)出來(lái)的.韋達(dá)定理顯示了人類智慧的‘大美，它沒(méi)有可供視覺(jué)欣賞的美感，卻有震動(dòng)心靈令人叫好的美覺(jué)”.

不美觀的數(shù)學(xué)對(duì)象其實(shí)很多.例如，一元二次方程的求根公式，不對(duì)稱、不和諧、不美觀.但是，當(dāng)我們了解它、運(yùn)用它時(shí)，就會(huì)感到它的價(jià)值.和韋達(dá)定理一樣，它的“內(nèi)秀”在于揭示了根的萬(wàn)能求法，而有趣的是，數(shù)學(xué)家由此嘗試一元高次方程的求根公式，除了一元三次方程外，其他的方程居然不能通過(guò)各項(xiàng)系數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和乘方、開(kāi)方運(yùn)算得到.所以說(shuō)，數(shù)學(xué)中有的結(jié)論你會(huì)覺(jué)得它形式上很難看，但本質(zhì)卻是美好的.

在課堂教學(xué)中，外觀上美觀的數(shù)學(xué)結(jié)果，我們有時(shí)還會(huì)說(shuō)一說(shuō)，但是有些不美觀，但實(shí)際上非常美好的東西往往避而不談.

三、美 妙

美妙的第一個(gè)層面是巧妙.

不論是幾何或是代數(shù)，一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論如鬼斧神工，渾然天成.例如，三角形的3條高都交于一點(diǎn)、九點(diǎn)圓等，這些都是很美妙、令人驚奇的結(jié)論.如前面提到的一元二次方程的求根公式，恰好用到了中學(xué)階段的六個(gè)基本運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方和開(kāi)方，“意料之外”卻又“情理之中”.

我們都會(huì)有那樣的感受：一條輔助線使無(wú)從著手的幾何題豁然開(kāi)朗，一個(gè)技巧使百思不得其解的不等式證明得以通過(guò).這時(shí)的快樂(lè)與興奮真是難以形容，也許只有用一個(gè)“妙”字加以概括.

美妙的第二個(gè)層面是精妙.

愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)“為什么數(shù)學(xué)比其他一切學(xué)科受到特殊的尊重？理由之一是數(shù)學(xué)命題的絕對(duì)可靠性和無(wú)可爭(zhēng)辯性.至于其他各個(gè)學(xué)科的命題則在某種程度上都是可爭(zhēng)辯的，經(jīng)常處于會(huì)被新發(fā)現(xiàn)的事實(shí)推翻的危險(xiǎn)之中”.精妙在于數(shù)學(xué)的理性精神，既要講推理，更要講道理.例如，三角形的內(nèi)角和是180?，拼一拼、量一量算不算數(shù)，到底要不要證明？對(duì)頂角相等這種一望而知的命題要不要證明等.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家認(rèn)為這些近乎公理，所以避而不談，只管應(yīng)用.而古希臘數(shù)學(xué)家認(rèn)為需要證明，而且使用“等量減等量其差相等”的公理加以證明.兩相對(duì)照，才知道古希臘理性精神的偉大.徐光啟看到利瑪竇傳入的《幾何原本》后，發(fā)現(xiàn)其嚴(yán)密的邏輯體系、敘述方式和中國(guó)傳統(tǒng)的《九章算術(shù)》完全不同，被這種數(shù)學(xué)理性精神所震撼，認(rèn)為：“竊百年之后，必人人習(xí)之”“以當(dāng)百家之用”.

從“顯然正確因而，不必證明”，到“崇尚理性需要證明”，是一次思想上的飛躍，也是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的一個(gè)本質(zhì)特點(diǎn).

美妙的第三個(gè)層面是奇妙.

數(shù)學(xué)美的“高端”欣賞在于：在看不見(jiàn)數(shù)學(xué)的地方運(yùn)用了數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)與人文意境的溝通.

二次大戰(zhàn)后的美國(guó)出現(xiàn)的三項(xiàng)偉大成就：維納（NorbertWiener）發(fā)表的《控制論》、香農(nóng)（ClaudeShannon）發(fā)表的《信息論》和馮·諾依曼（JohnvonNeumann）的計(jì)算機(jī)方案.其實(shí)，令人折服的不僅是他們?nèi)齻€(gè)人在1948年不約而同地做出了創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)，而是這三項(xiàng)成就，不是通常我們所解決的那些數(shù)學(xué)問(wèn)題.普通人無(wú)法想象：打電報(bào)傳送的信息，可以是數(shù)學(xué)研究的對(duì)象;用大腦控制手去拾地上的鉛筆，可以構(gòu)成“數(shù)學(xué)控制論”;研究數(shù)字電子計(jì)算機(jī)會(huì)改變時(shí)代的發(fā)展.因此，在看起來(lái)“沒(méi)有數(shù)學(xué)問(wèn)題”的地方發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，那就是“大”的數(shù)學(xué)創(chuàng)造.

“無(wú)邊落木蕭蕭下，不盡長(zhǎng)江滾滾來(lái)”將“無(wú)限”刻畫(huà)得栩栩如生：“無(wú)邊落木”指“所有的落木”，是實(shí)無(wú)限的集合;“不盡長(zhǎng)江”則是潛無(wú)限，它沒(méi)完沒(méi)了，不斷地“滾滾”而來(lái).正好契合了線段上無(wú)限個(gè)點(diǎn)和直線上無(wú)限個(gè)點(diǎn)的區(qū)別.

研究數(shù)學(xué)的意境，就像張奠宙先生做數(shù)學(xué)如解謎一般，丘成桐教授看數(shù)學(xué)如讀史書(shū)一般.達(dá)到這一步，學(xué)生才算真正感受到數(shù)學(xué)美的真諦，被數(shù)學(xué)所吸引，喜歡數(shù)學(xué)，熱愛(ài)數(shù)學(xué).