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    以圓為背景的比值問題

    2019-11-16 02:46:04文洪高峰
    初中生世界 2019年39期
    關(guān)鍵詞:圓周角等腰三角直角三角形

    文洪高峰

    (作者單位:江南大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué))

    圓具有軸對(duì)稱性、中心對(duì)稱性以及旋轉(zhuǎn)不變性,有很多性質(zhì)隱藏其中,千變?nèi)f化。在圓背景下,解決比值類問題具有一定難度,需要同學(xué)們具備綜合分析和靈活運(yùn)用的能力??v觀近年中考試題,多地考查“以圓為背景的比值問題”,不少問題作為壓軸題呈現(xiàn),能較好地考查同學(xué)們的綜合素養(yǎng)。下面結(jié)合具體問題,談一談如何解決此類問題。

    例1 (2019·蘇州)如圖1,AB為⊙O的直徑,D是弧BC的中點(diǎn),BC與AD、OD分別交于點(diǎn)E、F。

    圖1

    (1)求證:DO∥AC;

    (2)求證:DE·DA=DC2;

    【分析】第(1)問根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及等弧所對(duì)的圓心角相等、等腰三角形三線合一定理即可求解;第(2)問利用等弧所對(duì)的圓周角相等及相似形知識(shí)求解;第(3)問三角函數(shù)值作為求解的條件和結(jié)論,本質(zhì)是運(yùn)用和探求比值。因?yàn)槌踔袛?shù)學(xué)中三角函數(shù)的定義與運(yùn)用都是借助直角三角形,所以尋找、構(gòu)造直角三角形就顯得尤為重要。我們通過補(bǔ)齊圖形,把問題放在等腰三角形和直角三角形中,先利用比值設(shè)輔元,再利用等面積法、勾股定理求線段長,最終問題得以解決。

    (1)證明:如圖2,連接OC,

    ∴∠COF=∠BOF。

    又∵OC=OB,

    ∴OD⊥BC,即∠OFB=90°,

    ∵AB為⊙O的直徑,

    ∴∠ACB=90°,∴∠OFB=∠ACB,

    ∴DO∥AC。

    圖2

    (3)解:如圖3,連接BD并延長,交AC的延長線于點(diǎn)G。

    圖3

    【點(diǎn)評(píng)】三角函數(shù)值作為條件和求解結(jié)論,相當(dāng)于知道一個(gè)比值,求另一個(gè)比值。根據(jù)三角函數(shù)的定義,要將問題放置在直角三角形中解決,所以首先想到的是尋找直角三角形或構(gòu)造直角三角形。比值作為條件,可以利用比值設(shè)輔助未知數(shù);比值作為求解結(jié)論,可以在某一直角三角形中求相關(guān)邊長,然后再求比值。

    例2 (2019·連云港)如圖4,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以點(diǎn)C為圓心作⊙C與直線BD相切,點(diǎn)P是⊙C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AP交BD于點(diǎn)T,則的最大值是 ____。

    圖4

    【分析】此題求比值的最大值,難度偏大。如圖5,如果作P雖可以轉(zhuǎn)化,但于事無補(bǔ)。所以嘗試將問題轉(zhuǎn)化,將求如圖6,作PG∥AD,將比值轉(zhuǎn)化成,由于AD是定值,則比值的最值問題就最終轉(zhuǎn)化為線段的最值問題,再作PQ⊥BD,進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為⊙C上的點(diǎn)到直線BD上的點(diǎn)的最大距離問題。

    圖5

    圖6

    解:如圖6,作PG∥AD,交BD于點(diǎn)G,

    作PQ⊥BD,垂足為Q,

    作CE⊥BD,垂足為E,

    【點(diǎn)評(píng)】此題是將比值的最值問題,通過構(gòu)造平行線,轉(zhuǎn)化為其他線段的比值問題。利用已知條件中線段長,進(jìn)一步將比值的最大值問題轉(zhuǎn)化為線段的最大值問題,最后通過作垂線轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與已知直線上的點(diǎn)之間的最大距離問題。同樣,我們可以過點(diǎn)P作AB的平行線進(jìn)行轉(zhuǎn)化,請(qǐng)同學(xué)們自行完成。

    在圓的背景下探求比值,雖說有一定難度,但是問題本身指向非常明確,主要使用轉(zhuǎn)化思想將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題。上面兩個(gè)典型例題或通過設(shè)輔助未知數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為求未知數(shù)之間的關(guān)系問題,或化動(dòng)為定,將求比值的最值問題轉(zhuǎn)化為求線段的最值問題。轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想,包含了數(shù)學(xué)特有的數(shù)、形、式的相互轉(zhuǎn)換,同學(xué)們要善于運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想與方法化繁為簡,化難為易。

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