復(fù)習課“三個關(guān)注”：目標、教材與“考向”
——以“二次函數(shù)與一元二次方程”復(fù)習課為例

江蘇省射陽縣陳南初級中學 倉 猛

最近筆者有機會參加一次初三專題復(fù)習研討活動，研究課的課題是“函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系”，由于該課題內(nèi)容過于寬泛、指向不夠精準，所以幾位上課教師課堂的一個顯著不同就是在“教什么”上有較大的差異，有些課例開課情境像新授課的情境導入，有些課例大多的教學時間用在一些全國各地中考較難題的講評上.可見復(fù)習課“教什么”確實是一個值得深入研究的教研話題.為此，筆者經(jīng)過認真思考，將這節(jié)課的功能定位為一節(jié)復(fù)習課.聚焦二次函數(shù)內(nèi)容，將課題明確為“二次函數(shù)與一元二次方程”的復(fù)習課，以下本著教學研討的興趣愛好，先給出這節(jié)課的教學設(shè)計，再提出復(fù)習課的“三個關(guān)注”（關(guān)注目標、教材及地區(qū)“考試風向”），供研討.

一、“二次函數(shù)與一元二次方程”復(fù)習課教學設(shè)計

教學環(huán)節(jié)（一） 定義出發(fā)

問題1：一元二次方程的一般形式是什么？二次函數(shù)的一般形式是什么？你覺得它們之間有怎樣的聯(lián)系？

教學預(yù)設(shè)：學生很快能說出ax2＋bx＋c=0（a≠0），y=ax2＋bx＋c（a≠0）.進一步梳理它們之間的關(guān)系，如一元二次方程的根的幾何意義（拋物線與x軸的公共點的橫坐標），知道拋物線與x軸的三種位置關(guān)系對應(yīng)著一元二次方程的根的三種情況.

還可進一步引導學生回顧梳理出一元二次方程根的判別式Δ=b2-4ac的不同取值，對應(yīng)著方程根的情況與對應(yīng)的拋物線與x軸的交點的個數(shù).

教學環(huán)節(jié)（二） 基礎(chǔ)過關(guān)

問題2：不畫圖像，判斷下列函數(shù)的圖像與x軸是否有公共點，如果有，寫出公共點的坐標.

（1）y=x2＋2x＋3；（2）y=x2-2x-3.

問題3：下列情形中，如果a＞0，拋物線y=ax2＋bx-3的頂點在什么位置？

（1）方程ax2＋bx=3有兩個不等的實數(shù)根；

（2）方程ax2＋bx=3有兩個相等的實數(shù)根；

（3）方程ax2＋bx=3無實數(shù)根.

教學預(yù)設(shè)：問題2改編自蘇科版教材習題，問題3改編自人教版教材習題，學生思考之后在小組內(nèi)先交流核對，然后選派代表上臺講解，教師追問其他學生是否理解，必要時進行復(fù)述，防止重要內(nèi)容“一帶而過”（見參考文獻［1］）.

教學環(huán)節(jié)（三） 變式探究

問題4：平面直角坐標系xOy中，若拋物線y=mx2-6x＋1的頂點恰落在x軸上，求m的值.

教學預(yù)設(shè)：對于問題4，學生應(yīng)該能很快由根的判別式為0解出，接著在PPT上出示問題4的兩種不同的設(shè)問呈現(xiàn)方式，引導學生感受一題多變、多題歸一.

變式1：若二次函數(shù)y=mx2-6x＋1的圖像與x軸只有一個公共點，求m的值.

變式2：若拋物線y=mx2-6x＋1的最低點恰在x軸上，求m的值.

講評時注意引導學生體會理解變式1、2與問題4本質(zhì)上是“一樣的問題”.

變式3：平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=x2＋2x＋m2＋2m＋2與x軸有公共點，求m的值.

教學預(yù)設(shè)：由題意知Δ=22-4（m2＋2m＋2）=-4（m＋1）2≥0.則（m＋1）2≤0.又（m＋1）2≥0，解得m=-1.這道習題學生一開始運算時可能誤認為只能求出m的取值范圍，隨著運算變形的深入，會配方出現(xiàn)一個完全平方式的相反數(shù)形式，于是就能確定m的值.

問題5：已知二次函數(shù)y=2（x-1）（x-m-3）（m為常數(shù)）.

（1）小洲經(jīng)過演算發(fā)現(xiàn)：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點.請判斷小洲的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由.

（2）當m取什么值時，該函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸的上方？

教學預(yù)設(shè)：本題改編自2018年南京中考數(shù)學卷第24題.對于第（1）問，只要令y=0，得方程2（x-1）（x-m-3）=0.解得x1=1，x2=m＋3.所以，不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點.當然，也可以將二次函數(shù)整理成一般式，再計算根的判別式.對于第（2）問，當x=0時，y=2m＋6，即該函數(shù)的圖像與y軸的交點的縱坐標是2m＋6.當2m＋6＞0，即m＞-3時，該函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸的上方.這里提到了不等式，接下來就以不等式問題拓展學生的理解.

問題6：畫出二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像，并借助圖像分析不等式x2-2x-3＜0的解集.

教學預(yù)設(shè)：前面教學過程中一直都沒有要求學生先畫圖訓練，這里開始安排學生畫出圖像，通過觀察圖像能直接看出圖像的哪一段在x軸下方，對應(yīng)著自變量x的取值范圍.這個問題解決之后，可給出變式問題.

變式1：借助函數(shù)圖像分析不等式x2-2x-3＞0的解集.

變式2：借助函數(shù)圖像分析不等式x2-2x＞3的解集.

變式3：借助函數(shù)圖像分析不等式x2＞2x＋2的解集.

教學預(yù)設(shè)：變式1、2都能直接轉(zhuǎn)化為問題6“讀”出解集.對于變式2，還可引導學生在同一平面直角坐標系中分析拋物線y=x2-2x與直線y=3相交的情況，分析出它們的交點的橫坐標分別為-1、3，也可結(jié)合圖像直觀寫出解集.變式3有一定的難度，學生可能會有如下轉(zhuǎn)化方式，比如，將不等式x2＞2x＋2轉(zhuǎn)化為求x2-2x-2＞0，可以分析拋物線y=x2-2x-2與x軸的公共點，然后觀察該拋物線在x軸上方的部分所對應(yīng)的x的取值范圍.也可以分析y=x2-2x與直線y=2相交（如圖1），相應(yīng)的，找出拋物線y=x2-2x在直線y=2上方時對應(yīng)的自變量的取值范圍.還可分析y=x2與直線y=2x＋2相交（如圖2），相應(yīng)的，找出拋物線在直線上方時對應(yīng)的自變量的取值范圍.這里比較抽象晦澀，多數(shù)學生可能理解上有困難，需要讓能理解的學生到黑板上進行演示、講解，既加深這些學生的理解，又能促進其他學生的理解.

圖1

圖2

一道開放題：在二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c中，x與y的部分對應(yīng)值如表1所示：

表1

你能解讀出哪些信息？

教學預(yù)設(shè)：二次函數(shù)的解析式可以求出來，然后就能判定圖像的開口方向、頂點坐標、對稱軸等.在學生交流之后可預(yù)設(shè)如下說法，參與辨析正誤，并說明理由.

（1）圖像開口向下；（2）圖像的頂點坐標為（1，3）；（3）當x=4時，y的值為-3；（4）-1是方程ax2＋bx＋c＋3=0的一個根；（5）不等式ax2＋bx＋c＋3＞0的解集為x＜-1或x＞4.

設(shè)計意圖：本題改編自該地區(qū)近年來中考二模試卷的一道選擇把關(guān)題，（2）是學生的易錯點；（4）、（5）對應(yīng)著本課復(fù)習的重點內(nèi)容.學生判斷正誤之后，要安排學生上臺畫圖示意、演示講解，教師“相機追問”（見參考文獻［2］），讓更多學生學會“形數(shù)互助”解決這類問題.

教學環(huán)節(jié)（四） 課堂小結(jié)

引導學生小結(jié)梳理本課主要內(nèi)容，得出如下歸納：

（1）一元二次方程ax2＋bx＋c=0的實數(shù)根對應(yīng)著二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖像與x軸的公共點的橫坐標；

（2）一元二次方程ax2＋bx=k的實數(shù)根對應(yīng)著拋物線y=ax2＋bx與直線y=k的公共點的橫坐標；

（3）一元二次方程ax2=kx＋b的實數(shù)根對應(yīng)著拋物線y=ax2與直線y=kx＋b的公共點的橫坐標.

學情反饋練習：已知二次函數(shù)y=x2-（m＋2）x＋2m-1.

（1）求證：不論m取何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點.

（2）若該函數(shù)的圖像與y軸交于點（0，3），

①求圖像與x軸的公共點的坐標；

②當0＜x＜5時，分析y的取值范圍；

③當y＜0時，直接寫出自變量的取值范圍.

教學組織：這道反饋練習題安排10分鐘（不一定占用課堂時間，也可是學生課后作業(yè)）讓學生限時獨立解答，然后收交批閱，反饋學生在該課所學的達成度.

二、值得重視的復(fù)習課“三個關(guān)注”

（一）復(fù)習課需要關(guān)注和明辨復(fù)習目標與重點

我們知道，有些復(fù)習課只是簡單地羅列知識點，“復(fù)制”或選編一些各地區(qū)貌似相關(guān)的考題.這類復(fù)習課的主要問題是對復(fù)習課的課時目標沒有想清辨明，就匆忙選題，所選習題也缺少深入思考，對習題的內(nèi)容效度、解法要領(lǐng)沒有達到深刻理解，所以容易出現(xiàn)偏離復(fù)習目標或復(fù)習主線的現(xiàn)象.以本文中的課例來說，復(fù)習二次函數(shù)與一元二次方程，就需要認真思考這節(jié)復(fù)習課的目標如何確定，教材上此前學習時涉及了哪些內(nèi)容，是面面俱到地重復(fù)教材，還是有的放矢并重點突出，需要全面考慮、果斷決策.從上面的課例可見，復(fù)習重點是二次函數(shù)與一元二次方程之間的“對應(yīng)”關(guān)系（特別是基于“根的判別式”之間的聯(lián)系），并從“常數(shù)”系數(shù)拓展到含參數(shù)系數(shù)，讓學生經(jīng)歷從特殊到一般的研究路徑.

（二）復(fù)習課選題要關(guān)注教材經(jīng)典例題和習題

當前，不少專家、名師都在批判“離開教材搞教學”的現(xiàn)象，對于過分依賴使用所謂“習題單式導學案”開展新授課教學有一定的警示作用.然而復(fù)習課“離開教材”開展習題教學的現(xiàn)象更加普遍.我們認為，復(fù)習課更要重視教材上相關(guān)經(jīng)典問題的選編，因為復(fù)習的目的一方面是防止遺忘、深化理解，另一方面是為“備考應(yīng)試”，各地中考、地區(qū)期末考試或模考都強調(diào)要重視回歸教材，如果在復(fù)習課上忽略對教材上經(jīng)典問題的變式再練，顯然選題的內(nèi)容效度、復(fù)習效率也難有保證.這也是在上面課例中選編“問題2～3”的主要教學立意.

（三）應(yīng)試教學背景下復(fù)習要關(guān)注本地區(qū)中考

應(yīng)試備考是當前繞不開的一個現(xiàn)實話題，這也要求我們在復(fù)習課備課時要充分關(guān)注“考向”（即地區(qū)考試風向），特別是本地區(qū)的“考向”.因為各地區(qū)的中考試卷常常風格差異很大，如果備考師生盲目使用或依賴市場上面向全國發(fā)行的一些所謂的教輔資料，則師生都會“掉進題?！?、痛苦不堪，因為這類資料通常為了適合全國、發(fā)行面更廣，于是選題就“面向”全國各地幾百套中考試卷進行試題選編，有很多試題的呈現(xiàn)方式、考查難點或題型并不是本地區(qū)的命題要求.所以，教師在備課時需要認真研究本地區(qū)中考近年來的考試“風向”，然后在選題改編時有針對性地開展精準選題，帶領(lǐng)學生復(fù)習備考.上面課例中的問題4～6，包括各個問題后面的系列變式問題，還有學情反饋練習，都是圍繞著本地區(qū)近年來中考命題“風向”進行選編的.想來，基于精準選題的復(fù)習備考也應(yīng)該成為切實減輕學生過重課業(yè)負擔的重要方式之一吧.