例談數(shù)學(xué)思想方法的滲透
——以“有理數(shù)”的章節(jié)教學(xué)為例

江蘇省南通市崇川學(xué)校 薛海林

基于初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)的視角，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容一方面需符合社會(huì)的需求和學(xué)科的特質(zhì)，另一方面還需與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律相統(tǒng)一，它需囊括數(shù)學(xué)結(jié)論、結(jié)論的形成過程及數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，源自知識(shí)與方法，卻又高于具體的知識(shí)與方法，也就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種抽象概括.學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐、自主探究和合作學(xué)習(xí)的過程中，不斷積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想.因此，對(duì)于初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)而言，數(shù)學(xué)思想的滲透應(yīng)融合在教與學(xué)的過程中.

初中生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)不夠完善，認(rèn)知水平也較為薄弱，這就要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中找尋適宜的切入點(diǎn)不斷滲透和提煉，使之既能成為教與學(xué)的有效指導(dǎo)，又能有效促進(jìn)初中生的有效發(fā)展.本文中，筆者以“有理數(shù)”這一章節(jié)的教學(xué)為媒介，以實(shí)踐探究為手段，在數(shù)學(xué)思想方法方面做些嘗試性闡述.

一、分類思想

所謂分類思想，就是基于事物本質(zhì)屬性的差異，把問題分為不同類別.換句話說，就是根據(jù)教學(xué)對(duì)象的共性與異性，將相同屬性的歸為一類，不同屬性的歸為另一類.分類思想是初中數(shù)學(xué)中運(yùn)用較為廣泛的一種重要數(shù)學(xué)思想，教材中不少問題的處理都是采用分類思想加以敘述的.本章節(jié)中引入了新知識(shí)“比0小的數(shù)——負(fù)數(shù)”，數(shù)的范圍也擴(kuò)展到了有理數(shù).字母a可以表示任何一個(gè)有理數(shù)，探究數(shù)a則需恰當(dāng)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)按照數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類.

例1若a為有理數(shù)，-a一定為負(fù)數(shù)嗎？

解：（1）當(dāng)a＞0時(shí)，-a＜0；

（2）當(dāng)a=0時(shí)，-a=0；

（3）當(dāng)a＜0時(shí)，-a＞0.

分析：從解題過程可以看出，后兩種情況中-a都不為負(fù)數(shù).這一問題作為代數(shù)分類思想的“出發(fā)點(diǎn)”，教師要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)分類意識(shí).

例2當(dāng)|a|=3時(shí)，a的值為多少？

解：（1）當(dāng)a＞0時(shí)，由|a|=3，得a=3；

（2）當(dāng)a＜0時(shí)，由|a|=3，得a=-3.

例3若a、b是有理數(shù)，且ab≠0，請(qǐng)?jiān)囍_定代數(shù)式的值有幾種情況.

解：（1）當(dāng)a＞0、b＞0時(shí)，代數(shù)式的值為3；

（2）當(dāng)a＜0、b＜0時(shí)，代數(shù)式的值為-1；

（3）當(dāng)a＞0、b＜0或a＜0、b＞0時(shí)，代數(shù)式的值為-1.

所以，代數(shù)式的值共有兩個(gè).

分析：絕對(duì)值的概念是初中概念中需要重點(diǎn)掌握的概念之一，其代數(shù)定義是分段出示的.在上述情況下，學(xué)生在解決與絕對(duì)值相關(guān)的問題時(shí)需要求絕對(duì)值，那么就需要從絕對(duì)值的定義出發(fā)，進(jìn)行分類討論.在進(jìn)行分類時(shí)，需統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，克服思維的片面性，要滿足不重復(fù)和無遺漏的原則，讓分類中的每個(gè)對(duì)象僅屬于其中的一類.

二、數(shù)形結(jié)合思想

恩格斯曾這樣定義數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué).因此，數(shù)形結(jié)合思想完美展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧統(tǒng)一.它是借助“形”的直觀、整體、與幾何性質(zhì)相關(guān)等優(yōu)勢(shì)，以及“數(shù)”的精確和良好的運(yùn)算數(shù)學(xué)及代數(shù)背景，有效地轉(zhuǎn)化問題，實(shí)現(xiàn)解決問題的一種思想方法.其實(shí)質(zhì)就是將問題中抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形結(jié)構(gòu)相融合，進(jìn)而找尋解題思路的一種思想方法.

在學(xué)習(xí)完利用數(shù)軸表示有理數(shù)這一內(nèi)容后，建構(gòu)了“數(shù)”與“形”之間的橋梁，賦予了抽象數(shù)學(xué)關(guān)系直觀意義.在教學(xué)“有理數(shù)”這一內(nèi)容時(shí)，就可以進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透.

例4有理數(shù)a和b在數(shù)軸上的大概位置如圖1所示，請(qǐng)?jiān)囍?jiǎn)：|a-b|和|a+b|.

圖1

分析：此例中充分運(yùn)用數(shù)軸可以將絕對(duì)值的幾何意義表達(dá)清楚.再如，在有理數(shù)加法法則和乘法法則的教學(xué)中，教師也可通過數(shù)軸形象、直觀地幫助學(xué)生去理解和掌握概念的本質(zhì).

三、化歸思想

所謂化歸思想，即面對(duì)要解決的問題，通過某種手段或策略，將問題轉(zhuǎn)化為基于思想的方法.化歸思想本著化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化高次為低次的“層層剝筍式”原則，使問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題.基本過程如圖2所示：

圖2

①有理數(shù)的大小：在分類后，可以將相同符號(hào)的兩個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成其絕對(duì)值（即正有理數(shù)）再比較兩個(gè)數(shù)的大??；②有理數(shù)的加法、乘法、乘方：確定結(jié)果的符號(hào)后，根據(jù)小學(xué)階段學(xué)生熟悉的非負(fù)有理數(shù)確定結(jié)果的絕對(duì)值；③有理數(shù)的減法：改變減數(shù)的符號(hào)后，將其轉(zhuǎn)化成有理數(shù)的加法，使計(jì)算更為簡(jiǎn)單；④有理數(shù)的除法：首先將除數(shù)改為倒數(shù)，然后將其轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的乘法，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

綜上所述，解決數(shù)學(xué)問題的過程其實(shí)就是將新知轉(zhuǎn)化為舊知，實(shí)現(xiàn)問題解決的過程.

四、方程思想

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生開始實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)型，由記憶型向理解型逐步轉(zhuǎn)化，學(xué)生的理解水平也穩(wěn)步提升，在這個(gè)階段，教師需逐步訓(xùn)練學(xué)生的理解能力，而方程思想的滲透對(duì)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)起著關(guān)鍵性的作用.方程思想就是利用方程去解決一個(gè)問題.

例5若a-3和b+5互為相反數(shù)，請(qǐng)嘗試求出代數(shù)式7-3a-3b的值.

在解決此問題時(shí)，從已知條件出發(fā)，可以找出與a和b相關(guān)的關(guān)系式，也就是方程：（a-3）+（b+5）=0.由此得出a+b=-2.

7-3a-3b=7-3（a+b）.將a+b=-2整體代入后，即可得出代數(shù)式的值.

“有理數(shù)”這一章中，涉及多個(gè)數(shù)學(xué)思想的滲透，在這里不再一一列舉了.

作為一名初中教師，課堂教學(xué)就是引領(lǐng)學(xué)生思維活動(dòng)的教學(xué)，也是滲透數(shù)學(xué)思想方法的過程.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和精華.因此，在教學(xué)中，教師需要找到滲透數(shù)學(xué)思想方法的途徑，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，能啟發(fā)學(xué)生的思維，揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì).只有經(jīng)過反復(fù)訓(xùn)練和持續(xù)改進(jìn)的過程，學(xué)生才能形成自己的數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用意識(shí)，建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng).只有這樣，才能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在動(dòng)力，為學(xué)生的發(fā)展謀取長期利益，才能讓學(xué)生學(xué)得輕松、學(xué)得扎實(shí)、學(xué)得有條理，持續(xù)適應(yīng)將來的發(fā)展和需求.