傅里葉域中的光線*

張書赫 邵夢(mèng) 張盛昭 周金華

(安徽醫(yī)科大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程系,合肥 230032)

建立普適的理論模型用于描述光線和光波場(chǎng)的關(guān)系是幾何光學(xué)領(lǐng)域中重要的研究?jī)?nèi)容.本文基于傳統(tǒng)幾何光學(xué)與傅里葉光學(xué)原理,提出利用光波場(chǎng)的傅里葉角譜得到光束的光線模型,反之可以根據(jù)光線模型反演光場(chǎng)的傅里葉角譜.以Airy光束以及Cusp光束為例,展示了利用傅里葉角譜構(gòu)建光束光線模型的方法及其正確性;進(jìn)一步展示利用光線構(gòu)建焦點(diǎn)處的光波場(chǎng)的傅里葉頻譜分布,然后通過(guò)逆變換得到光波場(chǎng)的空間分布,并與Debye方法取得了相同的結(jié)果;最后從空間坐標(biāo)域以及空間頻率域給出了光線模型的高維解釋,以聚焦光束、Airy光束以及二次梯度折射率波導(dǎo)中的光線為例展示了高維光線模型的物理內(nèi)涵.理論分析表明,傳統(tǒng)幾何光學(xué)構(gòu)建的光線模型只是高階光線模型在實(shí)空間內(nèi)的投影.

1 引 言

光線是幾何光學(xué)的核心,其作為一種純數(shù)學(xué)物理的概念被廣泛用于光學(xué)設(shè)計(jì)[1],計(jì)算機(jī)圖形學(xué)[2]以及光場(chǎng)(light field)分析[3,4]中.現(xiàn)代幾何光學(xué)結(jié)合了波動(dòng)光學(xué)的思想,導(dǎo)出了利用光線模型描述光波場(chǎng)復(fù)振幅在空間中傳輸?shù)姆椒╗5,6].利用該方法,人們能夠在幾何光學(xué)適用范圍內(nèi)精確描述光波場(chǎng)的波動(dòng)現(xiàn)象[7],其中甚至包括光波場(chǎng)的干涉以及衍射行為[8].此外,人們通過(guò)對(duì)光波場(chǎng)建立光線模型,不僅能直觀地表征光波場(chǎng)在空間中的演化過(guò)程,更能用于解釋一些光波場(chǎng)的特殊性質(zhì).例如采用光束的光線模型解釋Airy光束的自加速特性[9]、Bessel光束的自修復(fù)特性[10]以及拉蓋爾高斯光束的亞光速傳輸特性[11,12]等.反之,根據(jù)光線模型反演出光波場(chǎng)的相位與振幅信息同樣具有重要的應(yīng)用價(jià)值[13].光場(chǎng)相機(jī)利用結(jié)構(gòu)緊湊的微透鏡陣列近似得到光線的強(qiáng)度、位置以及方向等信息,再利用光線重構(gòu)得到光場(chǎng)分布[4],進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“先拍照,后聚集”的功能.該原理甚至能用于實(shí)現(xiàn)光波場(chǎng)的相位恢復(fù)[13].可見(jiàn),光線模型作為一種數(shù)學(xué)工具,不僅能指導(dǎo)人們研究光波的傳輸性質(zhì),而且儲(chǔ)存了光波場(chǎng)的復(fù)振幅信息(強(qiáng)度以及相位).因此建立更為普適的模型用于描述光線和光波場(chǎng)的關(guān)系是幾何光學(xué)領(lǐng)域中重要的研究?jī)?nèi)容.

幾何光學(xué)基于“光波場(chǎng)的相位梯度方向?yàn)楣饩€方向”這一基本原理[7],從光波場(chǎng)復(fù)振幅的相位中獲得其對(duì)應(yīng)的光線模型,然而該方法并不適用于焦點(diǎn)和焦散線/面附近的光波場(chǎng).在焦點(diǎn)和焦散線/面附近,光線方向并不與光波場(chǎng)的波前垂直[5,6],因此幾何光學(xué)無(wú)法正確描述光線與波前在焦點(diǎn)和焦散線/面附近的關(guān)系.

為了避免幾何光學(xué)在焦點(diǎn)和焦散線/面附近失效的問(wèn)題,本文提出使用光波場(chǎng)的傅里葉角譜得到光束的光線模型.本文的結(jié)構(gòu)如下： 第2節(jié)簡(jiǎn)單介紹幾何光學(xué)中光線方向與光波場(chǎng)的定義,為后續(xù)的理論推導(dǎo)做鋪墊;第3節(jié)從光場(chǎng)的傅里葉角譜中推導(dǎo)得到“光波場(chǎng)傅里葉角譜的相位反映了光線位置”這一結(jié)論;第4節(jié)以Airy光束以及Cusp光束為例展示了利用傅里葉角譜構(gòu)建光束的光線模型,并使用光線模型解釋光束的傳輸特性;第5節(jié)以焦點(diǎn)處光場(chǎng)分布為例,展示了使用光線追蹤構(gòu)建焦點(diǎn)處光場(chǎng)分布的思路;第6節(jié)以會(huì)聚的平面波、Airy光束以及二次梯度折射率波導(dǎo)中的光線展示高維空間下光束的高維光線模型.

2 光波場(chǎng)的相位梯度為光線方向

根據(jù)現(xiàn)代幾何光學(xué)原理[7],在焦點(diǎn)和焦散線/面以外的區(qū)域,光線方向?yàn)楣獠▓?chǎng)波前的梯度方向.其具體形式為： 若某z=z0平面內(nèi)的已知光波場(chǎng)的復(fù)振幅

其中函數(shù)A(x,y,z0) 與S(x,y,z0) 均為緩變的實(shí)函數(shù),則其從點(diǎn)r=(ξ,η,z0) 出發(fā)的光線的方向向量為[7]

在傅里葉光學(xué)中,二維向量 (?S/?x,?S/?y)/λ定義為光波場(chǎng)在點(diǎn) (ξ,η,z0) 處的局部空間頻率[14].可見(jiàn),光線反映了光波場(chǎng)局部空間頻率的信息.

根據(jù)(2)式我們可以得到一些光波場(chǎng)復(fù)振幅滿足表達(dá)式(1)的光線模型.例如平面波U(x,y,z0)=exp[ik(xsinθcosφ+ysinθsinφ+zcosθ)],其中參數(shù)θ和?分別為平面波傳輸方向在球坐標(biāo)系下的坐標(biāo)參數(shù).根據(jù)(2)式可得平面波上任意一點(diǎn)的光線均沿單位向量v=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ) 傳輸.再例如從xoy面出發(fā),向點(diǎn) (0,0,f) 會(huì)聚的球面波根據(jù)(2)式可得從 (ξ,η,0) 點(diǎn)出發(fā)的光線沿著指向點(diǎn)(0,0,f)的單位向量傳輸.根據(jù)光線位置r與光線方向v,可以進(jìn)一步得到光線在空間中的軌跡.在幾何光學(xué)角度下,函數(shù)A(x,y,z0) 此時(shí)為光線在對(duì)應(yīng)位置的權(quán)重函數(shù)[7].

然而,(2)式并不適用于焦點(diǎn)或焦散線/面附近的光波場(chǎng).圖1展示了二維(2D)平面內(nèi)平行光經(jīng)過(guò)理想透鏡聚焦后的光線模型.如圖1(a)所示,平行光經(jīng)過(guò)理想透鏡聚焦后,光線會(huì)聚在焦點(diǎn)處,并形成光錐的結(jié)構(gòu).以焦面為z=0 平面,焦點(diǎn)為原點(diǎn)建立二維笛卡爾坐標(biāo)系得到如圖1(b)所示的光線模式,圖中藍(lán)色虛線為光波場(chǎng)的等相位面.若假設(shè)透鏡的焦距為f,在z=-f平面內(nèi),從點(diǎn) (ξ,f) 處發(fā)出的光線沿單位向量傳輸.反之,根據(jù)(2)式得到該點(diǎn) (ξ,f) 處的光波場(chǎng)相位為在遠(yuǎn)離焦點(diǎn)的區(qū)域,光波的等相位面為一球面,且光線方向垂直于光波場(chǎng)的波前.然而在焦點(diǎn)處,光波的等相位面為平面[6],光線在焦點(diǎn)處會(huì)聚且不垂直于波前,因此在焦點(diǎn)或焦散線/面處,此時(shí)(2)式無(wú)法正確描述光線方向與光波相位面的關(guān)系.

圖1 平行光經(jīng)透鏡聚焦后產(chǎn)生錐形光線 (a)光線追蹤示意圖;(b)光錐的簡(jiǎn)化光線模型Fig.1.Ray cone that produced by convergent parallel rays through a lens： (a) Sketch of ray?tracing;(b) simplified ray model of ray cone.

從波動(dòng)的角度解釋,等光程的光線在空間位置域會(huì)聚于一點(diǎn),發(fā)生強(qiáng)烈干涉現(xiàn)象,導(dǎo)致光波場(chǎng)的相位產(chǎn)生畸變,越靠近焦點(diǎn)處畸變?cè)絿?yán)重[6].因此幾何光學(xué)無(wú)法正確描述焦點(diǎn)處的光波場(chǎng)相位情況（焦散線/面處同理）.然而,當(dāng)光波場(chǎng)在均勻介質(zhì)中傳輸時(shí),其傅里葉角譜只產(chǎn)生相位的平移變化.我們可以認(rèn)為光波場(chǎng)的傅里葉角譜在傳輸過(guò)程中并不發(fā)生嚴(yán)重的干涉現(xiàn)象.因此在處理焦點(diǎn)光波場(chǎng)問(wèn)題時(shí),人們往往從傅里葉角譜域著手得到光波場(chǎng)在焦點(diǎn)的傅里葉角譜的表達(dá)形式,然后根據(jù)傅里葉逆變換得到空間位置域的光波場(chǎng)分布.著名的Debye近似方法先使用光線追蹤得到從物鏡后瞳發(fā)出的會(huì)聚的光線模型,再將每根光線視作平面波,得到焦點(diǎn)處平面波的傅里葉角譜表達(dá)式[6].這些平面波在焦點(diǎn)處干涉疊加的過(guò)程即為計(jì)算傅里葉逆變換的過(guò)程,最終計(jì)算得到光波場(chǎng)在焦點(diǎn)附近的三維分布.Debye近似的處理方法同樣表明,光線不僅僅包含了光波場(chǎng)實(shí)域的相位信息,它還包含了光波場(chǎng)的局部空間頻率信息.

3 角譜的相位梯度為光線位置

為了簡(jiǎn)化分析,考慮在真空中傳輸?shù)臉?biāo)量單色光波場(chǎng)為(1)式的表示形式.設(shè)z=z0平面內(nèi)光波場(chǎng)的傅里葉角譜為(p,q,z0) ,根據(jù)二維傅里葉變換[5,14]：

將(1)式代入(3)式得到

設(shè)L(x,y,z)=S(x,y,z)-px-qy.由于在幾何光學(xué)近似下有k→∞ ,因此我們可以使用穩(wěn)相近似法(stationary phase approximation)[15]簡(jiǎn)化(4)式積分的計(jì)算.(4)式中的積分只有在相位駐點(diǎn)附近才顯著不為零.設(shè)駐點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x0,y0,z0) ,駐點(diǎn)滿足?L/?x=?L/?y=0 ,得到?S(x,y,z)/?x|x=x0=p以及?S(x,y,z)/?y|y=y0=q.根據(jù)局部空間頻率的定義,(p/λ,q/λ) 為駐點(diǎn) (x0,y0,z0) 處的局部空間頻率.以幾何光學(xué)的角度,單位向量可作為駐點(diǎn)處發(fā)出的光線方向.

將函數(shù)L(x,y,z) 在駐點(diǎn)附近用泰勒展開(kāi),忽略包含三次項(xiàng)以上高次項(xiàng)得到

將(5)式代入(4)式提出常數(shù)項(xiàng),得到(4)式的近似表達(dá)為

由于(6)式中的被積函數(shù)是僅關(guān)于變量x與y的函數(shù),且不存在變量p與q,故該積分結(jié)果與A(x0,y0,z0)的乘積可以共同表示為關(guān)于駐點(diǎn)x0與y0坐標(biāo)的函數(shù)B(x0,y0,z0).(6)式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化表示為

其中

由于駐點(diǎn)r=(x0,y0,z0) 處滿足?S(x,y,z)/?x|x=x0=p和?S(x,y,z)/?y|y=y0=q,根據(jù)(2)式,可將v(p,q) 視為從駐點(diǎn)發(fā)出的光線方向.反之若某根光線的方向已知,可以根據(jù)(8)式找到該光線對(duì)應(yīng)駐點(diǎn)的位置坐標(biāo).根據(jù)(7)和(8)式可得,若光波場(chǎng)的傅里葉角譜可以寫為(p,q,z0)=B(p,q,z0)exp[ikΨ(p,q,z0)]的形式,其中B(p,q,z0)與Ψ(p,q,z0) 均為實(shí)函數(shù),則沿方向v(p0,q0) 傳播的光線必定經(jīng)過(guò)點(diǎn)

以幾何光學(xué)的角度分析,此時(shí)函數(shù)B為該方向傳輸?shù)墓饩€在傅里葉角譜域的權(quán)重函數(shù).接下將以Airy光束與Cusp光束為例,展示利用傅里葉角譜構(gòu)建光束的光線模型,并以此模型描述光束的傳輸性質(zhì).

4 使用傅里葉角譜構(gòu)建光波場(chǎng)的光線模型

一些特殊的光束在空間位置域并不具有如(1)式的復(fù)振幅分布,例如(2 + 1)D Airy光束,此時(shí)根據(jù)相位梯度關(guān)系對(duì)該類光束建立光線模型是非常困難的.然而有些特殊光束,例如Airy光束等,具有如(7)式的傅里葉角譜分布.因此可以利用該方法從傅里葉角譜中得到這類光束的光線模型.

4.1 Airy光束的光線模型

(2 + 1)D Airy光束具有如(7)式形式的傅里葉角譜[16],我們能從其傅里葉角譜中獲得光束的光線模型.有限能量(2 + 1)D Airy光束的傅里葉角譜為[16]

其中參數(shù)a與b分別為x方向與y方向的振幅衰減因子,α與β分別為x方向與y方向的縮放因子.(11)式中采用菲涅耳衍射的角譜傳遞函數(shù)表征了Airy光束軸向傳輸z距離后的傅里葉角譜[14].其光斑主瓣沿拋物線自加速傳輸.根據(jù)(9)式得到沿方向傳輸?shù)墓饩€必經(jīng)過(guò)點(diǎn) (ξ,η,z) ,其中ξ與η分別為

根據(jù)(12)和(13)式可得,對(duì)應(yīng)于一組參數(shù) (ξ,η,z) ,可分別解得兩對(duì)不同值的參數(shù)p以及參數(shù)q.這兩對(duì)參數(shù)可兩兩組合得到四組方向v(p,q).因此對(duì)于Airy光束內(nèi)每一位置而言,有四根光線同時(shí)經(jīng)過(guò)該點(diǎn).為了展示Airy光束的光線模型,將光線的單位向量投影到xoy面,并展示了傳輸不同距離后(不同橫截面)的Airy光束的光線模型.

圖2展示了不同橫截面處Airy光束的光線分布.模擬中選取λ=0.532 μm,a=b=0.1 ,α=β=2.圖中紅色箭頭為光線的單位向量在xoy面上的投影向量,灰色點(diǎn)為光線所經(jīng)過(guò)的點(diǎn).對(duì)于Airy光束,有4條光線同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā).當(dāng)z=－180 μm時(shí),如圖2(a)所示,光線方向的合方向偏向第三象限,代表光波場(chǎng)傳輸?shù)倪\(yùn)動(dòng)趨勢(shì).隨著光束傳輸?shù)絲=－100 μm處,如圖2(b)所示,光線的合方向依然偏向第三象限.可見(jiàn)光波場(chǎng)的光斑分布相對(duì)于圖2(a)沿著第三象限對(duì)角線發(fā)生了平移.此時(shí)光線長(zhǎng)度減小,表明光波場(chǎng)平移的速度正在減慢.當(dāng)光束傳輸?shù)絲=0 μm處,如圖2(c)所示,經(jīng)過(guò)每一點(diǎn)的光線方向均勻指向四周,因此光線的合方向并不具有明顯的偏向性.根據(jù)圖2(a)－(c)可知,Airy光束在z＜0 時(shí)向第三象限對(duì)角線方向自加速傳輸.當(dāng)光束傳輸?shù)絲＞0 處,如圖2(d)所示光線的合方向偏向于第一象限,此時(shí)Airy光束沿第一象限對(duì)角線方向自加速傳輸.隨著傳輸距離的增大,光線在xoy面投影的長(zhǎng)度增加表明Airy光束光斑平移的速度逐漸增大.圖2(f)展示了Airy光束的光線模型.光線與拋物面焦散面相切使得光束具有自加速特性.

圖2 不同橫截面處Airy光束的光線分布,其中(a) z=-180μm ,(b) z=-100μm ,(c) z=0μm ,(d) z=100μm ,(e) z=180μm ;背景色為歸一化的光強(qiáng)分布;灰色點(diǎn)為光線起點(diǎn),紅色箭頭為光線在xoy面投影矢量,長(zhǎng)度正比于光線與z軸的夾角大小;(f) Airy光束的光線模型;不同顏色用以區(qū)分不同位置的光線Fig.2.Ray model of Airy beam at (a) z=-180μm ,(b) z=-100μm ,(c) z=0μm ,(d) z=100μm ,and (e) z=180μm.Backgrounds is the normalized intensity distribution.The transverse directions of rays are represented by red arrows,the length of arrow is proportional to the sine of the angle between the ray and the z axis.(f) Ray model of Airy beam.Different colors are used to distinguish the rays at different positions.

4.2 Cusp光束的光線模型

除(2 + 1)D Airy光束以外,Cusp光束也具有如(7)式的傅里葉角譜[17,18]：

其中w0為任意正實(shí)數(shù).令p=ρcosφ和q=ρsinφ,根據(jù)(9)式得到沿方向v(p,q) 傳輸?shù)墓饩€必經(jīng)過(guò)點(diǎn) (ξ,η,z) ,其中ξ與η分別為

圖3展示了不同橫截面處Cusp光束的光線分布,模擬中選取w0=1.2.當(dāng)z=－180 μm時(shí),如圖3(a)所示,此時(shí)Cusp擁有近似為三角形的光斑分布.光線分布基本與光斑分布重合,其光線起點(diǎn)的包絡(luò)同樣近似為三角形.光線指向光束中心位置,表明該光斑尺寸隨著傳播有縮小趨勢(shì).隨著光束傳輸?shù)絲=－100 μm處,如圖3(b)所示,Cusp光束的光斑尺寸縮小,光線分布更加密集,光線起點(diǎn)的包絡(luò)依然保持近似三角形的結(jié)構(gòu).光線依然指向光束中心位置,表明光斑尺寸會(huì)進(jìn)一步縮小.注意到圖3(b)中的箭頭長(zhǎng)度相較于圖3(a)的箭頭長(zhǎng)度短,表明光斑縮小的速度正在減慢.如圖2(c)所示,當(dāng)光束傳輸?shù)絲=0 μm處,光線位置均勻分布在同心圓上.根據(jù)圖3(a)－(c)可知,Cusp光束在z＜0 時(shí),其光斑分布會(huì)隨著光束傳輸逐漸會(huì)聚.當(dāng)光束傳輸?shù)絲＞0 處,如圖3(d)所示,此時(shí)z=100 μm.雖然光斑分布與圖3(b)類似,但是其光線方向指向光束外部,表明光束正在發(fā)散.隨著傳輸距離的增大,箭頭長(zhǎng)度增加,光線發(fā)散程度越強(qiáng).同時(shí)Cusp光束的光斑尺寸也在增大.圖3(f)展示了Cusp光束的光線模型.光線傾斜相互交錯(cuò),在束腰附近的包絡(luò)線為圓形.隨著光束的傳輸,光線的包絡(luò)線逐漸變?yōu)榻迫切?使得光束的光斑呈現(xiàn)自加速特性.

圖3 不同橫截面處Cusp光束的光線分布,其中(a) z=-180μm ,(b) z=-100μm ,(c) z=0μm ,(d) z=100μm ,(e) z=180μm ;背景色為歸一化的光強(qiáng)分布;灰色點(diǎn)為光線起點(diǎn),紅色箭頭為光線在xoy面投影矢量,長(zhǎng)度正比于光線與z軸的夾角大小;(f) Cusp光束的光線模型;不同的顏色用以區(qū)分不同位置的光線Fig.3.Ray model of Cusp beam at (a) z=-180μm ,(b) z=-100μm ,(c) z=0μm ,(d) z=100μm ,and (e) z=180μm.Backgrounds is the normalized intensity distribution.The transverse directions of rays are represented by red arrows,the length of arrow is proportional to the sine of the angle between the ray and the z axis.(f) Ray model of Cusp beam.Different colors are used to distinguish the rays at different positions.

根據(jù)以上兩個(gè)例子可知,從傅里葉角譜的相位分布推導(dǎo)所得光束的光線模型,同樣能正確描述光波場(chǎng)在空間的演化趨勢(shì).因此對(duì)于已知的某個(gè)光線模型,其不僅具備光波場(chǎng)在空間位置域的相位信息,同時(shí)也具備光波場(chǎng)在空間頻率域的相位信息.

5 使用光線計(jì)算聚焦面處的復(fù)振幅分布

平面波正入射聚焦透鏡所產(chǎn)生的焦點(diǎn)光場(chǎng)是基礎(chǔ)的聚焦光場(chǎng)問(wèn)題.本節(jié)展示使用光線的方法計(jì)算平面波正入射聚焦透鏡后的焦面光場(chǎng)分布.其核心思路為根據(jù)光線模型(9)式構(gòu)建出焦面的傅里葉頻譜,然后運(yùn)用傅里葉逆變換得到焦面的實(shí)空間光場(chǎng)分布.

如圖4(a)所示,以焦點(diǎn)為原點(diǎn),焦面為xoy平面,建立如圖所示的三維笛卡爾坐標(biāo)系.物鏡后瞳的數(shù)值孔徑為NA,物鏡滿足正弦條件.設(shè)從焦點(diǎn)(0,0)發(fā)出的光線方向?yàn)関(p,q) ,由于物鏡后瞳尺寸限制,則光線橫向分量p與q滿足p2+q2＜NA2.設(shè)在光波場(chǎng)焦面處的傅里葉角譜為

根據(jù)(9)式,在理想聚焦的情形下,所有光線都通過(guò)焦點(diǎn) (0,0) ,可得?Ψ/?p=?Ψ/?q=0.因此函數(shù)Ψ(p,q)=C0,其中C0為任意常數(shù),不妨令C0=0.函數(shù)B(p,q,0) 為光線的權(quán)重函數(shù),由于平面波入射透鏡,每根光線具有相同的權(quán)重,因此函數(shù)B(p,q,0)為大于零的常數(shù),不妨令B(p,q,0)=1.我們便可利用光線得到了光場(chǎng)在焦面的傅里葉角譜分布為

圖4 光錐模型及其焦面的傅里葉角譜 (a)經(jīng)過(guò)物鏡聚焦后的平行光的光線追蹤示意圖;(b)使用光線重構(gòu)得到的焦面上光場(chǎng)的傅里葉角譜Fig.4.Ray?cone and its Fourier angular spectrum： (a) Ray tracing model of convergent parallel rays;(b) reconstructed Fourier angular spectrum according to the ray model.

圖4(b)展示了使用幾何光學(xué)得到的光場(chǎng)在焦面處的傅里葉角譜分布,可見(jiàn)焦面處的傅里葉角譜均勻分布在一個(gè)半徑等于NA的圓形區(qū)域內(nèi).由于(18)式的傅里葉角譜是圓對(duì)稱的,因此可以使用貝塞爾變換計(jì)算得到焦面上光波場(chǎng)的復(fù)振幅分布,該復(fù)振幅為貝塞爾函數(shù)的形式[6,14].最終傅里葉逆變換結(jié)果與Debye方法得到的積分結(jié)果一致[6].

6 光束的高維光線模型

由于光線能夠同時(shí)反映光波場(chǎng)的位置與頻率信息,因此“真正”的光線模型存在于更高的維度.例如對(duì)于分布在z=z0平面上的二維光波場(chǎng)U(x,y,z0),其光線信息應(yīng)當(dāng)為六維函數(shù)g(I,x,y,z,p,q)[4],其中I為光線攜帶的能量.若忽略光線包含的能量信息,純光線信息至少為五維函數(shù)g(x,y,z,p,q) ,同時(shí)包含了光線位置與光線方向.若假設(shè)光場(chǎng)沿著z軸傳輸,則隨著光波的傳輸,光線不僅在空間域(xy坐標(biāo))演化,還在頻率域(pq坐標(biāo))中演化.在已知z=z0平面上的二維光波場(chǎng),當(dāng)光線的空間坐標(biāo)x和y確定后,其光線方向p和q可以通過(guò)(2)式確定.反之,當(dāng)光線方向p和q確定后,其光線位置x和y可以通過(guò)(9)式確定.此外,光線位置與光線方向也可通過(guò)解光線方程獲得.

對(duì)于分布在z=z0上的一維光波場(chǎng)U(x,z0) ,純光線信息為三維函數(shù)g(x,z,p).因此,相對(duì)于光波場(chǎng)分布,光線處于更高的維度.值得一提的是,在折射率不變的介質(zhì)中光線方向不隨傳輸發(fā)生變化,因此均勻介質(zhì)的頻率域光線模型均為相互平行的平行線.實(shí)際上,在以往的幾何光學(xué)中,我們對(duì)光線模型的認(rèn)知其實(shí)是高維光線模型g(x,y,z,p,q)在空間域(即xyz空間)內(nèi)的投影,由于投影丟棄了光線在空間頻率域的信息,因此會(huì)產(chǎn)生幾何光學(xué)失效的問(wèn)題[19].

為了使用圖形展示光線的高維信息,考慮在xoz面內(nèi)的二維光波場(chǎng),此時(shí)的光線為三維函數(shù)g(x,z,p).圖5(a)展示了圖1中聚焦光線的高維光線模型,該光線模型分布在 (x,z,p) 三維空間內(nèi).該光線模型在xoz面的投影如圖5(b)所示,該投影模型即是圖1(b)中展示的光線光錐模型.由于投影丟失了一些光線在空間頻率域,使得這些光線“看上去”在焦點(diǎn)相交.而如圖5(c)所示,光線模型在poz內(nèi)的投影是平行的直線,并不存在焦點(diǎn).因此,盡管xoz內(nèi)無(wú)法正確使用光線構(gòu)建光波場(chǎng)分布,我們依然能夠在poz內(nèi)利用光線構(gòu)建出光波場(chǎng)分布.故在解決焦點(diǎn),焦散線/面問(wèn)題時(shí),人們往往通過(guò)光線構(gòu)建出光波場(chǎng)的傅里葉角譜,從而進(jìn)一步正確計(jì)算出光波場(chǎng)在空間坐標(biāo)的分布.需要注意的是圖5(a)中位于pox面內(nèi)的黑色曲線即是光線的相?空間曲線.

圖5 一維聚焦光束的高維光線模型 (a)聚焦光束的三維光線模型;(b)三維光線模型在xoz平面內(nèi)的投影;(c)三維光線模型在poz平面內(nèi)的投影Fig.5.High?dimensional ray model of convergent beam：(a) 3D ray model of convergent beam;(b) projection of 3D ray model in xoz plane;(c) projection of 3D ray model in poz plane.

二維Airy光束是人們了解與研究Airy光束等自加速光束性質(zhì)的基本對(duì)象.對(duì)二維Airy光束也可構(gòu)建其高維光線模型.二維Airy光束的傅里葉角譜為

圖6(a)展示了二維Airy光束構(gòu)建高維光線模型,該光線模型在xoz面的投影如圖6(b)所示.該投影模型即為Berry等[20]構(gòu)建的Airy波包的世界線模型,可見(jiàn)光線與拋物線形焦散線相切,在焦散線附近幾何光學(xué)失效.然而如圖6(c)所示,由于光束在真空中傳輸,光線模型在poz內(nèi)的投影依然是平行的直線,意味著此時(shí)能夠通過(guò)光線模型正確構(gòu)建Airy光束的傅里葉角譜信息.

圖6 二維Airy光束的高維光線模型 (a) Airy光束的三維光線模型;(b)三維光線模型在xoz平面內(nèi)的投影;(c)三維光線模型在poz平面內(nèi)的投影Fig.6.High?dimensional ray model of (1 + 1)D Airy beam：(a) 3D ray model of (1 + 1)D Airy beam;(b) projection of 3D ray model in xoz plane;(c) projection of 3D ray model in poz plane.

在上述兩個(gè)例子中,光束均在均勻介質(zhì)內(nèi)傳輸,因此光線方向不發(fā)生改變.在poz平面內(nèi),光線為相互平行的平行線.而當(dāng)光束在折射率變化的介質(zhì)中傳輸時(shí),光線方向?qū)?huì)發(fā)生變化.為了展示折射率對(duì)高維光線的影響,以二次梯度折射率波導(dǎo)為例展示在該波導(dǎo)中光線的高維軌跡.

其中

m為非負(fù)整數(shù).(20)式即為高維光線模型的參數(shù)方程.圖7(a)展示了該折射率分布下的厄米光束的高維光線模型,光線在xpz坐標(biāo)系內(nèi)沿螺旋線軌跡傳輸.該光線模型在xoz面的投影如圖7(b)所示,具有一定的周期性.光線模型在poz面的投影如圖7(c)所示,同樣具有周期性.可見(jiàn),光波場(chǎng)在折射率變化的波導(dǎo)中具有更為復(fù)雜的高維光線結(jié)構(gòu).

圖7 二維拋物線型波導(dǎo)中的厄米?高斯光束的高維光線模型 (a)三維光線模型;(b)三維光線模型在xoz平面內(nèi)的投影;(c)三維光線模型在poz平面內(nèi)的投影Fig.7.High?dimensional ray model of Hermit?Gaussian beam in quadratic gradient?index waveguide： (a) 3D ray model;(b) projection of 3D ray model in xoz plane;(c) pro?jection of 3D ray model in poz plane.

由于焦散線問(wèn)題不會(huì)同時(shí)存在于空間域與頻率域,因此當(dāng)幾何光學(xué)在空間域遇到焦點(diǎn)或焦散線/面問(wèn)題時(shí),可以從頻率域著手,繞開(kāi)光線在空間位置域的失效,構(gòu)建出光波場(chǎng)的傅里葉角譜表達(dá)式,進(jìn)而使用傅里葉逆變換正確表征出這些位置的光波場(chǎng)分布.

7 結(jié) 論

本文基于光波場(chǎng)在實(shí)空間的表達(dá)形式,運(yùn)用傅里葉變換以及穩(wěn)相近似法推導(dǎo)得到了光波場(chǎng)的傅里葉角譜相位與光線位置的梯度關(guān)系.理論證明光波場(chǎng)的光線模型同時(shí)攜帶了該光波場(chǎng)在實(shí)空間域的振幅與相位信息以及傅里葉角譜域的振幅與相位信息.實(shí)空間域的光波場(chǎng)相位梯度為光線方向,而傅里葉角譜域角譜的相位梯度為光線位置.由此,當(dāng)光波場(chǎng)的光線信息確定后,在焦點(diǎn)或焦散線/面以外的區(qū)域,既可以使用光線重構(gòu)光波場(chǎng)的復(fù)振幅,亦可以從傅里葉角譜空間構(gòu)造得到光波的傅里葉角譜.而在焦點(diǎn)或焦散線/面附近,幾何光學(xué)在實(shí)空間失效.此時(shí),可以從傅里葉角譜空間入手,繞過(guò)實(shí)空間的失效性,正確構(gòu)造得到光場(chǎng)的傅里葉角譜.利用光線模型重構(gòu)光波場(chǎng)的傅里葉角譜,可以有效避免幾何光學(xué)在焦點(diǎn)或焦散線/面附件失效的問(wèn)題.實(shí)際上,光波場(chǎng)的光線模型是一座連接了光波場(chǎng)的實(shí)空間與傅里葉頻譜域的橋梁,蘊(yùn)藏了相較于光波場(chǎng)更高維度的信息.這些信息為研究光線描述光波場(chǎng)的傳輸提供了新的思路與方法,有助于人們更好地理解光線的數(shù)學(xué)物理內(nèi)涵,并運(yùn)用光線設(shè)計(jì)與構(gòu)建結(jié)構(gòu)光束場(chǎng).