《遞推數(shù)列》六類經(jīng)典題型突破方法

■河南省平輿縣第一高級(jí)中學(xué) 何中義

類型一：an+1=an+f(n)

突破方法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1在數(shù)列{an}中，a1=-1，an+1=an+2n，求an。

解析：因?yàn)閍n+1=an+2n，當(dāng)n≥2時(shí)：

將上面n-1個(gè)式子相加得到：

an-a1=2×[1+2+3+…+(n-1)]=

所以an=a1+n2-n=n2-n-1(n≥2)。

當(dāng)n=1時(shí)，a1=-1=12-1-1，符合上式，故an=n2-n-1(n∈N*)。

總結(jié)升華：

1.在數(shù)列{an}中，an+1-an=f(n)，若f(n)為常數(shù)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列；若f(n)不是一個(gè)常數(shù)，而是關(guān)于n的式子，則數(shù)列{an}不是等差數(shù)列。

2.當(dāng)數(shù)列的遞推公式是形如an+1=an+f(n)的解析式，而f(1)+f(2)+…+f(n)的和是可求的時(shí)候，則可用多式累(迭)加法求得an。

類型二：an+1=p an+q（其中p，q均為常數(shù)，p q(p-1)≠0）

突破方法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-t=p(an-t)，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列進(jìn)行求解。

例2已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=，求a。n

解法一：設(shè)，解得A=-3，所以原式可轉(zhuǎn)化為an+1-3=

設(shè)bn=an-3，則數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且

解法二：因?yàn)?/p>

設(shè)bn=an+1-an，則數(shù)列{bn}為等比數(shù)列。

所以

解法三：

總結(jié)升華：

1.一般地，對(duì)已知數(shù)列{an}的項(xiàng)滿足a1=a，an+1=c an+d(c，d為常數(shù)，c≠0，1)，則可設(shè)an+1+t=c(an+t)，得an+1=c an+c t-t，利用已知得c t-t=d，即，從而將求數(shù)列{an}的通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列{an-t}的通項(xiàng)。第二種方法利用了遞推關(guān)系式作差，構(gòu)造新的等比數(shù)列。這兩種方法均是常用的方法。

2.若數(shù)列有形如an+1=k·an+b(k、b為常數(shù))的線性遞推關(guān)系，則可用待定系數(shù)法求得an。

類型三：遞推公式為an+2=p an+1+q an（其中p，q均為常數(shù)）

突破方法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+2-s an+1=t(an+1-s an)，其中s，t滿足

突破方法二(特征根法)：對(duì)于由遞推公式an+2=p an+1+q an，a1=α，a2=β給出的數(shù)列{an}，方程x2-p x-q=0叫作數(shù)列{an}的特征方程。若x1，x2是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)x1≠x2時(shí)，數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=，其中A，B由a1=α，a2=β決定(即把a(bǔ)1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=，得到關(guān)于A、B的方程組)；當(dāng)x1=x2時(shí)，數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=(A+B n)·，其中A，B由a1=α，a2=β決定(即把a(bǔ)1，a2，x1，x2和n=1，2，代入an=(A+B n)·，得到關(guān)于A、B的方程組)。

例3已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，，求a。n

解析：由可轉(zhuǎn)化為，即an+2=(s+t)·或

n+1應(yīng)用突破方法1，分別令n=1，2，3，…，(n-1)，代入上式得到(n-1)個(gè)等式，然后累加，可得又因?yàn)?，所?/p>

類型四：遞推公式為Sn與an的關(guān)系式（或Sn=f(an)）

突破方法：這種類型一般利用an=

例4已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn+1=4an+2(n=1，2，3，…)，a1=1。

(1)設(shè)bn=an+1-2an(n=1，2，3，…)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

(3)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和。

解析：(1)因?yàn)镾n+1=4an+2，所以Sn+2=4an+1+2，以上兩式的等號(hào)兩邊分別相減，得Sn+2-Sn+1=(4an+1+2)-(4an+2)=4an+1-4an(n=1，2，3，…)。

所以an+2=4an+1-4an，變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an)。

因?yàn)閎n=an+1-2an(n=1，2，3，…)，所以bn+1=2bn。

由此可知，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列。

因?yàn)镾2=a1+a2=4a1+2，a1=1，所以a2=5，所以b1=a2-2a1=3，所以bn=3·2n-1。

將bn=3·2n-1代入得

由此可知，數(shù)列{cn}是公差為的等差數(shù)列，首項(xiàng)為

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn+1=4an+2=(3n-1)·2n+2，所以Sn=[3(n-1)-1]·2n-1+2=(3n-4)·2n-1+2。

當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=1也適合此公式。

故所求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式是Sn=(3n-4)·2n-1+2。

總結(jié)升華：該題是著眼于數(shù)列間的相互關(guān)系的問(wèn)題，解題時(shí)要注意利用題設(shè)的已知條件，通過(guò)合理轉(zhuǎn)換，將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，利用等差、等比數(shù)列的概念，將已知關(guān)系式進(jìn)行變形，變形成能做出判斷的等差或等比數(shù)列，這是數(shù)列問(wèn)題中的常見策略。

類型五：an+1=p an+a n+b（p≠1，0，a≠0）

突破方法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令an+1+x(n+1)+y=p(an+x n+y)，與已知遞推式比較，解出x，y，從而轉(zhuǎn)化為{an+x n+y}是公比為p的等比數(shù)列。

例5設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=4，an=3an-1+2n-1(n≥2)，求an。

解析：設(shè)bn=an+A n+B，則an=bn-A n-B，將an，an-1代入遞推式，得bn-A n

所以取bn=an+n+1，則bn=3bn-1，又b1=6，故bn=6×3n-1=2×3n，代入得an=

總結(jié)升華：(1)若f(n)為n的二次式，則可設(shè)bn=an+A n2+B n+C；(2)本題也可由an=3an-1+2n-1，an-1=3an-2+2(n-1)-1(n≥3)兩式相減得an-an-1=3(an-1-an-2)+2，轉(zhuǎn)化為bn+2=p bn+1+q bn求之。

類型六：倒數(shù)法求通項(xiàng)公式

突破方法：形如遞推式，考慮倒數(shù)關(guān)系有，則可轉(zhuǎn)化為nan+1=p an+q型。

例6數(shù)列{an}中，a1=3，an-an+1=5an·an+1(n∈N*)，求an。

思路點(diǎn)撥：對(duì)an-an+1=5an·an+1兩邊同除以an·an+1，得即可。

解析：因?yàn)閍n-an+1=5an·an+1，等號(hào)兩邊同除以，得

總結(jié)升華：

1.兩邊同時(shí)除以an·an+1可使等式左邊出現(xiàn)關(guān)于an和an+1的相同代數(shù)式的差，右邊為一常數(shù)，這樣把數(shù)列{an}的每一項(xiàng)都取倒數(shù)，這又構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列而恰是等差數(shù)列，其通項(xiàng)易求，先求的通項(xiàng)，再求{an}的通項(xiàng)。

2.若數(shù)列有形如f(an，an-1，anan-1)=0的關(guān)系，則可在等式兩邊同乘以，先求出，再求得an。