高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之微專題的研發(fā)與應(yīng)用
——高中數(shù)學(xué)解析幾何復(fù)習(xí)與平面向量的融合策略

數(shù)學(xué)中的解析幾何和平面向量不僅是學(xué)習(xí)中的重難點(diǎn),還是在高考試卷中占重要分量的題型,但是對(duì)于大部分同學(xué)而言,解析幾何復(fù)習(xí)與平面向量的融合一直是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。我們知道平面向量具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份,是數(shù)形結(jié)合的典范。所以,在復(fù)習(xí)解析幾何時(shí)將其與平面向量進(jìn)行融合,會(huì)收到很好的學(xué)習(xí)效果。

一、高中數(shù)學(xué)解析幾何的重要性

在高中數(shù)學(xué)的整個(gè)內(nèi)容中,解析幾何這部分內(nèi)容占據(jù)了非常重要的分量。這部分知識(shí)對(duì)于計(jì)算能力和思維能力有很好的培養(yǎng)作用。第一,解析幾何具有承上啟下的作用,這部分內(nèi)容不僅可以補(bǔ)充初中時(shí)期平面幾何的不足,還可以為以后更深層次的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)【1】。第二,在高中數(shù)學(xué)所有的知識(shí)點(diǎn)內(nèi),解析幾何這部分的內(nèi)容具有交叉的作用。這部分內(nèi)容能夠?qū)⒁呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的平面向量和代數(shù)知識(shí)進(jìn)行結(jié)合。所以,如果對(duì)于這部分知識(shí)理解不夠透徹,就會(huì)導(dǎo)致在學(xué)習(xí)解析幾何的時(shí)候有一定的障礙。在學(xué)習(xí)和掌握解析幾何的時(shí)候,需要靈活地運(yùn)用,以此來(lái)提升自身的學(xué)習(xí)水平。第三,解析幾何部分注重的是方法論,它的特點(diǎn)是非常抽象,同時(shí)系統(tǒng)性非常強(qiáng),并且知識(shí)體系也較為完善,所以,在解析幾何的學(xué)習(xí)過(guò)程中,可以增強(qiáng)對(duì)于其他學(xué)科的應(yīng)用能力【2】。

二、解析幾何復(fù)習(xí)與平面向量的融合策略

(一)與數(shù)乘向量的融合

向量在數(shù)形結(jié)合中起到橋梁的作用,通過(guò)向量可將解析幾何中的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算,所以數(shù)乘向量與解析幾何的融合問(wèn)題是近年來(lái)大家廣泛關(guān)注的一個(gè)問(wèn)題。

例1在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,1),B(2,3),C(3,2),點(diǎn)P(x,y)在△ABC三邊所圍成的區(qū)域(含邊界)上。

解：(1)方法1：因?yàn)橛忠驗(yàn)?(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),所以(2,2),故

令y-x=t,那么由圖1所示,當(dāng)直線y=x+t過(guò)點(diǎn)B(2,3)時(shí),t取得最大值為1,所以m-n的最大值也為1。

圖1

評(píng)析：這道題考查了向量知識(shí)與線性規(guī)劃的融合。利用數(shù)乘向量的知識(shí),可將解析幾何的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成向量坐標(biāo)的運(yùn)算問(wèn)題,簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

(二)與共線向量的融合

由于向量具有數(shù)形結(jié)合融為一體的特點(diǎn),所以常常會(huì)成為高中數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交集點(diǎn),平面向量與解析幾何的融合是高三同學(xué)需要復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容,因?yàn)檫@種類型的題目已發(fā)展成為高考命題的熱點(diǎn),特別是共線向量與解析幾何的融合更是近年來(lái)高考的熱點(diǎn)題型。

例2已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)是F。

(1)點(diǎn)A,P滿足當(dāng)點(diǎn)A在拋物線C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

(2)在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使得點(diǎn)Q關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線C上?如果這種情況存在,請(qǐng)求出所有可以滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果這種情況不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：可以確認(rèn)這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目。首先,應(yīng)該根據(jù)題目的條件設(shè)出向量以及；然后,利用共線向量求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；最后,根據(jù)點(diǎn)Q關(guān)于直線y=2x對(duì)稱點(diǎn)的條件,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

解：(1)設(shè)P(x,y),A(xA,yA),則(x-xA,y-yA)。因?yàn)镕(1,0),因此(xA-1,yA),由可得(x-xA,y-yA)=-2(xA-1,yA),即解得代入y2=4x,從而得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2=8-4x。

(2)設(shè)點(diǎn)Q為(t,0),則點(diǎn)Q關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)為Q′(x,y),所以：

若點(diǎn)Q′在C上,將點(diǎn)Q′的坐標(biāo)代入y2=4x,得出4t2+15t=0,即t=0或

所以滿足題意的點(diǎn)Q是存在的,并且它的坐標(biāo)為(0,0)和

評(píng)析：這道題目通過(guò)交匯融合共線向量與解析幾何,變成了一道探求點(diǎn)P的軌跡方程問(wèn)題,并在此基礎(chǔ)上變成了探求點(diǎn)Q是否真實(shí)存在的一道具有綜合性特點(diǎn)的問(wèn)題。這道題目既考查了平面向量的運(yùn)算和概念,也考查了關(guān)于解析幾何中的圓錐曲線和直線問(wèn)題的解題水平。

三、掌握復(fù)習(xí)方法,提升學(xué)習(xí)興趣

解析幾何近年來(lái)已成為高考的重點(diǎn),對(duì)于解析幾何的復(fù)習(xí)也是困擾同學(xué)們的一個(gè)難題。因此,掌握解析幾何的解題方法才是學(xué)習(xí)的重中之重,而解答解析幾何問(wèn)題的主要方法就是數(shù)形結(jié)合法。希望同學(xué)們都要自己探索解題方法,增強(qiáng)探究能力,提升解題的能力。