高中函數(shù)求最值題型“一題多解”的方法及心得

例題已知函數(shù)的最大值為M,最小值為m,則的值為多少?

方法二(三角換元法)：因?yàn)閤∈[-3,1],且(很重要的隱含條件,多種解法都是基于這個隱含條件),所以可設(shè)(題中出現(xiàn)平方和,常用三角換元,唯一需要注意的是θ的范圍,必須保證兩項(xiàng)都是非負(fù)),所以y=2cosθ+2sinθ因?yàn)樗驭?,則所以得

方法三(均值不等式)：因?yàn)楹瘮?shù)y=所以y=(當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時等號成立),所以ymax=又因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)x=1或者x=-3時等號成立),所以ymin=2,則運(yùn)用此方法首先要確定的根式有意義,然后根據(jù)公式求出函數(shù)的最大值,最后再對y2求出最小值,從而求解。

方法五(向量法)：設(shè)向量a=(1,1),b=則y=a·b。令有p2+q2=4,則b=(p,q)的終點(diǎn)表示圓心在原點(diǎn),半徑為2的圓在第一象限部分上的點(diǎn)。所以向量a=(1,1),b的夾角范圍為所以,所以ymin=2,得

在解答該問題時,上述解題思路有共通之處,但是也不盡相同,所應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)也不相同,卻都能夠得到一樣的計(jì)算結(jié)果。其中方法一,二,三都是函數(shù)章節(jié)的知識,同學(xué)們比較容易想到,方法四和五結(jié)合了函數(shù)與數(shù)列、函數(shù)與向量的知識,有些同學(xué)就不太容易想到。這就說明在解答數(shù)學(xué)問題的過程中,充分利用與問題有直接或間接聯(lián)系的知識點(diǎn),可以開拓思路,從多個角度進(jìn)行問題的解答,實(shí)現(xiàn)“一題多解”。