半導體熱敏電阻溫度曲線的Matlab曲線擬合

董慶瑞

摘要：為了便于快速地找到適用的曲線擬合方法，以半導體熱敏電阻實驗中溫度曲線的曲線擬合為例，全面地總結(jié)了利用Matlab程序進行曲線擬合的基本理論和具體方法，演示了lsqcurvefit、nlinfit和fit三個非線性擬合指令的具體程序格式與操作步驟。這些Matlab指令程序可以有效地應對實驗數(shù)據(jù)處理中各種復雜的曲線擬合問題。

關鍵詞：曲線擬合;Matlab;非線性擬合;最小二乘法

中圖分類號：G642.0? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2019）37-0066-03

在實驗數(shù)據(jù)處理過程中，經(jīng)常需要選擇曲線類型來擬合原始數(shù)據(jù)，并以所得曲線方程來反映變量間的函數(shù)關系[1]。隨著計算機性能的提高和數(shù)值計算方法的發(fā)展，計算機軟件在實驗數(shù)據(jù)曲線擬合工作中發(fā)揮了越來越大的作用。目前利用計算機數(shù)值計算進行曲線擬合是實驗數(shù)據(jù)曲線擬合工作的必然選擇。雖然計算機語言或曲線擬合軟件在實驗數(shù)據(jù)的曲線擬合過程中得到了廣泛運用，但對其具體操作知識的系統(tǒng)總結(jié)卻不全面。本文以半導體熱敏電阻實驗中實驗數(shù)據(jù)的曲線擬合為例，總結(jié)了各種Matlab擬合指令的具體用法。

一、半導體熱敏電阻實驗

半導體材料具有顯著的熱電特性，半導體熱敏電阻的溫度系數(shù)為負值，近似滿足下式：

二、曲線擬合的理論方法

函數(shù)近似通常采用兩種方法：插值法和擬合法。插值方法要求所求得的近似函數(shù)通過所有數(shù)據(jù)點，由于實驗所給出的數(shù)據(jù)本身存在誤差，因此要求插值曲線通過所有的插值點必定會使插值函數(shù)保留這個誤差。擬合方法并不要求擬合曲線必須通過所有的數(shù)據(jù)點，只要求擬合的近似函數(shù)能夠反映實驗數(shù)據(jù)的整體趨勢，并使擬合數(shù)據(jù)整體的誤差最小。

2.多項式擬合。曲線擬合中的多項式擬合屬于線性最小二乘問題，關鍵步驟是求解聯(lián)立線性方程組，具體數(shù)學理論推導可參看相關文獻[2]。在實際物理問題中，這些方程組是無解的，但可以通過數(shù)值計算方法獲得其近似解。

3.非線性擬合。因為擬合函數(shù)是非線性的，所以無法如線性最小二乘法一樣用求函數(shù)極值法來得到擬合參數(shù)，而需要在最小二乘法的基礎上采用復雜的優(yōu)化算法來求解，常用的算法是搜索算法和迭代算法[1]。搜索算法是按一定的規(guī)則選擇若干組參數(shù)值，計算它們的目標函數(shù)值并比較大小，選出使目標函數(shù)值最小的參數(shù)值。不同的參數(shù)值選擇規(guī)則構(gòu)成不同的搜索算法。迭代算法的原則是從參數(shù)的一個初始猜測值出發(fā)，然后產(chǎn)生一系列的參數(shù)點，若這個參數(shù)序列收斂到使目標函數(shù)極小的參數(shù)點，則認為參數(shù)的收斂值就是所求參數(shù)點。

4.擬合方式比較。前面部分介紹的方法可以通過計算機語言進行編程來實現(xiàn)。Matlab也內(nèi)置了現(xiàn)成的相關指令，在使用中無需花費時間去編程，只需要按照規(guī)定的格式調(diào)用即可。Matlab曲線擬合工具箱和Origin也集成了進行曲線擬合的軟件，將數(shù)據(jù)導入軟件后，可以通過操作界面對擬合過程進行設置。

程序擬合可以實現(xiàn)軟件擬合的全部功能，相較而言軟件擬合的功能有所限制。在需要進行多次重復擬合的場合，軟件擬合要求對操作界面進行多次重復操作，而程序擬合卻可避免這種重復操作，從而提高效率。除了處理單純的曲線擬合工作外，擬合程序還可以嵌入復雜的數(shù)據(jù)處理程序中去發(fā)揮作用。

三、用Matlab指令進行曲線擬合

常用的Matlab曲線擬合指令有多項式擬合指令polyfit、非線性擬合指令nlinfit、非線性擬合指令lsqcurvefit、曲線擬合指令fit。下面以半導體熱敏電阻溫度曲線的擬合過程為例來說明這些指令的用法。

半導體熱敏電阻溫度曲線是一個指數(shù)函數(shù)，屬于非線性擬合問題，但可以經(jīng)過數(shù)學推導化簡成線性擬合問題，并利用多項式擬合指令polyfit處理。本文的目的是介紹實驗數(shù)據(jù)曲線擬合的普遍方法，所以仍將其按非線性擬合問題來處理，下面具體給出lsqcurvefit、nlinfit和fit三個指令的擬合過程。

1.外部數(shù)據(jù)的輸入。首先需要讀取實驗儀器生成的Excel數(shù)據(jù)文件并保存到Matlab的變量中，具體程序如下：

t=xlsread（'data.xls'，1，'A2：A62'）;

V=xlsread（'data.xls'，1，'B2：B62'）;

T=t+273.16;? %調(diào)整溫度單位。

R=V*e-3/（20*e-6）;? ?%由電壓計算電阻。

2.指令lsqcurvefit擬合。指令lsqcurvefit屬于Matlab的優(yōu)化工具箱，利用最小二乘法，從初始猜測值開始求參數(shù)，將原始數(shù)據(jù)點擬合到非線性函數(shù)，具體格式為：x=lsqcurvefit（fun，x0，xdata，ydata），其中：xdata、ydata是原始數(shù)據(jù)點;fun（x，xdata）是擬合函數(shù)，也就是公式（1）;x是擬合函數(shù)系數(shù);x0是系數(shù)初始猜測值，其初始設置可能會影響結(jié)果。如擬合結(jié)果不理想，可以改變初始值x0后再重新擬合。具體Matlab程序如下：

x0=[2600，1000];

fun=@（x，T）x（1）*exp（x（2）*（1./T-1/300））;

x=lsqcurvefit（fun，x0，T，R）;

R0=x（1）;B=x（2）;

disp（['R='，num2str（R0），'*exp（'，num2str（B），…

'*（1./T-1/T0））']）;

計算結(jié)果如下：

R=2230.4327*exp（3407.2165*（1/T-1/T0））

擬合曲線和原始數(shù)據(jù)的對比如圖2所示，結(jié)果顯示擬合曲線與原始數(shù)據(jù)完全一致。如果對擬合效果要求較高，可以通過Matlab幫助系統(tǒng)，查閱表征擬合效果的具體參數(shù)。

3.指令nlinfit擬合。指令nlinfit屬于Matlab的統(tǒng)計和機器學習工具箱，采用迭代最小二乘法估算擬合系數(shù)。函數(shù)nlinfit是非線性擬合的通用函數(shù)，適用面比函數(shù)lsqcurvefit更廣，例如可以做加權最小二乘擬合。具體格式如下：

x=nlinfit（xdata，ydata，fun，x0）

與指令lsqcurvefit類似，不同的x0可能會得到不同的結(jié)果。具體Matlab程序如下：

x0=[2000，100];

fun=@（x，T）x（1）*exp（x（2）*（1./T-1/300））;

x=nlinfit（T，R，fun，x0）;

R0=x（1）;B=x（2）;

disp（['R='，num2str（R0），'*exp（'，num2str（B），…

'*（1/T-1/T0））']）;

計算結(jié)果如下：

R=2230.4327*exp（3407.2165*（1/T-1/T0））

這與指令lsqcurvefit的擬合結(jié)果完全一致。初始值x0設為[2000，100]，初始值的改變沒有影響擬合結(jié)果。

4.指令fit擬合。指令fit屬于Matlab的曲線擬合工具箱，其功能與曲線擬合工具箱軟件cftool類似。具體格式如下：

fitobject=fit（xdata，ydata，afitType）

aFittype=fittype（expression，Name，Value）

其中參數(shù)具體含義可查看Matlab幫助系統(tǒng)。與指令lsqcurvefit和nlinfit不同，指令fit不必設置擬合系數(shù)初始值。具體Matlab程序如下：

X=fittype（'R0*exp（B*（1/T-1/300））'，…

'independent'，'T'，'coefficients'，{'R0'，'B'}）;

Y=fit（T，R，X）;

disp（['R='，num2str（Y.R0），…

'*exp（'，num2str（Y.B），'*（1/T-1/T0））']）;

計算結(jié)果如下：

R=2230.4328*exp（3407.2159*（1/T-1/T0））

擬合結(jié)果與前面兩個指令的擬合結(jié)果幾乎一致。

四、結(jié)論

采用計算機數(shù)值計算方法，可以進行高精度、高效率的實驗數(shù)據(jù)曲線擬合工作。本文以半導體熱敏電阻實驗的曲線擬合過程為例，全面總結(jié)了利用Matlab程序進行數(shù)據(jù)曲線擬合的基本理論和具體方法。具體介紹三個Matlab指令的使用方法和程序格式。應用Matlab程序進行曲線擬合，不但可以將數(shù)據(jù)擬合成各種函數(shù)，而且便于將其代碼集成到復雜的實驗數(shù)據(jù)處理程序中去，從而有助于完成高效、精確的實驗數(shù)據(jù)處理工作。

參考文獻：

[1]劉金遠，段萍，鄂鵬.計算物理學[M].科學出版社，2012.

[2]彭芳麟.計算物理基礎[M].北京：高等教育出版社，2010.

Curve Fitting of Temperature Curve of Semiconductor Thermistor Based on Matlab

DONG Qing-rui

（School of Physics and Electronics，Shandong Normal University，Ji'nan，Shandong 250014，China）

Abstract：To find an appropriate curve-fitting method quickly，taking the curve fitting of the temperature curve of a semiconductor thermistor as an example，the basic theory and method of curve fitting using Matlab programs are summarized comprehensively.The program format and operation steps of three non-linear fitting instructions，lsqcurvefit，nlinfit and fit，are demonstrated.These MATLAB instruction programs can effectively deal with various complex curve fitting problems in experimental data processing.

Key words：curve fitting;Matlab;nonlinear fitting;least-square method