Hawgent環(huán)境下基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計*
——以“指數(shù)函數(shù)”為例

廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院(541006)王亞婷 周 瑩

一、問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出：“數(shù)學(xué)教育要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,會用數(shù)學(xué)思維思考世界,會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”[1].可見,現(xiàn)代社會的教育要求不再是傳統(tǒng)的傳授式教學(xué),而是要讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)與思考,以理解數(shù)學(xué)本質(zhì).然而,現(xiàn)在的課堂還是以灌輸式教學(xué)為主,教學(xué)實踐依舊只注重學(xué)習(xí)結(jié)果,不注重過程的體驗,導(dǎo)致學(xué)生缺乏主動構(gòu)建知識的能力與實踐.基于此,探究數(shù)學(xué)教學(xué)如何引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)、生成知識,是亟待解決的教育研究問題.在20 世紀(jì)80年代,美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基提出一種具有數(shù)學(xué)學(xué)科特色的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論-APOS,認(rèn)為知識的建構(gòu)過程需要經(jīng)歷活動、過程、對象和圖式四個階段.本文基于APOS 理論,借助Hawgent 動態(tài)軟件探究函數(shù)性質(zhì),動態(tài)展現(xiàn)數(shù)學(xué)對象生成的全過程,提升學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,以期實現(xiàn)學(xué)生自主建構(gòu)知識與自主學(xué)習(xí),同時為指數(shù)函數(shù)的概念教學(xué)提供參考.

二、APOS 的概念教學(xué)階段與Hawgent 的應(yīng)用

在指數(shù)函數(shù)的概念及其性質(zhì)的教學(xué)中,以APOS 理論[2][3]中的四階段為主線設(shè)計教學(xué),借助Hawgent 動態(tài)軟件,展示隨著底數(shù)a不斷變化的指數(shù)函數(shù)圖象,啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生自主探究指數(shù)函數(shù)性質(zhì),解決實際問題,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng),發(fā)展思維能力,對于學(xué)生理解和應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有事半功倍之效.

活動(Action)階段是數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的起點,旨在使學(xué)生通過一系列外顯性的指令改變數(shù)學(xué)對象,即通過活動讓學(xué)生親身體驗,感受概念的直觀背景.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.

過程(Process)階段是概念學(xué)習(xí)的關(guān)鍵,是對外顯數(shù)學(xué)活動的進(jìn)一步加工,在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下,學(xué)生經(jīng)歷了思維的內(nèi)化和融合,能夠抽象出概念所特有的性質(zhì)以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考世界.在Hawgent 環(huán)境下,讓學(xué)生給底數(shù)a自由賦值,探索底數(shù)a的范圍.

對象(Object)階段通過情境導(dǎo)入,抽象出概念的本質(zhì),并給予形式化的定義及符號,使其達(dá)到精確化,最終成為一個具體的數(shù)學(xué)對象,形成一個“實體”.在這一階段,不僅可以具體的指明它所具有的各種性質(zhì),也可以以此為對象去實施各種特定的數(shù)學(xué)演算進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.Hawgent 環(huán)境下,通過變更底數(shù)的值引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

圖式(Schema)階段是學(xué)生在活動、過程、對象的基礎(chǔ)上,結(jié)合原有的相關(guān)方面的圖式進(jìn)行相應(yīng)的整合后,所產(chǎn)生的新的圖式結(jié)構(gòu).這一階段可建立概念間的聯(lián)系,以建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).在這里,通過Hawgent 展示函數(shù)圖象上的動點來解決實際問題,幫助學(xué)生建立新的圖式,如：函數(shù)的單調(diào)性可用來比較指數(shù)函數(shù)值的大小,能夠幫助學(xué)生理解同底不同冪、同冪不同底時的大小關(guān)系.上述4 個階段與本文教學(xué)之間的關(guān)系如圖1所示：

圖1 APOS 理論的4 個階段

三、指數(shù)函數(shù)的教學(xué)設(shè)計

依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》要求,要設(shè)置具體情境,使學(xué)生了解指數(shù)函數(shù)的實際意義及其概念；能用描點法或計算機軟件畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點[1].

(一)內(nèi)容分析

“指數(shù)函數(shù)”是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書數(shù)學(xué)A 版必修一4.2 節(jié)的內(nèi)容,作為基本初等函數(shù)之一,不僅可以增進(jìn)學(xué)生對函數(shù)概念的理解,還對后續(xù)其他函數(shù)的學(xué)習(xí)有一定的促進(jìn)作用.本節(jié)課蘊含了數(shù)形結(jié)合、分類討論、歸納推理等數(shù)學(xué)思想方法,對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)大有裨益,重點是指數(shù)函數(shù)的概念及其性質(zhì),難點是用數(shù)形結(jié)合的方法從具體到一般地探索、概括指數(shù)函數(shù)性質(zhì).

(二)教學(xué)過程與設(shè)計意圖

1.感受活動情境 體驗函數(shù)生成

由APOS 理論可知,活動階段是數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的起點,要通過活動、操作讓學(xué)生親身體驗,感受概念的直觀背景,以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.基于此,創(chuàng)設(shè)如下教學(xué)環(huán)節(jié).

首先,創(chuàng)設(shè)如下兩個教學(xué)情境,并引導(dǎo)學(xué)生得出關(guān)系式：

情境1：隨著人民生活水平不斷提高,旅游成為人們的重要出行方式.由于旅游人數(shù)的不斷增價,A、B 兩景區(qū)采取了不同的應(yīng)對措施,即A 地區(qū)提高了門票價格,B 地區(qū)則取消了門票,通過數(shù)據(jù)顯示,推導(dǎo)得出經(jīng)過年數(shù)x與游客人次y之間的關(guān)系為y=1.11x(x ∈[0,+∞)).

情境2：當(dāng)生物死亡后,它機體內(nèi)原有的碳14 含量會以一定的衰減率衰減,經(jīng)過半衰期后衰減為原來的一半,按照這種變化規(guī)律,生物體內(nèi)碳14 含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系：

接著,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究：兩個函數(shù)解析式有什么共同特征?

設(shè)計意圖在活動階段,從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā),利用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題,借助生活情境開始新課,通過探究兩個解析式的異同點,引導(dǎo)學(xué)生將兩個函數(shù)抽離實際背景,即得到y(tǒng)=1.11x和再引導(dǎo)學(xué)生抽象出指數(shù)函數(shù)的解析式,可以發(fā)現(xiàn)二者形式相同,但底數(shù)取值不同.此時啟發(fā)學(xué)生,若用一個字母代替底數(shù),即可得到y(tǒng)=ax這一函數(shù),完成學(xué)生對指數(shù)函數(shù)概念的初步構(gòu)建.

2.體驗探究過程 內(nèi)化函數(shù)概念

根據(jù)APOS 理論,過程階段是概念學(xué)習(xí)的關(guān)鍵,是對外顯數(shù)學(xué)活動的進(jìn)一步加工,讓學(xué)生經(jīng)歷思維的內(nèi)化,通過邏輯推理得出數(shù)學(xué)結(jié)論,用數(shù)學(xué)的思維思考世界,最終抽象出概念所特有的性質(zhì).基于上述理論指導(dǎo)及思考,創(chuàng)設(shè)如下探究環(huán)節(jié).

首先,教師啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生自主探索：你能夠結(jié)合上述兩個實際情境,對比所得指數(shù)函數(shù)解析式,任意給出一個指數(shù)函數(shù)嗎?

接著,學(xué)生通過模仿,給底數(shù)a任意賦值,得到不同的“指數(shù)函數(shù)”,此時,借助Hawgent 快速做出函數(shù)圖象,教師予以適時引導(dǎo),使學(xué)生經(jīng)歷思維的內(nèi)化,找到臨界點,得出底數(shù)a的范圍.如圖2,可以看出,當(dāng)a=0 時,當(dāng)且僅當(dāng)x ＞0 時,ax恒等于0,此時圖象與x軸正半軸重合,但無研究價值,當(dāng)x ＜0 時,ax無意義；當(dāng)a=1 時,y=1 為常函數(shù),圖象與x軸平行；當(dāng)a ＜0 時,例如當(dāng)a=-1 時,圖象不存在,即無研究價值.經(jīng)過多次賦值及交流討論,得出臨界點為0 和1.

最后得出當(dāng)且僅當(dāng)?shù)讛?shù)a滿足a ＞0,且a1 時,指數(shù)函數(shù)才有研究價值.

圖2 探究底數(shù)a 的范圍

圖3 關(guān)于軸對稱的指數(shù)函數(shù)圖象

設(shè)計意圖過程階段是對概念的深度加工,在教師的引導(dǎo)下,讓學(xué)生在“做”中學(xué)、“做”中思、“做”中悟.借助Hawgent 進(jìn)行多次任意賦值,使學(xué)生經(jīng)歷思維的碰撞,實現(xiàn)自主猜想與驗證,并在成功與失敗中獲得新知,以培養(yǎng)學(xué)生自主探究與合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣；此外,通過追蹤同一個指數(shù)函數(shù)圖象,得出指數(shù)函數(shù)中底數(shù)a的范圍,以彌補教科書中灌輸式教學(xué)的不足.

3.構(gòu)造對象實體 掌握函數(shù)性質(zhì)

在APOS 理論中,對象階段用于給予形式化的定義及符號,使之成為一個具體的數(shù)學(xué)對象,以此培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界,再通過Hawgent 數(shù)形結(jié)合,以探究具體性質(zhì).基于上述理論指導(dǎo)及思考,設(shè)計如下教學(xué)環(huán)節(jié).

首先,通過一系列的操作與交流討論,在教師的適時引導(dǎo)下,師生用數(shù)學(xué)語言表征指數(shù)函數(shù),給出定義：一般地,函數(shù)y=ax(a ＞0 且a1)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域是R.然后,小試牛刀,判斷下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù),并總結(jié)指數(shù)函數(shù)的判定條件.

練習(xí)

接著,在掌握了指數(shù)函數(shù)概念的基礎(chǔ)上,借助Hawgent引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的觀點去尋找指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).將全班同學(xué)分為兩組,令一組同學(xué)用描點法畫出y=2x的圖象,另一組畫出的圖象,小組交流討論二者圖象關(guān)系.在Hawgent 環(huán)境下,圖3所示,通過移動兩圖象上的動點,引導(dǎo)學(xué)生觀察坐標(biāo)的變化,發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩底數(shù)互為倒數(shù)時,二者函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.

圖4 若干個底數(shù)不同的函數(shù)圖象

最后,在學(xué)生發(fā)現(xiàn)y=2x與之間的對稱關(guān)系后,繼續(xù)追問學(xué)生當(dāng)?shù)讛?shù)a換作其他值時是否也有這樣的關(guān)系.此時,先讓學(xué)生進(jìn)行猜想,隨后再借助Hawgent 展示若干個不同底數(shù)的圖象,由教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象特征和底數(shù)a之間的關(guān)系,圖4所示,從具體的指數(shù)函數(shù)抽象到一般的指數(shù)函數(shù),通過觀察與思考交流之后,發(fā)現(xiàn)性質(zhì),填寫表1.

設(shè)計意圖在活動、過程階段為對象階段定義的引出埋下伏筆,從具體的實例抽象出一般數(shù)學(xué)概念,層層深入,實現(xiàn)了用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界,對指數(shù)函數(shù)概念有了深度理解.通過分組描點作圖,使學(xué)生合作交流,在鞏固舊知的基礎(chǔ)上,提升學(xué)生的操作能力.借助Hawgent 動態(tài)軟件優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式,作圖精準(zhǔn)無誤,數(shù)形結(jié)合,有助于提高教學(xué)效率；探究指數(shù)函數(shù)特性,形象直觀,促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.這一階段能夠突出教學(xué)重點、破解教學(xué)難點、抓住教學(xué)關(guān)鍵點,對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有極大的幫助.

表1 指數(shù)函數(shù)性質(zhì)表

4.建立深層圖式 解決實際問題

根據(jù)APOS 理論,圖式階段通過解決實際問題,建立指數(shù)函數(shù)及其他概念間的聯(lián)系,以完善函數(shù)概念的認(rèn)知圖式.這一階段是對“三會”的綜合體現(xiàn),將生活問題數(shù)學(xué)化、邏輯化、符號化,以更好的解決實際問題.據(jù)此,創(chuàng)設(shè)如下例題.

例1已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a ＞0 且a1)的圖象經(jīng)過點(3,π),求f(0),f(1),f(-3)的值.

設(shè)計意圖從數(shù)學(xué)邏輯出發(fā),由函數(shù)三要素可知,要求函數(shù)值,先求出指數(shù)函數(shù)f(x)=ax的解析式,也就是要先求a值,根據(jù)已知條件,利用待定系數(shù)法使學(xué)生進(jìn)一步體會指數(shù)函數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系,在原有的認(rèn)知圖式中加入指數(shù)函數(shù)的求值運算.

例2比較下列兩個函數(shù)值的大?。?/p>

(1)1.70.5,1.71.5(2)0.8-0.2,0.81.5(3)1.70.5,0.91.9

圖5 比較函數(shù)值大小

圖6 比較函數(shù)值大小

圖7 比較函數(shù)值大小

設(shè)計意圖比較函數(shù)值大小是對指數(shù)函數(shù)概念及其性質(zhì)的一大應(yīng)用,要比較函數(shù)值大小可利用函數(shù)單調(diào)性及其圖象進(jìn)行判斷,借助Hawgent 作圖,圖5-7 所示,通過移動圖上動點,根據(jù)坐標(biāo)值判斷大小,方便快捷直觀,使學(xué)生進(jìn)一步理解同底不同冪、不同底不同冪時的大小關(guān)系,體會指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,在原有認(rèn)知圖式中建立指數(shù)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的聯(lián)系.

例3截止到1999年底,我國人口約13 億,如果今后能將人口年平均增長率控制在1%,那么經(jīng)過20年后,我國人口數(shù)最多為多少(精確到億)?

設(shè)計意圖數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)最終還要落實到應(yīng)用,這道題意在建立指數(shù)函數(shù)增長模型——形如y=kax(k ∈R,且k0;a ＞0 且a1)的指數(shù)型函數(shù),以解決實際問題.在原有的認(rèn)知圖式中增加指數(shù)函數(shù)模型,對這一生活情境符號化,讓學(xué)生進(jìn)一步體會指數(shù)函數(shù)的實用性.

設(shè)計意圖由上述三道例題可以看出知識之間是相互聯(lián)系的,圖式階段就是通過例題的應(yīng)用來引導(dǎo)學(xué)生,在原有的認(rèn)知圖式基礎(chǔ)上不斷思考,以建立概念間的聯(lián)系,這一階段不是一次就能完成的.在Hawgent 環(huán)境下,動態(tài)展示函數(shù)圖象,利用函數(shù)單調(diào)性比較例2 中函數(shù)值的大小,幫助學(xué)生理解同底不同冪、不同底不同冪時的大小關(guān)系；展示例3 中的指數(shù)型函數(shù),形成新的圖式,使學(xué)生建立概念間的聯(lián)系,以更好地把握指數(shù)函數(shù)的相關(guān)概念及其性質(zhì).

四、教學(xué)設(shè)計反思

在APOS 理論4 階段的指引下對指數(shù)函數(shù)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計,從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)角度來看,4 階段層層遞進(jìn),能夠表征學(xué)生對數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的層次性；逐層深入,能夠反映學(xué)生在概念學(xué)習(xí)時的思維活動,體現(xiàn)學(xué)生從具體到一般建構(gòu)心理圖式的全過程.在Hawgent 環(huán)境下,得以優(yōu)化教學(xué)方式,追蹤指數(shù)函數(shù)動態(tài)變化的過程,作出不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合,利用圖象上的動點,解決實際問題,增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識,展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值,改善了傳統(tǒng)教學(xué)手工繪圖耗時長、不精確等問題,能夠直觀感受指數(shù)函數(shù)的圖象美；且教學(xué)過程中以學(xué)生為主,教師為輔,注重對學(xué)生“三會”的培養(yǎng)以及知識體系的構(gòu)建.

在活動階段,注重學(xué)生思維的鍛煉及指數(shù)函數(shù)生成的過程,設(shè)置情境激發(fā)學(xué)生的興趣,為學(xué)生指數(shù)函數(shù)模型的構(gòu)建奠定了基礎(chǔ)；在過程階段,通過教師引導(dǎo)對指數(shù)函數(shù)概念進(jìn)行深度理解,明確指數(shù)函數(shù)的定義域及其底數(shù)a的范圍,對指數(shù)函數(shù)概念有整體的把握；在對象階段,對指數(shù)函數(shù)符號化,通過Hawgent 做出圖象探究性質(zhì),數(shù)形結(jié)合,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律；在圖式階段,構(gòu)建概念間的聯(lián)系,建立新的圖式,注重應(yīng)用指數(shù)函數(shù)解決實際問題.總體看來,基于APOS 理論指導(dǎo)指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)能夠促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建深層圖式,形成概念體系,在Hawgent 輔助下,四個階段環(huán)環(huán)相扣,學(xué)生對指數(shù)函數(shù)的理解不斷提升,使教師對學(xué)生不僅授之以魚,更授之以漁.