全國卷高考背景下淺談“統(tǒng)計”教學的策略及建議

廣州市鐵一中學(510600)范選文

一、近五年理科數(shù)學全國卷概率統(tǒng)計試題特點分析

年份試卷分類考察知識點2017年1 卷二項分布、正態(tài)分布3σ 原則、平均數(shù)和方差計算2 卷頻率分布直方圖、2×2 列聯(lián)表、獨立性檢驗3 卷隨機變量分布列及數(shù)學期望2016年1 卷相互獨立事件、隨機變量分布列及數(shù)學期望2 卷條件概率、隨機變量分布列及數(shù)學期望3 卷折線圖、相關(guān)系數(shù)、線性回歸方程及預測2015年1 卷散點圖、非線性擬合函數(shù)、線性回歸方程及預測2 卷莖葉圖、樣本的集中程度估計整體、相互獨立事件2014年1 卷頻率分布直方圖及平均數(shù)、方差計算、正態(tài)分布、二項分布2 卷線性回歸方程及預測

年份試卷分類考察知識點2013年1 卷相互獨立事件、隨機變量分布列及數(shù)學期望2 卷頻率分布直方圖、隨機變量分布列及數(shù)學期望

從近五年全國高考新課標卷概率統(tǒng)計試題來看,概率統(tǒng)計試題對知識點的考查較為全面,以理科數(shù)學為例,考點覆蓋了概率統(tǒng)計必修與選修的各個章節(jié)內(nèi)容,考查了抽樣方法,統(tǒng)計圖表,數(shù)據(jù)的數(shù)字特征,用樣本估計總體,回歸分析,獨立性檢驗,古典概型,幾何概型,條件概率,相互獨立事件的概率,獨立重復試驗的概率,離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望與方差,超幾何分布,二項分布,正態(tài)分布等基礎知識和基本方法.從全國I 卷特點分析,統(tǒng)計思想占主導地位,以實際問題為背景,計算量較大,涉及的基本概念較多,學生需要具備較強的分析閱讀能力和比較全面的概率統(tǒng)計基本知識.

二、高中統(tǒng)計教學內(nèi)容的兩條主線

新課程將統(tǒng)計作為高中數(shù)學課程的必修內(nèi)容,在高中必修3 部分要求學生理解數(shù)據(jù)處理的全過程—提出問題、收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、解釋數(shù)據(jù)、作出判斷,進一步體會統(tǒng)計思想的重要性,而選修部分則加深了統(tǒng)計教學的難點,通過案例研究,體會統(tǒng)計思想并加以應用.所以教師應該從教材整體上把握統(tǒng)計教學的內(nèi)容,筆者認為高中統(tǒng)計教學主要有以下兩條主線：

1 研究統(tǒng)計的基本過程

數(shù)據(jù)收集→數(shù)據(jù)整理→數(shù)據(jù)分析處理→估計推斷

數(shù)據(jù)收集數(shù)據(jù)整理數(shù)據(jù)分析、處理估計推斷簡單隨機抽樣系統(tǒng)抽樣分層抽樣頻率分布直方圖莖葉圖散點圖2×2列聯(lián)表集中程度(中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù))離散程度(極差、方差、標準差)兩個變量之間是否線性相關(guān)兩個分類變量是否有關(guān)系用樣本估計總體回歸分析獨立性檢驗

2 是研究隨機變量的基本過程

概率分布模型→概率計算→估計推斷

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三、高中教材中統(tǒng)計內(nèi)容分析

1.統(tǒng)計與統(tǒng)計觀念的滲透

“統(tǒng)計”可以指統(tǒng)計數(shù)據(jù)的搜集活動,即統(tǒng)計工作;也可以指統(tǒng)計活動的結(jié)果,即統(tǒng)計數(shù)據(jù);還可以指分析統(tǒng)計數(shù)據(jù)的方法和技術(shù),即統(tǒng)計學.《課程標準》將“統(tǒng)計觀念”作為教育階段數(shù)學課程的重要目標之一,學生學習統(tǒng)計的核心目標是發(fā)展自己的“統(tǒng)計觀念”.那么統(tǒng)計觀念的內(nèi)涵是什么? 它是一種需要在親身經(jīng)歷的過程中培養(yǎng)出來的感覺,是能自覺地想到運用統(tǒng)計的方法解決有關(guān)問題的感覺,即“信息感”或“數(shù)據(jù)感”.統(tǒng)計觀念的具體表現(xiàn)在以下兩個方面：(1)是能從統(tǒng)計的角度思考與數(shù)據(jù)信息有關(guān)的問題,即當遇到有關(guān)問題時能想到去收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù);(2)是能通過收集數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的過程作出合理的決策,認識到統(tǒng)計對決策的作用.

2.統(tǒng)計內(nèi)容與其它內(nèi)容的區(qū)別

首先是推理方式的不同,經(jīng)典的數(shù)學一般以演繹的方式來搭建平臺,具有嚴密的邏輯推理的特點,它有助于培養(yǎng)人們的確定性思維.在解決數(shù)學問題時,已知條件算出一個確定的結(jié)果,或者推導出一個明確的結(jié)論.統(tǒng)計是一個包括數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析的完整過程.統(tǒng)計研究要深入具體對象,收集有代表性的數(shù)據(jù),統(tǒng)計學的一個重要思想就是利用樣本的信息推斷總體的有關(guān)信息,以樣本特征數(shù)估計總體特征數(shù),以樣本頻率估計總體概率等,它以歸納的方式給人們提供了另一種有效的思維模式,即不確定思維或統(tǒng)計思維.

其次是推理的結(jié)果不同,統(tǒng)計的特征之一是通過部分的數(shù)據(jù)來推測全體數(shù)據(jù)的性質(zhì),因此,統(tǒng)計結(jié)果具有隨機性,統(tǒng)計推斷是可能犯錯誤的,這一點與確定思維不同.所以教學中應該讓學生從中體會統(tǒng)計思維與確定思維的差異,主要把握兩方面含義：首先是樣本頻率分布和數(shù)字特征具有隨機性,這種隨機性使得統(tǒng)計推斷是有可能犯錯誤的;其次是合理的選取樣本,并利用樣本規(guī)矩總體是一種非常有價值的思想,在實際生活中有著重要作用.

四、高中教材中滲透的統(tǒng)計思想

高中教材在必修部分要求學生學會運用隨機抽樣方法收集數(shù)據(jù),學會用樣本信息估計總體信息,也要求學生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的全過程—-提出問題、收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、解釋數(shù)據(jù)、作出判斷,進一步體會統(tǒng)計思想的重要性,而選修部分則加深了統(tǒng)計教學內(nèi)容的難度,輔以如回歸分析、獨立性檢驗等統(tǒng)計案例來研究體會統(tǒng)計思想并加以應用.所以高中數(shù)學統(tǒng)計教學內(nèi)容總共蘊含了下面四個統(tǒng)計思想.

1.隨機抽樣思想

統(tǒng)計過程的一個重要步驟就是收集數(shù)據(jù),在實際收集數(shù)據(jù)時,我們需要注意三個問題：(1)清楚收集對象;(2)明確收集目的;(3)確保收集質(zhì)量;要保證每個個體被抽到的機會是均等的.那么在數(shù)據(jù)收集的過程中,我們應該采用什么樣的方法呢? 隨機抽樣,就是要保證在抽樣過程中每個個體都可能被抽到,且被抽取的可能性相等.高中教材中總共介紹了三種隨機抽樣：簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣.

2.樣本估計總體思想

通過隨機抽樣,可以從總體中抽取樣本,獲取樣本信息.用樣本信息估計總體信息,是研究統(tǒng)計問題常用的基本方法.我們可以通過畫圖、列表和計算等方式去發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)的規(guī)律,通過圖表等直觀且容易理解的形式,將樣本數(shù)據(jù)所包含的信息呈現(xiàn)出來.這樣我們就能夠通過樣本信息對總體作出相應的估計.教材里總共介紹了以下兩種估計方法：(1)用樣本的頻率分布估計總體的分布;(2)用樣本的數(shù)字特征來估計總體的數(shù)字特征(例如平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等)

(1)用樣本的頻率分布估計總體分布

我們通過隨機抽樣方法所獲得的數(shù)據(jù)一般都是雜亂的,很難直接從數(shù)據(jù)中看出規(guī)律,為此,就需要對獲取的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計、整理和分析.分析數(shù)據(jù)時,從一個包含大量數(shù)據(jù)的樣本中直接得到樣本所包含的信息比較困難,這時就需要把這些數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成頻數(shù)分別直方圖或者頻率分布直方圖等圖表形式,通過對圖表的觀察分析就可以比較清楚直觀地看出數(shù)據(jù)信息的特征,從而能夠較好的估計出總體的分布情況.

(2)用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

用圖、表來表現(xiàn)樣本數(shù)據(jù),然后通過樣本的頻率分布估計總體的分布.但是為了更好地理解樣本估計總體,更好的從整體上把握總體的規(guī)律,在分析和解釋數(shù)據(jù)時,還需要進一步的研究,即通過樣本的數(shù)據(jù)信息來研究總體的數(shù)字特征(如眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差等).平均數(shù)可以用來反映樣本數(shù)據(jù)的平均水平,眾數(shù)和中位數(shù)則反映的是樣本數(shù)據(jù)的“重心”,而方差、標準差與極差則反映的是樣本數(shù)據(jù)的波動情況、離散程度,即樣本數(shù)據(jù)的均衡性、

3.回歸分析的思想

現(xiàn)實生活中的變量與變量之間的關(guān)系有兩種：一是確定的函數(shù)關(guān)系;二是兩個變量之間存在著一定的關(guān)系,但又不像函數(shù)關(guān)系那樣具備確定性,它們之間的關(guān)系具有一定的隨機性.由于相關(guān)關(guān)系具有隨機不確定性,所以在判斷兩個變量間的相關(guān)關(guān)系是,首先要收集數(shù)據(jù),然后對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析(畫出散點圖),根據(jù)散點圖發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律(直觀感受兩個變量是否相關(guān)),最后才是對兩個變量間的相關(guān)關(guān)系進行定量分析(利用最小二乘法得出的公式對數(shù)據(jù)進行計算從而得到回歸直線方程).但是只有確定兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系時,才能運用回歸分析方法求出相應的回歸直線方程.那如何判斷兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系呢? 方法有兩種：一是從散點圖中直觀發(fā)現(xiàn);二是利用相關(guān)系數(shù)公式計算出相關(guān)系數(shù)r,當|r|越接近1,說明相關(guān)性越強.

在回歸分析的過程中,需要對樣本數(shù)據(jù)進行擬合,利用回歸直線方程進行預測,預測所得數(shù)值也不是精確值,具有隨機性.在這整個過程中,都體現(xiàn)出對數(shù)據(jù)的處理以及具有隨機性的統(tǒng)計過程,突出統(tǒng)計思想的內(nèi)涵,即統(tǒng)計思想是一種根據(jù)樣本信息來估計總體信息的思想方法,是一種“由局部到整體”的歸納思想,是一種注重數(shù)據(jù)處理、注重統(tǒng)計過程的具有隨機性的思想.兩個變量之間具有相關(guān)關(guān)系的前提是這兩個變量間的關(guān)系是隨機不確定的,這本身就很好的體現(xiàn)了隨機性的思想.

4.獨立性檢驗的思想

在日常生活中,我們經(jīng)常需要判斷兩個分類變量之間是否存在一定的關(guān)系.例如,性別是跟喜歡數(shù)學課程有關(guān)? 禿頂與患心臟病之間是否有關(guān)系? 吸煙與肺癌之間是否有關(guān)系?等等.獨立性檢驗是一種常用的統(tǒng)計推斷方法,它主要用來檢驗兩種分類變量之間是否有關(guān)系.它的基本原理是：在一個已知假設下,如果一個與該假設矛盾的小概率事件發(fā)生,就推斷這個假設不成了,且該推斷犯錯誤的概率不超過這個小概率.它依據(jù)的是實際推斷原理,即小概率原理：“小概率事件在一次實驗中是不可能發(fā)生的”.在中學階段我們一般只研究兩個分類變量,且每個分類變量只有兩個可取的值,這時得到的列聯(lián)表稱為2×2 列聯(lián)表,由列聯(lián)表可以粗略地估計出兩個變量(兩類對象)是否有關(guān)(即粗略地進行獨立性檢驗),但2×2 列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是樣本數(shù)據(jù),它只是總體的代表,具有隨機性,故需要用獨立性檢驗的方法,即利用卡方計算公式進行計算K2值后來確認所得結(jié)論在多大程度上適用于總體.

五、教學策略與建議

1.重視考綱考點的變化,改變教學方式和教學觀念

高考全國卷概率統(tǒng)計解答題一直都比較重視數(shù)學應用,考查的知識點主要以統(tǒng)計為主,概率為輔,這個符合高考大綱對統(tǒng)計和概率教學的要求.但大部分復習備考教師們則還是以概率教學為主,在備考中較少滲透統(tǒng)計思想,導致每年的試題出來后總是超出教師的想象,感覺與復習的有較大出入.其實每年的試題雖有變化,但其中集中程度高,都是圍繞考綱來命制.所以建議教師在教學中多研究考綱考點,改變對概率和統(tǒng)計教學的教學方式和教學觀念,必須引導學生經(jīng)歷統(tǒng)計模型的構(gòu)建過程和應用過程,讓學生真正懂得統(tǒng)計思想,從而應對“活”的統(tǒng)計問題.

2.重視通過案例教學,突出統(tǒng)計思維特點和作用

新課標中強調(diào),“統(tǒng)計觀念和隨機思想將成為現(xiàn)代社會一種普遍適用并且強有力的思維方式,要使學生形成尊重事實,用數(shù)據(jù)說話的態(tài)度,能有效地利用統(tǒng)計分析的方法,科學合理地利用數(shù)據(jù)信息”.因此,統(tǒng)計課程的教學重點應是對統(tǒng)計意義的理解,對統(tǒng)計方法的選擇,對統(tǒng)計結(jié)論的鑒別.強調(diào)統(tǒng)計教學學必須通過一些典型案例來進行,例如對于“最小二乘法”的教學中,可以通過一個學生感興趣的案例,比如學生身高與體重的關(guān)系,讓學生根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作出散點圖,利用散點圖直觀認識到變量間存在著線性相關(guān)關(guān)系,然后鼓勵學生自己想辦法確定一條“比較適合”的直線描述這兩個變量之間線性相關(guān)關(guān)系,在此基礎中再引入最小二乘法,并給出線性回歸方程.具體的案例能讓學生理解問題和方法的本質(zhì),對統(tǒng)計思想的理解會更加深入和牢固.