整體把握教學(xué)內(nèi)容,積極落實(shí)探究活動*
——以“向量的概念及表示”教學(xué)為例

江蘇省新沂市教師發(fā)展中心(221400)晁豐成

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》全面實(shí)施,新課程標(biāo)準(zhǔn)、新課程方案、新高考方案和舊教材背景下的課堂實(shí)踐在2018 級高一年級全面展開.但是在實(shí)際的課堂組織過程中,老師們“三新一舊”背景有效教學(xué)如何實(shí)施充滿困惑,對于核心素養(yǎng)如何在課堂中落地不知所措.有鑒于此,省教研室及早布局,精準(zhǔn)發(fā)力,于2018年11月20-22日在南通市通州高級中學(xué)舉辦省第十四屆中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)高級論壇,就新課標(biāo)背景下高中數(shù)學(xué)課堂改革面臨的具體問題進(jìn)行系統(tǒng)研究,積極尋找對策,筆者有幸代表大市在高級論壇同課異構(gòu)開設(shè)《平面向量的概念及表示》研討課,課堂實(shí)踐中積極構(gòu)建“三新一舊”背景下的課堂新樣態(tài),現(xiàn)場取得了較好的效果,現(xiàn)將上課的過程和感想與同行們進(jìn)行交流.

一、課堂實(shí)錄

1.真實(shí)情境

2017年8月3 日,慶祝建軍90 周年閱兵式在朱日和訓(xùn)練場如期舉行,場面壯觀,氣勢如虹,時至今日仍然使人心潮澎湃,我們大家一起回顧其中片段：(鏈接2 分29 秒的視頻,精選圖片兩幅如下).

師：因?yàn)檎R,所以震撼,如果戰(zhàn)機(jī)方隊的每一架飛機(jī)速度大小都為200m/s,戰(zhàn)機(jī)編隊一定會整齊? 除了速度大小相等,戰(zhàn)機(jī)編隊隊形整齊還需要什么條件?

生1：速度大小都為200m/s,戰(zhàn)機(jī)方隊不一定整齊,隊形整齊還和飛機(jī)的飛行方向有關(guān).

生2：速度的方向也要相同.

師：還可以用更加精準(zhǔn)的語言描述“速度大小相等,方向相同”.

生3：速度大小相等,方向相同,可以直接表達(dá)為“速度相同”.

師：回答很好,速度作為一個物理量,它同時包含大小和方向兩個方面要素,這樣的量在生活中還有,請列舉部分.

生4：位移,加速度,力等物理量.

師：我們在物理中已經(jīng)會對物體受力分析,已知平面上一個物體重量為1kg(g=9.8m/s2),

圖1

請對它進(jìn)行受力分析.

生5：到黑板板演(在過程中一定會使用“有向線段”).師：生活中,除了身高、體重、距離、長度、體積等數(shù)量問題,還有一些量必須用數(shù)值和方向一起表示,這就是我們本節(jié)課研究的內(nèi)容(板書本節(jié)課課題).

2.任務(wù)驅(qū)動

2.1.研究對象

(1)向量的概念

師：現(xiàn)實(shí)中有的量只有大小沒有方向,有的量既有大小又有方向.數(shù)學(xué)的對位移、力這些既有大小又有方向的量進(jìn)行抽象,就形成一種新的量——向量,請你結(jié)合您對速度、位移、力、加速度的認(rèn)識和理解給出向量的概念.

生6：口答,老師給予校正和調(diào)整,并對學(xué)生的表達(dá)給予調(diào)整和優(yōu)化.

師板書：向量——既有大小又有方向的量.

(2)向量的表示

師：數(shù)學(xué)中,概念產(chǎn)生后,通常要用符號語言表達(dá)它,結(jié)合生5 對力的表達(dá),你嘗試給出向量的表示方法.

生7：生5 提供可以用有向線段表達(dá)“力”,力是向量,所以向量可以用有向線段表示.

師：回答準(zhǔn)確

向量的表示：以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段,記作(注意起終點(diǎn)順序),也可表示為

圖2

師：觀察圖中的正六邊形ABCDEF,結(jié)合它的中心O,寫出其中任意四個向量.

生8、生9、生10：板演,板演結(jié)果保留在黑板,下面接著用.

圖3

2.2.研究角度

既有大小又有方向的量叫向量,接下來我們研究向量的特征就有兩個角度,即大小和方向.

(1)向量的大小

師：有些向量的大小比較特殊,請你嘗試給出找出它們,并給出名稱.

生11：長度為1 的向量稱為單位向量,長度為0 的向量稱為零向量.

師：已知正六邊形ABCDEF邊長為1,中心為O,結(jié)合圖形,說說有哪些向量是單位向量.

生12：口答,過程中在教師引導(dǎo)下體會與的關(guān)系.

圖4

師：平面直角坐標(biāo)系內(nèi),起點(diǎn)在原點(diǎn)的單位向量,它們的終點(diǎn)的軌跡是什么圖形?生13：單位圓.

(2)向量的方向：

師：觀察之前學(xué)生板演的每人的四個向量,從方向上比較,哪些向量方向上的關(guān)系比較特別?

生8、生9、生10：口答,發(fā)現(xiàn)之前所表達(dá)的向量有的方向相同,有的方向相反.

師板書：平行向量：方向相同或方向相反的向量規(guī)定：與任意向量平行.

2.3.特殊關(guān)系

師：觀察圖中的正六邊形ABCDEF.給圖中的任意兩個線段加上箭頭表示向量,將長度和方向結(jié)合分析,說出您發(fā)現(xiàn)的兩個向量間的特殊關(guān)系,并嘗試給出關(guān)系的名稱.

圖5

生14 完成填空：

1.___和___為相等向量,可記為___=___.

2.的相反向量為___,關(guān)系可表達(dá)為___=___.

3.___和___為共線向量,可記為___//___.

師：閱讀教材60 頁左側(cè)說明,嘗試?yán)斫夤簿€向量與平行向量的本質(zhì)統(tǒng)一.

生15：結(jié)合教材上的說明,向量只和大小、方向有關(guān),和位置無關(guān),所以共線向量就是平行向量

3、數(shù)學(xué)活動

師：概念辨析

例1 思考以下說法是否正確：

1.若兩個向量相等,則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合.

3.平行于同一個向量的兩個向量平行.

生16：完成題目要求的任務(wù)(大約兩分鐘).

4.內(nèi)化提升

師：在研究集合時,我們分析問題的角度有：集合的概念,集合的表示表示,集合的關(guān)系,集合的運(yùn)算,類比,猜想,接下來要研究向量的系列問題.

生17：在了解向量的概念及表示后,本節(jié)課只是學(xué)習(xí)了向量間的特殊關(guān)系,它們之間的一般性關(guān)系接下來肯定還要再研究,類比集合,向量的運(yùn)算是接下來學(xué)習(xí)的重點(diǎn).

師：學(xué)習(xí)到現(xiàn)在,我們知道了向量的概念及表示,剩下的時間,讓我們一起了解向量的前世今生(鏈接1 分49 秒的視頻,提供兩幅圖片如下).

二、教學(xué)反思

作為章節(jié)起始課,本課的教學(xué),應(yīng)力求使學(xué)生理了解向量概念的背景和形成過程,了解為什么要引入這個概念,怎樣定義這個概念,怎樣入手研究一個新的問題.因此,在教學(xué)中教師應(yīng)注意從宏觀上為學(xué)生勾勒研究框架和總體思路,使學(xué)生能“抬頭看路”,知道往哪里走,這恰恰是“主題教學(xué)”、“單元教學(xué)”的價值所在；微觀上,引導(dǎo)學(xué)生通過類比,有序地給出向量的定義、討論向量的表示、定義特殊向量、研究向量之間的特殊關(guān)系,這恰恰是數(shù)學(xué)探究的魅力所在.

1.要嘗試整體把握教學(xué)內(nèi)容

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》第六章給出的教學(xué)建議明確指出：整體把握教學(xué)內(nèi)容,促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展(第82 頁).所以教學(xué)設(shè)計要以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,抓住主題或者單元教學(xué)內(nèi)容的主線,引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握課程,帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從類比、模仿到自主創(chuàng)新,從局部實(shí)施到整體構(gòu)想,這恰是“三新一舊”背景下課堂教學(xué)實(shí)踐的關(guān)鍵點(diǎn),也是在課堂上落實(shí)核心素養(yǎng)的途徑和抓手.本節(jié)課在整體把握教學(xué)內(nèi)容方面做出以下三方面的有益嘗試.

(1)優(yōu)化課堂組織方式.本節(jié)課從真實(shí)情境出發(fā),以真實(shí)情境——任務(wù)驅(qū)動——數(shù)學(xué)活動——內(nèi)化提升的主線組織課堂,帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從具體事例中領(lǐng)悟向量概念的本質(zhì)特征,在占有大量事實(shí)的基礎(chǔ)上給出向量概念的定義及表示,從具體圖形中認(rèn)識并提煉出向量的基本關(guān)系.使學(xué)生在一系列數(shù)學(xué)經(jīng)歷中體會到認(rèn)識研究一個新的數(shù)學(xué)概念的基本方法,而不是停留在某個具體的概念學(xué)習(xí)上,真正做到“心中有森林,眼中有樹木”.

(2)豐富課堂學(xué)習(xí)層次.本節(jié)課,為了帶領(lǐng)學(xué)生真正走進(jìn)向量的本質(zhì),感受研究數(shù)學(xué)概念的一般方法,課堂學(xué)習(xí)共計設(shè)計了三個層次：帶領(lǐng)學(xué)生從真實(shí)情境中體會“向量集形與數(shù)于一身”的特征；引導(dǎo)學(xué)生嘗試用聯(lián)系的觀點(diǎn)、類比的方法研究向量；鼓勵學(xué)生通過對向量的概念和表示的研究角度與研究方法,體會研究一類新的數(shù)學(xué)問題的基本套路(思路),在整節(jié)課的推進(jìn)中,努力做到“基于問題情境,注重過程引導(dǎo),帶領(lǐng)學(xué)生積累從具體問題到數(shù)學(xué)抽象的活動經(jīng)驗(yàn)”.

(3)融入數(shù)學(xué)文化內(nèi)容.在本節(jié)課最后階段,從一段小視頻入手,和學(xué)生一起了解了向量的前世今生,對向量的發(fā)展歷史和關(guān)鍵時間節(jié)點(diǎn)以及關(guān)鍵人物給出介紹,促進(jìn)學(xué)生了解“向量”的發(fā)展歷程,認(rèn)識“向量”作為工具在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的重要作用,感悟“向量”的價值.雖然只是一段1 分49 秒的段視頻,實(shí)際起到了“提升學(xué)生科學(xué)精神、應(yīng)用意識和人文素養(yǎng)”的巨大功能.

2.要積極落實(shí)探究活動

“倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式”是高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念之一,數(shù)學(xué)教學(xué)離不開問題驅(qū)動,基于問題驅(qū)動的課堂才是有效的課堂.這就要求我們的教師在教學(xué)中要設(shè)計恰當(dāng)?shù)膯栴},努力帶領(lǐng)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動,使課堂成果的產(chǎn)生是學(xué)生自己主動思維的結(jié)果,這也就是“探究式”教學(xué)的精髓所在.數(shù)學(xué)探究活動是提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的載體,課堂中應(yīng)該整體設(shè)計,分步實(shí)施數(shù)學(xué)探究活動,引導(dǎo)學(xué)生閱讀自學(xué)、獨(dú)立思考、動手實(shí)踐、自主探究、合作交流等方式,將數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)活動充分發(fā)揮學(xué)科價值,讓學(xué)生在探究活動中增長數(shù)學(xué)本領(lǐng),鍛煉數(shù)學(xué)思維,發(fā)展數(shù)學(xué)能力.

平面向量既可以看為平面內(nèi)中一個點(diǎn)相對于另一個點(diǎn)位置差異的抽象,也可以看為物理學(xué)中位移、力、速度、加速度的抽象,如何在概念教學(xué)中精心設(shè)計問題,帶領(lǐng)學(xué)生從具體事實(shí)出發(fā),抽取出一類數(shù)學(xué)現(xiàn)象的共同屬性或本質(zhì)屬性,從而形成數(shù)學(xué)概念,考驗(yàn)著教師對“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)的理解和和對課堂生態(tài)的把握,影響著學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的感受及數(shù)學(xué)整體素養(yǎng)的提升.本節(jié)課,不管是“速度相同”、“力的表示”、“向量的概念”、“向量的表示”、還是“特殊向量的概念”、“向量間的特殊關(guān)系”,都是老師在提供探究問題或者探究活動的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生在動手、動腦、動口、動筆等“數(shù)學(xué)經(jīng)歷”的基礎(chǔ)生進(jìn)行歸納、猜想、研究、挖掘、概括、反思、修正上完成的,在活動中訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維,在探究中形成數(shù)學(xué)能力.在課堂最后,老師提出問題“類比研究集合的角度大膽猜想,接下來要研究向量的系列問題”更是給學(xué)生打開思維新通道,帶領(lǐng)學(xué)生將“碎片化”的概念學(xué)習(xí)系統(tǒng)整合,更為接下來的學(xué)習(xí)方向埋下伏筆.

基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué),應(yīng)該是以知識、方法為載體的思維教學(xué)、能力教學(xué)、創(chuàng)新教學(xué),需要帶領(lǐng)學(xué)生梳理出學(xué)習(xí)線索和學(xué)習(xí)方法,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以及核心素養(yǎng),落實(shí)這些任務(wù)的途徑和通道很多,我們只要善于思考,積極學(xué)習(xí),深入理解新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念和框架,努力的改進(jìn)教學(xué)方式和教學(xué)行為,就能夠把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)融入到我們的教學(xué)實(shí)踐,本節(jié)課僅僅是“嘗試”,期待同行們對這方面更加精彩的實(shí)踐和研究.