鋼筋混凝土框架柱類構件的非彈性穩(wěn)定性驗算方法研究

劉緒超 魏巍 白紹良

(重慶大學土木工程學院 400045)

引言

在鋼筋混凝土多、高層建筑結構中，因材料的綜合強度明顯低于鋼材，導致其中柱類構件長細比相對偏小，一般不存在真正意義上的失穩(wěn)風險，故各國混凝土結構設計規(guī)范雖都在柱類構件設計中考慮了二階效應的不利影響，但除去對高層建筑結構給出整體側向穩(wěn)定驗算方法[1]外，至今均未給出單根柱類構件的失穩(wěn)驗算規(guī)定。盡管如此，面對某些長細比、軸壓力偏大的柱類構件，如越層柱等，結構設計時仍需考慮其是否存在失穩(wěn)風險的問題。

到目前為止，已有研究者提出過建筑結構中鋼筋混凝土壓桿失穩(wěn)判別的建議[2-4]。在對這些建議進行分析和理解后，本文出于結構設計的實際需要，以結構靜力非彈性分析或非彈性動力反應分析的結果為出發(fā)點，在整個結構體系滿足重力荷載作用下側向整體穩(wěn)定性的前提下，試圖對這類構件的失穩(wěn)判別提出相對更具優(yōu)勢的方法。在建立該方法時遵循的三項基本原則是：(1)從概念上嚴格符合穩(wěn)定理論；(2)充分考慮鋼筋混凝土桿件的非彈性性能；(3)方便工程設計應用。

本文簡要梳理涉及壓桿穩(wěn)定問題的基本概念，給出在某個偏不利時點或狀態(tài)下求解框架柱“非彈性計算長度”的方法，并通過對框架柱對應的非彈性單桿模型的有限元模擬，獲得非彈性單桿模型在各主要因素影響下穩(wěn)定臨界荷載的變化規(guī)律并據(jù)此擬合出其數(shù)學表達式，在此基礎上提出了框架柱沿一個平面主軸的穩(wěn)定性驗算方法。

1 壓桿穩(wěn)定問題的基本概念

1.1 壓桿的兩類基本穩(wěn)定問題

經(jīng)典穩(wěn)定理論以兩端鉸支軸心壓桿或兩端鉸支等偏心壓桿為基本模型，并將壓桿的失穩(wěn)方式分為兩類。一類是彈性軸心壓桿，當軸壓力達到臨界荷載Pcr時，壓桿將形成隨機朝左、右任一側的屈曲狀態(tài)，這類失穩(wěn)方式稱為“分枝失穩(wěn)”或“第一類穩(wěn)定問題”，如圖1中的OAB線或OAB′線所示。另一類是偏心壓桿。若壓桿材料為彈性，則當軸壓力逼近Pcr時，如圖1中的 OC 線所示，壓桿的側向撓曲變形將以AB線為漸近線而無限增大，稱為“漸近線失穩(wěn)”；若壓桿材料為非彈性，則如圖1中的ODE線所示，壓桿側向變形首先隨著軸壓力增大而遞增，接著當軸壓力增至極值點后，因軸力產(chǎn)生的外力矩增量已超過材料抗力所提供的內力矩增量，故只有減小軸壓力才能使桿件繼續(xù)保持穩(wěn)定，因此，極值點D即為此類壓桿的失穩(wěn)臨界點，對應的失穩(wěn)方式稱為“極值點失穩(wěn)”。“漸近線失穩(wěn)”和“極值點失穩(wěn)”統(tǒng)稱為“第二類穩(wěn)定問題”。

圖1 壓桿的荷載-位移曲線Fig.1 Load-displacement curve of column

1.2 壓桿的計算長度

根據(jù)彈性穩(wěn)定理論的研究成果，當壓桿兩端不符合鉸支條件時，即可根據(jù)桿件在真實端約束條件下受側向干擾形成的撓曲線形狀，以其中兩個反彎點之間的豎向距離l0作為當量兩端鉸支桿的長度，l0被定義為壓桿的“計算長度”。按撓曲線反彎點確定計算長度系數(shù)μ的幾個典型例子如表1所示。

表1 典型支承條件下軸心壓桿的計算長度系數(shù)Tab.1 Effective length coefficients of axial compressive column under typical supporting conditions

把這一概念推廣到已完成非彈性分析的各類結構中即可確認，只要已知某根柱在某個受力狀態(tài)下的非彈性受力特征和對應的撓曲線，即可按該撓曲線反彎點之間的直線距離確定該柱當量兩端鉸支桿的“非彈性計算長度”。當然，此時也需要考慮當量兩端鉸支桿的材料非彈性來確定其極值點失穩(wěn)軸壓力。

2 框架柱類構件沿一個平面主軸的非彈性穩(wěn)定性驗算思路

下面以某個完成了非彈性動力反應分析的結構為例，說明結構中某根框架柱沿一個平面主軸穩(wěn)定性驗算的主要思路。

2.1 選擇待考察的框架柱和擬驗算的時點

從原則上講，設計人需根據(jù)結構非彈性動力反應分析的結果，針對結構不同部位框架柱在分析過程中的不同受力特征和變形特征，選取其中長細比和軸壓力均偏大從而可能存在較高失穩(wěn)風險的框架柱逐一進行驗算。

在選擇待考察的框架柱和擬驗算的時點時，需要關注如下兩個問題：

(1)在高層建筑結構中，因水平荷載作用下的樓層傾覆力矩大，故外圍框架柱的最大軸力都是發(fā)生在豎向荷載和水平荷載共同作用下且水平荷載產(chǎn)生壓力的一側外圍柱內。以往某些建議只用豎向荷載下軸壓力做柱類構件穩(wěn)定驗算的做法，對結構平面中間部分的柱是基本可行的，對外圍柱則是偏不安全的。

(2)在柱類構件截面特征和材料特征已知的條件下，柱的抗失穩(wěn)能力主要取決于其“非彈性計算長度”以及豎向及水平荷載最不利組合下的構件軸壓力。在結構的非彈性動力反應分析過程中，隨著結構層間位移的增大，受壓增大一側柱內軸壓力和相應的“非彈性計算長度”也將達到較大值；但已有工程經(jīng)驗表明，柱類構件的層間位移最大時刻與軸壓力最大時刻可能不在同一時刻，因此，嚴格意義上就需要在若干個預計有可能是最不利的時點對同一根壓桿分別進行穩(wěn)定性驗算，并以其中的最不利結果作為失穩(wěn)判斷依據(jù)。

2.2 獲取待考察框架柱“非彈性計算長度”的方法

根據(jù)本文第1.2 節(jié)給出的定義，所考察的任意一根端約束條件與兩端鉸支壓桿不同的構件的計算長度均應取為該構件撓曲線反彎點之間的直線距離，但常見框架柱的實際變形狀態(tài)多如圖2a中粗實線所示，即只有一個反彎點位于柱段高度范圍內。根據(jù)穩(wěn)定理論的以往做法，在這種情況下，只要已知反彎點以上或以下柱段的長度和撓曲線的數(shù)學表達式，或者說已知圖中A、C兩節(jié)點處柱的側向位移和撓曲線轉角，即可從柱的BA段和BC段分別推出外延的計算長度，即圖中BD段和BE段的直線長度。這意味著，計算長度分別為圖中l(wèi)u，t和lu，b的“等代兩端鉸支柱”即可分別表達框架柱上、下柱段的穩(wěn)定性能，且其中長度較大者將對整根框架柱的穩(wěn)定性起到控制作用?？紤]到框架柱上段和下段的彎矩通常為三角形分布，且柱內作用等剪力，故把等代柱的受力模型選為與所考察柱段相當?shù)娜鐖D2b、c 所示的高度中點作用集中水平力的兩端鉸支柱。

由于本文對框架柱的穩(wěn)定分析選定結構的非彈性受力狀態(tài)作為出發(fā)點，故例如圖2a 柱上、下段的撓曲線和圖2b、c 的等代柱撓曲線本也應取為非彈性撓曲線，但考慮到非彈性撓曲線的公式形式較為復雜，明顯加大單桿穩(wěn)定性驗算的復雜程度，故從簡化驗算方法出發(fā)，建議以圖2b、c 所示等代柱的彈性撓曲線來取代其非彈性撓曲線。

圖2 框架柱各柱段的非彈性計算長度和等代柱示意Fig.2 Diagrams of inelastic effective length of frame column segments and equivalent columns

為了比較等代柱的彈性撓曲線與非彈性分析實際獲得的撓曲線，本文利用Perform-3D 軟件對包含細長越層柱的某高層建筑結構作了7 條單向地面運動輸入下的非彈性動力反應分析，并在越層柱的層間位移最大時點得到了7 條非彈性撓曲線。7 條地面運動輸入下的對比結果表明，兩者誤差均在工程可接受的較小范圍內，其中一組對比結果如圖3所示。得到這一結果的主要原因是：在越層柱的總變形中，非彈性變形所占比例相對較小，且越層柱的非彈性變形特征主要體現(xiàn)在柱兩端的非彈性撓度和轉角上，等代柱的彈性撓曲線只是在滿足該特征的條件下在細部意義上稍稍改變了非彈性撓曲線的局部走勢，故利用等代柱的彈性撓曲線方程求解越層柱各柱段的非彈性計算長度是有效的。本文雖用彈性撓曲線取代了各柱段的非彈性撓曲線，但仍把所得的計算長度稱為“非彈性計算長度”的原因是該計算長度是基于柱段的非彈性受力及變形狀態(tài)導出的。

非彈性計算長度的具體推導過程見第3 節(jié)。

2.3 獲得待考察框架柱非彈性極值點失穩(wěn)軸壓力的方法及思路

算得待考察框架柱的“非彈性計算長度”后，還需建立對應于這一“非彈性計算長度”的用于計算待考察框架柱非彈性極值點失穩(wěn)軸壓力(稱為“穩(wěn)定臨界荷載”，用Pu表示)的非彈性單桿模型。

為了實現(xiàn)這一目的，非彈性單桿模型應滿足如下兩個主要要求：

(1)與待考察框架柱的截面尺寸、材料強度和配筋形式完全相同，并考慮模型受力過程中的材料非彈性性能和幾何非線性。

(2)與待考察框架柱在擬驗算時點的變形特征一致，即非彈性單桿模型在尚未受荷時的初始形狀與該時點框架柱的側向變形狀態(tài)相同，從而保證兩者的穩(wěn)定臨界荷載具有一致性。

滿足上述兩個要求的非彈性單桿模型(簡稱為“模型柱”)如圖4所示，即長度等于“非彈性計算長度”、與待考察框架柱截面特征相同且具有對應初始彎曲的非彈性兩端鉸支桿。

經(jīng)分析可知，模型柱的長細比、相對初始彎曲(沿需要驗算的平面主軸方向)、縱筋配筋率、混凝土強度等級、截面高寬比(或寬高比)這幾個參數(shù)對其穩(wěn)定性均有顯著影響；在通過非線性有限元分析獲得上述各參數(shù)變化對模型柱穩(wěn)定臨界荷載Pu影響規(guī)律的基礎上，應用數(shù)值擬合方法給出了Pu的數(shù)學表達式；在實際驗算某根框架柱的穩(wěn)定性時，只需將待考察框架柱對應模型柱的相關參數(shù)代入該數(shù)學表達式即可算出其穩(wěn)定臨界荷載Pu。

相關內容見第4 節(jié)的說明。

2.4 判斷待考察框架柱沿一個平面主軸的穩(wěn)定性

比較待考察框架柱在擬驗算時點作用的軸壓力N與擬合公式算出Pu的大小即可完成沿一個平面主軸的穩(wěn)定性驗算：若N＜Pu，則待考察框架柱無發(fā)生失穩(wěn)破壞的風險；否則，待考察框架柱有發(fā)生失穩(wěn)破壞的風險。

3 框架柱類構件非彈性計算長度的推導過程

在上述假定下，以結構的非彈性動力反應分析為背景，說明待考察框架柱在擬驗算時點非彈性計算長度的推導過程。推導過程涉及的參數(shù)符號及內力方向均應符合圖2和圖5的規(guī)定，其中基本參數(shù)包括該時點待考察框架柱上、下端截面轉角θt、θb，柱兩端的層間位移Δ，柱上、下端截面彎矩Mt、Mb，柱軸力N及剪力V，以上這些參數(shù)均可從擬驗算時點的非彈性動力反應分析結果中直接提??；其余未知參數(shù)可由以上基本參數(shù)一一算出。推導過程簡述如下。

圖5 待考察框架柱在擬驗算時點的幾何參數(shù)、變形參數(shù)和柱端內力示意Fig.5 Diagrams of geometric parameters，deformation parameters and internal forces of frame column to be investigated at checking time point

3.1 計算待考察框架柱在擬驗算時點的未知參數(shù)

如圖5a所示，未知參數(shù)包括擬驗算時點框架柱反彎點上、下柱段的長度lt、lb及柱上、下端截面相對于反彎點的側向撓度Δt、Δb，其計算方法如下：

式中：lc為待考察框架柱的長度，對于底層柱，取基礎頂面到柱上端所在樓層樓蓋頂面的高度；對其余各層柱，取柱上下端所在樓層樓蓋頂面之間的高度。

3.2 計算待考察框架柱上、下柱段對應等代柱的彈性撓曲線方程和轉角方程

通過對平衡微分方程的求解[5]，上、下柱段對應等代柱的彈性撓曲線方程可表示為：

為了保證上、下柱段對應等代柱與待考察框架柱的彎矩分布與剪力分布一致，式中P取待考察框架柱在擬驗算時點的作用軸力N，Q取待考察框架柱在擬驗算時點作用剪力V的2倍，則式(5)可進一步表示為：

對式(6)求一階導數(shù)，得上、下柱段對應等代柱的轉角方程為：

需要注意的是，對于上、下柱段相應的等代柱，式中的參數(shù)EI應分別取EIt、EIb，參數(shù)k應分別取kt、kb，參數(shù)l應分別取lu，t、lu，b。

3.3 判斷起控制作用的等代柱并求解待考察框架柱的非彈性計算長度

上、下柱段對應等代柱在圖2b、c中A′點、C′點與待考察框架柱在A點、C點的撓度和轉角應相同，故：

將式(9)代入式(6)和式(7)中，聯(lián)立方程組消去lu，t；再把式(10)代入式(6)和式(7)中，聯(lián)立方程組消去lu，b。在上柱段對應的等代柱中，得：

在下柱段對應的等代柱中，得：

注意到式(11)和式(13)均為關于參數(shù)kt、kb的超越方程，本文的求解思路是將兩個方程等式左側用泰勒級數(shù)展開并取展開式的前兩項，將超越方程化簡為二次方程從而求得其近似解。式(11)的近似解為：

式(13)的近似解為：

經(jīng)驗證，近似解的精度足以滿足工程應用的一般要求。

最后將式(15)和式(16)的結果分別代入式(9)和式(10)中，即可反算出參數(shù)lu，t、lu，b的值：

起控制作用的等代柱長度(即待考察框架柱的非彈性計算長度)lu取lu，t與lu，b的較大值，參數(shù)keq的取值也應與lu，t與lu，b的較大值相對應(例如，若lu，t大于lu，b，則keq取kt；反之亦然)。

4 模型柱穩(wěn)定性的有限元模擬和Pu計算公式的數(shù)值擬合

4.1 模型柱的有限元建模方法

本文采用ABAQUS對140余根不同參數(shù)變化條件下的模型柱進行了模擬，建模的過程包含如下要點：(1)比較不同模擬方式所得結果以驗證模型的有效性；(2)考慮模型柱的初始彎曲；(3)考慮鋼筋屈服和混凝土材料非線性的影響；(4)考慮模型柱受力過程中的幾何非線性；(5)鋼筋和混凝土的強度指標取平均值。其中較為重要的是第(1)～(4)點，現(xiàn)分述如下。

1.對有限元模型有效性的驗證

目前ABAQUS對鋼筋混凝土柱類構件的模擬方式主要有兩類：(1)分離式模型，即鋼筋和混凝土分別采用桁架單元和三維實體單元模擬，再通過“Embedded region”的相互作用實現(xiàn)單元節(jié)點變形的相互協(xié)調；該方式計算量稍大但可得到較精確的應力和變形結果。(2)整體式模型，即首先采用梁單元完成對混凝土柱的建模再通過“*Rebar”命令修改模型關鍵字實現(xiàn)梁截面中縱筋纖維的嵌入；該方式基于平截面假定，缺點是無法直接考慮箍筋對混凝土的約束作用且梁單元在大變形下的計算精度有所下降。

本文從上述模型柱中選出9根并分別用兩類模擬方式算得其穩(wěn)定臨界荷載Pu。根據(jù)非彈性極值點失穩(wěn)的概念，模型柱的穩(wěn)定臨界荷載應取為軸力P-柱高中點側向變形δ曲線的峰值點所對應的軸壓力Pu(如圖6所示)。模擬結果如圖7所示，可以看到，兩類模擬方式算出的Pu基本一致，其差異在工程可接受范圍內，但為了得到更為精確的應力和變形結果，本文最終選用分離式模型完成對各模型柱的模擬分析，該模擬方式是有效的。

圖6 模型柱的軸力P-柱高度中點側向變形δ 曲線Fig.6 Axial force P-column height midpoint lateral deformation δ curve of model column

2.確定模型柱的初始彎曲狀態(tài)

為了滿足第2.3節(jié)所述的第(2)點要求，嚴格意義上應把框架柱在擬驗算時點的非彈性撓曲變形作為模型柱的初始彎曲狀態(tài)；然而，目前ABAQUS軟件尚未提供為模型設置任意給定的初始彎曲變形的建模方法，可選用的初始彎曲變形通常來自于模型的彈性屈曲分析所得到的變形形狀，對于本文所述的兩端鉸支桿該變形形狀即為半個正弦波；已有分析研究表明，在初始彎曲變形相對于模型的長度屬于小變形的前提下，模型柱的極值點失穩(wěn)狀態(tài)主要取決于初始彎曲變形的幅值，初始彎曲變形對應撓曲線的局部走勢對此影響極小，故把半個正弦波的幅值調整到與圖4所示模型柱在初始彎曲狀態(tài)下柱高中點的撓度δ0相同，所得穩(wěn)定臨界荷載Pu的誤差就在可忽略范圍內。

圖7 分離式模型與整體式模型對模型柱穩(wěn)定臨界荷載的模擬結果Fig.7 Results of stable critical load simulated by separated models and monolithic models

根據(jù)上述分析，模型柱在初始彎曲狀態(tài)下柱高中點的撓度δ0可由式(6)求得，令式中x=lu/2，得：

式中，各參數(shù)的含義和取值參考第3節(jié)的規(guī)定。

3.鋼筋和混凝土的本構模型

鋼筋的本構模型采用各向同性的理想彈塑性模型。

混凝土的本構模型采用混凝土損傷塑性(Concrete Damaged Plasticity)模型。該模型的特點是通過定義混凝土材料的單軸應力-應變曲線、損傷因子和剛度恢復系數(shù)分別考慮材料的單軸受力性能、在反復荷載作用下的卸載剛度退化和再加載時的剛度恢復，再通過設定基本塑性參數(shù)考慮混凝土在多軸受力狀態(tài)下的屈服準則和流動法則。在參考了相關文獻[6-11]的建議后，部分參數(shù)的取值如表2所示。

表2 混凝土基本塑性參數(shù)取值Tab.2 Value of concrete basic plastic parameters

4.考慮幾何非線性的方法

在ABAQUS中考慮幾何非線性的方法是在分析步(Step)之中打開幾何非線性(Nlgeom)的開關，此時的分析具有兩個特征：(1)節(jié)點位移與單元變形之間不再是線性關系；(2)每個單元的平衡方程均在已變形的單元之上建立[9]。

4.2 對影響模型柱Pu主要因素的考察

1.主要影響因素及影響因素的取值范圍

經(jīng)過分析研究，本文確定的影響模型柱穩(wěn)定臨界荷載的主要因素及因素的取值范圍如表3所示。

表3 模型柱Pu的主要影響因素及影響因素的取值范圍Tab.3 Main factors affectingPu of model columns and their value range

2.各主要影響因素對Pu的影響規(guī)律

(1)長細比lu/h的影響規(guī)律如圖8所示。不同相對初始彎曲下的結果均表明Pu隨著構件長細比的增大而逐漸減小，且相對初始彎曲越大的構件Pu減小的幅度也越大，說明Pu對初彎曲較為敏感。

圖8 長細比對模型柱Pu 的影響Fig.8 Effect of slenderness ratio on Pu of model columns

(2)相對初始彎曲δ0/lu的影響規(guī)律如圖9所示。不同長細比下的結果表明Pu隨著構件相對初始彎曲的增大而減小，且長細比越大的構件因在軸壓力作用下的附加撓度增長越快，故相應的Pu減小幅度也越大。

圖9 相對初始彎曲對模型柱Pu 的影響Fig.9 Effect of relative initial deflection on Pu of model columns

(3)縱筋一側配筋率As/bh的影響規(guī)律如圖10所示。不同長細比下的Pu隨著縱筋一側配筋率的增大而近似線性增大。需要說明的是，圖10中各曲線在縱軸上的截距均大于0，這說明Pu包含了混凝土和縱筋兩部分的貢獻。

圖10 縱筋一側配筋率對模型柱Pu 的影響Fig.10 Effect of longitudinal reinforcement ratio on Pu of model columns

(4)混凝土強度的影響規(guī)律如圖11所示。本文采用混凝土棱柱體抗壓強度的平均值fc，m作為混凝土強度指標，不同長細比下的Pu隨著fc，m的增大而近似線性增大。另外，圖11中各曲線在縱軸上的截距均大于0，也證實了Pu包含混凝土和縱筋兩部分貢獻的觀點。

(5)截面高寬比h1/b1和寬高比b2/h2的影響規(guī)律分別如圖12和圖13所示?？梢钥闯觯煌L細比下的Pu隨著h1/b1或b2/h2的增大而近似線性增大。值得注意的是，在其他條件相同時，截面高寬比和寬高比相同的構件模擬得出的Pu也基本相等，這說明Pu與構件的截面面積具有相關性。同時，圖12和圖13中各曲線在縱軸上的截距均十分接近于0，說明Pu與構件的截面面積近似成正比。

圖11 混凝土強度對模型柱Pu 的影響Fig.11 Effect of concrete strength on Pu of model columns

圖12 截面高寬比對模型柱Pu 的影響(b1 =500mm)Fig.12 Effect of section depth-width ratio on Pu of model columns

圖13 截面寬高比對模型柱Pu 的影響(h2 =500mm)Fig.13 Effect of section width-depth ratio on Pu of model columns

4.3 對框架柱類構件Pu計算公式的數(shù)值擬合

1.對Pu計算公式的擬合結果

在分析了各主要影響因素對模型柱的非彈性穩(wěn)定臨界荷載Pu影響規(guī)律的基礎上，本文運用非線性擬合軟件1stOpt按照最小二乘法的思路擬合出了符合上述規(guī)律的數(shù)學表達式。

經(jīng)反復調整后，最終確定Pu的表達式為：

式中：lu按照第3節(jié)所述方法確定(mm)；δ0由式(19)算得(mm)；h、h0分別是模型柱在彎曲受力方向的截面高度和有效截面高度(mm)；Es是鋼筋的彈性模量(N/mm2)，一般可取為2×105；As是模型柱沿彎曲受力方向的一側配筋面積(mm2)；fc，m是模型柱混凝土的棱柱體抗壓強度平均值(N/mm2)；Ac是模型柱的毛截面面積(mm2)；βc是與混凝土強度有關的參數(shù)，可按照表4取值，未列出數(shù)據(jù)可采用線性插值處理。

表4 βc的取值Tab.4 Value range of βc

2.Pu擬合公式計算值與ABAQUS模擬值的對比

如圖14所示，通過對140余組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，式(20)的計算值與ABAQUS的模擬值的最大相對誤差為11.53%，最小相對誤差為-7.33%，相關系數(shù)R2為0.998，符合程度良好。

3.對Pu擬合公式的說明

(1)式(20)適用于鋼筋混凝土結構中對稱配筋、矩形截面的框架柱類構件的穩(wěn)定臨界荷載計算。適用范圍原則上不超過表3所列舉的參數(shù)取值范圍。

(2)式(20)暫未考慮結構可靠度的影響，結構設計時可根據(jù)結構分析對可靠度的具體要求選取同等可靠度水準的材料強度代入計算，則計算結果也具有相應的可靠度水準。例如，若采用荷載標準值進行結構在罕遇地震水準下的非彈性動力反應分析時，則與此對應的式(20)中的材料強度也宜選用標準值。

圖14 Pu 擬合公式計算值與ABAQUS 模擬值的對比Fig.14 Comparison of Pu calculated by fitting formula and simulated by ABAQUS

5 結論

通過上述工作，所得主要結論有：

1.本文采用獲得廣泛認可的通用有限元分析軟件ABAQUS對有側移結構中框架柱的等效非彈性單桿模型完成了系列模擬分析，模型考慮了材料非彈性特征與幾何非線性的影響，故模擬結果是具有參考價值的。

2.目前，國內外有關于細長鋼筋混凝土柱穩(wěn)定性研究的試驗成果極少，已有的少量試驗結果也表明，細長鋼筋混凝土柱的穩(wěn)定性能對試驗條件十分敏感，通過試驗得出的穩(wěn)定臨界荷載依然誤差很大。因此，應用計算機模擬分析手段獲得穩(wěn)定臨界荷載是更為合適的方法。本文嚴格按照穩(wěn)定理論的基本原理，得出了符合穩(wěn)定理論要求的單桿分析模型，并驗證了其有限元模型的有效性(如圖7所示)。

3.對于已完成例如多遇水準地面運動激勵下彈性分析的建筑結構，也可用本文建議方法的思路驗算其中單根框架柱的穩(wěn)定性。從概念上講，彈性或非彈性受力狀態(tài)下框架柱段的計算長度均可取為相應彈性或非彈性撓曲線反彎點之間的直線距離，因此只需用本文第3節(jié)所述方法求解待考察框架柱在特定受力和變形狀態(tài)下的“彈性計算長度”，再按照第2節(jié)所述思路即可完成其穩(wěn)定性驗算。

需要說明的是，現(xiàn)行混凝土結構設計的一般思路是結構內力分析按彈性方法計算，而構件截面設計則按承載能力極限狀態(tài)計算，這一思路也可移植到以上第3點所述的框架柱穩(wěn)定性驗算中；雖然在考慮材料非彈性特征的條件下給出的計算框架柱穩(wěn)定臨界荷載的公式(20)與結構分析所采用的彈性假定存在著不協(xié)調的問題，但根據(jù)該式得出的驗算結果是偏安全的。