數(shù)學(xué)逆向思維方法剖析淺議

黃麗君

摘 要 逆向思維是一種重要的思考能力，個(gè)人的逆向思維能力，對(duì)于全面人才的創(chuàng)造以及問(wèn)題解決能力具有非常重大的意義.科學(xué)研究的方法盡管千差萬(wàn)別，但有一個(gè)通法，那就是將未知轉(zhuǎn)化為已知，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題，而數(shù)學(xué)的研究也基本按照這種方法，這是原則也是方向，違背了這個(gè)方向研究工作就會(huì)受阻，但在大方向不變的情況下，也常常倡導(dǎo)“回頭看”的逆向思維方式.它鼓勵(lì)人們進(jìn)行思考時(shí)不再固守在問(wèn)題的一個(gè)方面，鼓勵(lì)嘗試從問(wèn)題的多方面進(jìn)行思索和推敲，從而得出問(wèn)題解決的最佳答案.

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué);逆向思維

中圖分類(lèi)號(hào)：C931.1?????????????????????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號(hào)：1002-7661（2019）19-0059-02

相信看到“逆向思維”，很多人都會(huì)覺(jué)得指的就是反證法。其實(shí)嚴(yán)格意義上來(lái)說(shuō)，逆向思維并不等同于人們平時(shí)所說(shuō)的反證法，反證法是逆向思維的一種方法，但逆向思維同時(shí)還應(yīng)包括人們平時(shí)不太熟悉的分析法，剔除法，反例法，待定法等方法，本章將介紹典型的逆向思維方法（也稱(chēng)反向思考方法）。

作為逆向思維的典型方法，反證法，是指從結(jié)語(yǔ)入手的一種逆向思維解題法，它是從否定結(jié)語(yǔ)開(kāi)始推理，直至推得與已知條件或事實(shí)矛盾?？偟脑瓌t就是：對(duì)所要論證的論題，若A則B，沒(méi)有直接證明的根據(jù)，此時(shí)運(yùn)用反證法證明，只需證明其反論題（若A則不B）的謬誤即可。

例題1：已知：x+y+z=1，xyz=xy+yz+xz，求證：x、y、z中至少有一個(gè)等于1。

分析：本題結(jié)語(yǔ)反面情況是、、都不等于1，即將左邊展開(kāi)后再與條件比較，發(fā)現(xiàn)矛盾。即得原題的結(jié)語(yǔ)。

證明：設(shè)x、y、z都不等于1，則x-1≠0，y-1≠0，z-1≠0，因?yàn)椋▁-1）（y-1）（z-1）≠0，即xyz-（xy+yz+xz）+x+y+z-1≠0（1）又因?yàn)閤+y+z=1，xyz=xy+yz+xz（2）所以xyz-（xy+yz+xz）+x+y+z-1=0（3）因?yàn)椋?）、（3）式發(fā)生矛盾，所以原結(jié)語(yǔ)成立。

完成這個(gè)證明過(guò)程后，我們又可以從中得到啟發(fā)，即若我們從條件出發(fā)，用正向思維完全可以推得，即得 、x、y、z、中至少有一個(gè)等于1。

由以上例題，可見(jiàn)，當(dāng)問(wèn)題條件明確指明，而結(jié)語(yǔ)的逆方向所得出的結(jié)果與問(wèn)題所提出的條件明顯相悖逆時(shí)，運(yùn)用反證法可以更好的將問(wèn)題得以解決。但是當(dāng)條件與結(jié)語(yǔ)的關(guān)系比較隱晦時(shí)，直接從條件到結(jié)語(yǔ)，常常因?yàn)榉较虿幻鞫鵁o(wú)從下手，由于這時(shí)條件與結(jié)語(yǔ)關(guān)系隱晦，反證法無(wú)法起到很好的效果。而這時(shí)候若從結(jié)語(yǔ)入手開(kāi)始向條件推導(dǎo)，問(wèn)題往往會(huì)迎刃而解。分析法就是從結(jié)語(yǔ)入手進(jìn)行推證，推得符合的條件或者容易證明的命題的一種逆向思維方法。它使推證的每一步均可逆，從而使原命題得證。

例題2：證明：3（1+a²+a⁴）≥（1+a+a²）²。

分析：這道題看似容易，但是實(shí)際運(yùn)算起來(lái)計(jì)算量還是比較大的，因此，需考慮是否可以換種思維角度解決問(wèn)題。像先前所討論的反證法明顯沒(méi)辦法進(jìn)行，因?yàn)閱?wèn)題中沒(méi)有進(jìn)行反證的條件。因此，可以思考是不是能從問(wèn)題的結(jié)語(yǔ)出發(fā)，對(duì)這道題目的結(jié)語(yǔ)進(jìn)行逆推，也就是本節(jié)所要講述的分析法.

證明：要證明3（1+a²+a⁴）≥（1+a+a²）²，只需證明3[（1+a^）2-a⁴]≥（1+a+a²）²，即是3（1+a²+a）（1+a²-a）≥（1+a+a²）²，

，所以只需證3（1+a²-a）≥1+a+a²，展開(kāi)得2-4a+2a²≥0，即2（1-a）²≥0。

因?yàn)轱@然成立，所以成立。

由以上例題可以看出，當(dāng)問(wèn)題中只給出了大致的問(wèn)題，而沒(méi)有給出太多的條件時(shí)，這個(gè)時(shí)候就可以嘗試用分析法，從結(jié)語(yǔ)著手，層層推進(jìn)到條件根本去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

根據(jù)題目所給出的條件，如從正面求解很煩瑣，可從反面思考，只須把不符合條件的先求出來(lái)，再?gòu)目傮w中淘汰那些不符合條件的，最后使問(wèn)題得解，這種逆向思考方法叫做剔除法。剔除法又稱(chēng)為淘汰法，是剔除干擾從而得到正確答案的一種逆向思維解題方法，用此方法解一些問(wèn)題往往比直接由條件導(dǎo)出正確答案更靈活和方便。接下來(lái)，可以從以下例題來(lái)加深對(duì)此方法的理解。

例題3：已知a、b、c、d四數(shù)滿(mǎn)足下列不等式：

（1）abcd>0;（2）a>c;（3）abd<0;（4）b+d<0則（ ）。

A.a、b、c、d都大于0

B.a、b、c、d都小于0

C.a>0，b<0，c>0，d<0

D.a<0，b>0，c<0，d>0

E.a>0，b<0，c<0，d>0

分析：此題關(guān)系復(fù)雜，頭緒較多，不易從正面入手，而由于此題是選擇題，不必直接算出結(jié)果，故可考慮使用剔除法進(jìn)行求解。

解：由于abcd>0，abd<0，可知，c<0，于是可排除A、C;由于b+d<0可知，b、d中至少有一個(gè)負(fù)數(shù)，于是可以排除D;由于B、E中知b、c、d都小于零，要滿(mǎn)足abcd>0，必須有a<0，故可知最后應(yīng)該選B。

由此可知，在解單項(xiàng)選擇題或者其他類(lèi)似可以明顯的剔除掉不合適的答案的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，用剔除法解決問(wèn)題能夠收到比正面解決問(wèn)題更好的效果，這種解題思想也是逆向思維的具體體現(xiàn).

眾所周知，證明一個(gè)命題需要嚴(yán)格的邏輯推理，而否定一個(gè)命題只需舉出一個(gè)反例即可.因此反例法也是逆向邏輯思維的一種很實(shí)用的方法.由下列例題的分析可了解：

例題4：若一個(gè)凸多邊形的對(duì)角線都相等，那么這個(gè)凸多邊形（ ）。

A.一定是四邊形

B.一定是五邊形

C.是四邊形或者五邊形

D.是各邊都相等的多邊形或各內(nèi)角都相等的多邊形

分析：由于題中只給出了兩個(gè)條件，故無(wú)法綜合起來(lái)用正面分析或者采用剔除法將問(wèn)題得到解決.因此現(xiàn)在可以從選項(xiàng)入手，考慮它們的反例情況，也就是說(shuō)將選項(xiàng)通過(guò)反例推翻從而選出最佳的答案。

解：因?yàn)檎暹呅问菍?duì)角線相等的多邊形，但并不是四邊形，因此可以否定A選項(xiàng);正方形是對(duì)角線相等的多邊形，但不是五邊形，因此可以否定B選項(xiàng);等腰梯形的對(duì)角線也相等，然而它的各邊不都相等，各個(gè)角也不都相等，因此可以否定D選項(xiàng)，所以應(yīng)該選的是C選項(xiàng)。

通過(guò)以上例題的分析，可以知道，反例法也適用在選擇題中，并且與剔除法有異曲同工之妙.所不同的是，此時(shí)不再是根據(jù)條件剔除選項(xiàng)，而是根據(jù)選項(xiàng)的反例進(jìn)行選項(xiàng)的一個(gè)個(gè)排除.此外，還可以知道，有時(shí)候證明一個(gè)命題是假命題，不必舉很多的反例，只要能舉出一個(gè)符合條件但又與結(jié)語(yǔ)不相符的例子就可以了。在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，有時(shí)候問(wèn)題的證明并不是都要證明真命題，當(dāng)遇到需要證明假命題時(shí)，鼓勵(lì)運(yùn)用反例法，舉出反例，將問(wèn)題得以解決。

所謂的待定法就是先設(shè)后定，在解題中，受結(jié)語(yǔ)啟發(fā)?？上仍O(shè)某個(gè)未定形式，然后根據(jù)已知條件加以確定，這種“先設(shè)后定”的方法也是一種逆向思維，如中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)解析式的求解問(wèn)題，就是先設(shè)函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)行未定系數(shù)的待定，然后根據(jù)已知條件進(jìn)行求解，從而求得待定系數(shù)的解.

例題5：已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（3，0），C（0，-1），求該二次函數(shù)的解析式？

分析：由于題目中給的條件過(guò)少，且直接從問(wèn)題已知條件深入較有難度，因此可以考慮從問(wèn)題的逆向進(jìn)行思索，先設(shè)后定，先設(shè)二次函數(shù)與點(diǎn)之間唯一可以涉及的關(guān)系，從而利用方程求出問(wèn)題的解.從而得到解析式。

解：∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（3，0），C（0，3），

∴a+b+c=0，

9a+3b+c=0

c=3

∴a=1，

? ?b=-4，

c=3

∴y=x²-4x+3

這用的就是比較典型的待定法。

俄羅斯著名教育家加里寧說(shuō)：“數(shù)學(xué)是思維的體操”.正如體操鍛煉可以改變?nèi)说捏w質(zhì)一樣，通過(guò)數(shù)學(xué)思維的恰當(dāng)訓(xùn)練，逐步掌握數(shù)學(xué)思維方法和規(guī)律，是可以改變?nèi)说闹橇湍芰Γ部梢耘囵B(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識(shí).

在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，作為一位教師，應(yīng)該要注意引導(dǎo)學(xué)生打破傳統(tǒng)思維定勢(shì)的束縛，在正向無(wú)法解決問(wèn)題的情況下，靈巧的運(yùn)用逆向思維方法，將問(wèn)題靈活簡(jiǎn)便地解決。教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)該要注重學(xué)生“反向變題”能力的培養(yǎng)，注重反常規(guī)運(yùn)算的可能，幫助學(xué)生更好地理解與掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高他們的知識(shí)應(yīng)用能力與逆向思維能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]汪圣安.思維科學(xué)[M].武漢：華東師范大學(xué)出版社，1992.

[2]克魯捷茨基著，李伯黍等譯.中小學(xué)數(shù)學(xué)能力心理學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1983.

[3]殷堰工.數(shù)學(xué)分析中的反證法[J].南都學(xué)壇（自然科學(xué)版），1990（03）：67-70.

[4]韋蘭英.談逆向思維在數(shù)學(xué)分析解題教學(xué)中的應(yīng)用[N].南寧高等專(zhuān)科學(xué)院學(xué)報(bào)，2002（01）：62-64.

[5]黃強(qiáng)聯(lián).談數(shù)學(xué)分析教學(xué)中逆向思維能力的培養(yǎng)[N].貴州教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006（02）：1-3.

[6]馬從杰.怎樣教學(xué)生正確的否定一個(gè)斷言--在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的一點(diǎn)體會(huì)[N].湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1982（01）：28-30.