利用切線方程證明一類不等式

蔣會(huì)會(huì)

(陜西省西安市鐵一中學(xué) 710054)

切線方程在不等式中的應(yīng)用具有一定的技巧性，這種方法的本質(zhì)就是求出某一點(diǎn)(一般是最值點(diǎn))處切線方程，利用以直代曲的思想證明不等式.不等式中的對(duì)稱和輪換對(duì)稱中，這些不等式取等條件一般是每個(gè)變量相等時(shí)取到等號(hào).

一、構(gòu)造函數(shù)，直接應(yīng)用

不等式證明過程中，可以根據(jù)觀察不等式的特點(diǎn)，直接構(gòu)造函數(shù)，利用切線方程證明.而往往這類不等式都有顯著特點(diǎn)，基本都是對(duì)稱和輪換對(duì)稱，并且它們的最值也都是在相等的時(shí)候取到.從而利用該點(diǎn)處的切線方程達(dá)到證明的目的.學(xué)生在訓(xùn)練不等式證明時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，教師要耐心給予解答，幫助他們找到問題的本質(zhì)，提升學(xué)習(xí)質(zhì)量.

二、巧妙變換，構(gòu)造函數(shù)

相對(duì)于直接應(yīng)用不等式而言，通過變換來證明不等式難度更大，學(xué)生得分率更低.在不等式的證明題中，很多不等式并不能直接構(gòu)造函數(shù)，求出切線方程，此時(shí)就需要對(duì)不等式進(jìn)行簡(jiǎn)單的變形，從而符合函數(shù)的構(gòu)造，并求出切線方程，達(dá)到證明不等式的目的.

分析在不等式中，每一項(xiàng)都有變量，因此需要對(duì)不等式進(jìn)行變形，從而達(dá)到能夠構(gòu)造函數(shù)的條件.

證明原不等式可化為：

因此，原不等式能夠得到證明.

三、巧妙縮放，構(gòu)造函數(shù)

在高考試卷中，不等式證明重點(diǎn)考查高中生的邏輯思維能力，注重分析和解決問題的能力，縮放法在證明過程中起到了非常重要的作用.學(xué)生在縮放過程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)問題，即，要么縮放不夠、要么縮放過頭，往往要經(jīng)過多次嘗試和失敗后才找到合適縮放方式，嚴(yán)重浪費(fèi)考試時(shí)間，影響考場(chǎng)心態(tài)，導(dǎo)致丟失不必要的分?jǐn)?shù).對(duì)于齊次不等式，我們可以通過切線方程來證明，這就要求不等式的左邊為和式且每項(xiàng)都有一個(gè)變量，這就可以用縮放法來證明不等式.

利用切線方程證明不等式是分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段.對(duì)于不同不等式的證明，具體操作方式方法都略有不同，需要對(duì)此類題型進(jìn)行不斷探究，形成一定的思維方法.作為一名高中數(shù)學(xué)教師，我們要教會(huì)學(xué)生熟練運(yùn)用切線方程證明不等式，在提升數(shù)學(xué)能力、形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的同時(shí)，也能探索一些解題技巧，從而突破解題難點(diǎn).