如何確定外接球球心的位置

朱賢良

(安徽省樅陽縣宏實(shí)中學(xué) 246700)

直觀想象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六大方面之一，強(qiáng)調(diào)借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形來理解和解決數(shù)學(xué)問題．在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，直觀想象素養(yǎng)的培育與考查常通過三視圖、空間平行與垂直、空間角與距離等問題的形式展開．隨著全國高考命題的統(tǒng)一，有關(guān)空間幾何體的外接球問題日益受到重視，成為考查直觀想象素養(yǎng)的又一熱門題型．

求解外接球問題的關(guān)鍵在于確定球心的位置，而確定球心位置的依據(jù)不外乎球心的兩個(gè)特性：一是球心到球面上各點(diǎn)的距離都等于半徑，二是球心與截面圓圓心的連線垂直于截面(球的截面圓性質(zhì))．由此出發(fā)，或利用一些特殊模型，或借助一般方法，即可讓外接球球心畢露．

一、長(zhǎng)方體的外接球

例1-1 (2017年高考全國Ⅱ卷·文15)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3、2、1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為____．

點(diǎn)評(píng)長(zhǎng)方體是重要的立體幾何模型，在認(rèn)識(shí)空間結(jié)構(gòu)特征、培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)中發(fā)揮著基礎(chǔ)的作用．在解決空間幾何體的外接球問題時(shí)，要充分借助長(zhǎng)方體模型的幾何特征，簡(jiǎn)化求解過程．

點(diǎn)評(píng)當(dāng)三棱錐某一頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直時(shí)，可將此三棱錐視為長(zhǎng)方體的一角，進(jìn)而借助長(zhǎng)方體的外接球來實(shí)現(xiàn)求解．

點(diǎn)評(píng)本題中，三棱錐D-ABC的底面△ABC為直角三角形，過銳角頂點(diǎn)A的側(cè)棱與底面垂直，具備此幾何特征的三棱錐(四個(gè)面均為直角三角形)即可補(bǔ)形成長(zhǎng)方體．若過底面三角形的直角頂點(diǎn)B的側(cè)棱垂直于底面，則此模型即為例1-2中的三棱錐．

簡(jiǎn)解因?yàn)樗拿骟wABCD的三對(duì)對(duì)棱長(zhǎng)對(duì)應(yīng)相等，可將其分別視為長(zhǎng)方體三對(duì)面的對(duì)角線，從而將四面體補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，如圖5所示．

點(diǎn)評(píng)當(dāng)三棱錐的三對(duì)對(duì)棱長(zhǎng)對(duì)應(yīng)相等時(shí)，此三棱錐也可以補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，三棱錐的三對(duì)對(duì)棱長(zhǎng)即為長(zhǎng)方體六個(gè)面的對(duì)角線之長(zhǎng)．這種補(bǔ)形構(gòu)造的思路較為隱蔽，解題時(shí)要注意判斷與識(shí)別．又比如正四面體，可以通過這種思路將其補(bǔ)形成正方體．

例1-5(2013年高考遼寧卷·理10文10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上．若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球O的半徑為( ).

點(diǎn)評(píng)當(dāng)直三棱柱的底面恰為直角三角形時(shí)，兩個(gè)這樣完全相同的三棱柱可拼接成一個(gè)長(zhǎng)方體．需要注意的是，這里必須具備底面為直角三角形、側(cè)棱與底面垂直這兩個(gè)幾何特征．

二、由共斜邊的兩個(gè)直角三角形所圍成的三棱錐的外接球

外接球的球心到球面上每一點(diǎn)的距離均為半徑R，可以根據(jù)外接球球心的這一特征來確定球心的位置．比如，若四面體ABCD是由共斜邊的兩個(gè)直角三角形所圍成的，如圖7所示，△ABC與△ABD均為直角三角形，AB為公共的斜邊，O為AB的中點(diǎn)，則根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可知，OC=OD=OA=OB，即點(diǎn)O到四點(diǎn)A,B,C,D的距離相等，故點(diǎn)O就是四面體ABCD外接球的球心，公共的斜邊AB就是外接球的一條直徑．

點(diǎn)評(píng)本題在求解過程中，需要從邊長(zhǎng)關(guān)系出發(fā)來認(rèn)識(shí)三棱錐模型，把握“共斜邊的兩個(gè)直角三角形”這一典型幾何特征．

A．2π B．4π C．6π D．8π

點(diǎn)評(píng)實(shí)際上，三棱錐P-BCO的四個(gè)側(cè)面皆為直角三角形，也可以將其補(bǔ)形成長(zhǎng)方體后再確定外接球球心的位置，解法同例1-3．

三、直棱柱的外接球

例3-1(2009年高考全國Ⅰ卷·理15)直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上．若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，則此球的表面積等于____．

點(diǎn)評(píng)在計(jì)算底面外接圓的半徑時(shí)，要注意結(jié)合幾何圖形及正弦定理求?。?/p>

點(diǎn)評(píng)根據(jù)平面幾何特征，正六邊形外心即中心與各頂點(diǎn)的連線將正六邊形分割為六個(gè)全等的等邊三角形，由此求得正六邊形的面積及其外接圓的半徑．

例3-3 已知某幾何體的三視圖如圖11所示，則該幾何體的外接球的表面積為( ).

點(diǎn)評(píng)本題在求解時(shí)，要突破兩個(gè)難點(diǎn)：一是根據(jù)三視圖，準(zhǔn)確還原幾何體的結(jié)構(gòu)特征；二是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，靈活通過補(bǔ)形成直棱柱來確定外接球球心的位置及半徑大?。?/p>

四、確定外接球球心位置的一般途徑

以上借助三類特殊多面體的結(jié)構(gòu)特征來判定其外接球球心的位置，進(jìn)而求解外接球的相關(guān)問題．除了要掌握上述特殊模型，還需要掌握確定外接球球心位置的一般方法．正是基于球心與截面圓圓心的連線垂直于截面，故多面體外接球球心必在過表面多面形的外心、且與表面垂直的直線上．如圖14所示，過兩截面圓的圓心且垂直于兩截面的直線的交點(diǎn)即為球心O．

例4-1 如圖15所示，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中畫出了某多面體的三視圖，則該多面體的外接球的表面積為( ).

A．27π B．30π C．32π D．34π

點(diǎn)評(píng)多面體外接球球心在過表面多面形的外心、且與表面垂直的直線上，而在選擇表面多邊形時(shí)要注意選擇特殊形狀的多邊形，如正三角形、直角三角形、等腰三角形等，以比較容易地確定外心位置并求出外接圓半徑大?。绢}中，△BCD,△ABD為全等的等腰三角形，其所在平面又垂直，這有助于分析外心位置、確定線面的位置關(guān)系．

分別過O1,O2作平面SAB、平面ABC的垂線，則兩垂線的交點(diǎn)O即為三棱錐S-ABC外接球的球心．

點(diǎn)評(píng)本題中，△SAB與△ABC分別為直角三角形、等邊三角形，借助這兩個(gè)特殊形狀的三角形外心來確定外接球球心的位置，從而將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，從而使得問題迎刃而解．

通過立體幾何的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一，它可以通俗地表示為“會(huì)想到、能解決”．比如本文在尋找?guī)缀误w的外接球球心的過程中，注重結(jié)合一些常見、特殊、簡(jiǎn)單的幾何模型來提取空間幾何體的基本屬性和幾何特性，將問題求解程序化、規(guī)律化，降低問題解決的難度，達(dá)到“會(huì)想到、能解決”的效果．設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)時(shí)，多引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此類問題進(jìn)行分類總結(jié)，進(jìn)而把握幾何關(guān)系的本質(zhì)和規(guī)律，這無疑非常有助于學(xué)生空間想象能力的提升．