正方體在立體幾何中的模型作用

王建軍 郭金紅

(1.山西省陽泉市教研室 045000；2山西省陽泉市第二中學(xué)校 045000)

正方體是完美的對(duì)稱圖形，是立體幾何中的基本模型.正方體中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系是立體幾何的基礎(chǔ)，幾乎所有的立體幾何題型都可以在正方體中找到模型，研究正方體中的立體幾何問題可以培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，達(dá)到快速解題的目的.

一、正方體中的平行問題

正方體中平行問題證明的思路具有一般性，是證明直線與平面平行，平面與平面平行的通性通法，可以遷移到其他幾何體的相關(guān)問題學(xué)習(xí)中.

例1如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM=DN，求證：MN∥平面AA1B1B.

分析若能證明MN平行于平面AA1B1B中的一條直線，則依據(jù)直線與平面平行的判定定理，MN∥平面AA1B1B.于是有以下添輔助線的方法.

證明如圖1，作ME∥BC，交BB1于E；作NF∥AD，交AB于F.連結(jié)EF，則EF?平面AA1B1B.

∵BD=B1C，DN=CM，

∴B1M=BN.

又ME∥BC∥AD∥NF，∴MEFN為平行四邊形.

∴MN∥EF.

又MN?平面AA1B1B，EF?平面AA1B1B.

∴MN∥平面AA1B1B.

二、正方體中的垂直問題

正方體中隱含著許多線線，線面，面面的垂直關(guān)系，我們經(jīng)常利用三種垂直關(guān)系來解題，是立體幾何垂直問題的基礎(chǔ)，利用正方體解有關(guān)線面垂直、面面垂直的問題，思路自然，解法多樣.

例2如圖2所示，正方體ABCD—A′B′C′D′的棱長為a，M是AD的中點(diǎn)，N是BD′上一點(diǎn)，且D′N∶NB=1∶2，MC與BD交于P.

(1)求證：NP⊥平面ABCD；

(2)求平面PNC與平面CC′D′D所成角的正切值.

(3)求點(diǎn)C到平面D′MB的距離.

分析證明直線與平面垂直的方法有多種，最基本的是利用直線與平面垂直的判斷定理和平面與平面垂直的性質(zhì)定理.本題可以根據(jù)已知條件得到NP∥DD′，從而利用DD′⊥平面ABCD得證.

解(1)證明：在正方形ABCD中，

∴DP∶PB=MD∶BC=1∶2.

又已知D′N∶NB=1∶2，

由平行線分線段成比例定理得NP∥DD′.

又DD′⊥平面ABCD，

∴NP⊥平面ABCD.

(2)∵NP∥DD′∥CC′，

∴NP、CC′在同一平面內(nèi)，CC′為平面NPC與平面CC′D′D所成二面角的棱.

又由CC′⊥平面ABCD，得CC′⊥CD，CC′⊥CM，

∴∠MCD為該二面角的平面角.

設(shè)所求距離為h，即為三棱錐C—D′MB的高.

三、正方體中的角問題

正方體中的異面直線所成的角、線面角、二面角是立體幾何中角的代表，搞清正方體中這些角的求解探索過程，可以遷移到其他圖形中解決問題.

例3在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點(diǎn)P在棱CC1上，且CC1=4CP.求直線AP與平面BCC1B1所成的角的正切值.

分析直線與平面所成的角是直線與平面關(guān)系的基本概念，從概念出發(fā)是本題的基本原則，關(guān)鍵是找到平面的垂線.

解連結(jié)BP.

∵AB⊥平面BCC1B1，

∴AP與平面BCC1B1所成的角就是∠APB，

∵CC1=4CP,CC1=4，∴CP=1.

(1)求證：ADBC；

(2)求二面角B-AC-D的余弦值.

∴n1=(x,x,-x).不妨設(shè)n1=(1,1,-1).

同理可求得平面ACD的一個(gè)法向量為n2=(1，0，-1)，

四、正方體中的距離問題

立體幾何中的直線到平面的距離、平面到平面的距離最終要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，在轉(zhuǎn)化過程中各種距離的定義起到了關(guān)鍵的作用.

例5正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1,CC1的中點(diǎn)，

(1)求證：平面EB1D1∥平面FBD；

(2)若正方體棱長為a，求平面EB1D1與平面FBD間的距離.

分析證明面面平行要利用平面與平面平行的判定定理，要求平面EB1D1與平面FBD間的距離，根據(jù)定義可以在一個(gè)平面FBD內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，求出垂線段的長即為距離.

解(1)證明：取BB1的中點(diǎn)G，連接EG，C1G，根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得

ED1∥GC1，BF∥GC1，

∴ED1∥BF.

∵ED1?平面FBD，BF?平面FBD，

∴ED1∥平面FBD.

同樣，B1D1∥BD,.

∵B1D1?平面FBD，BD?平面FBD，

∴B1D1∥平面FBD.

又ED1∩B1D1=D1，∴平面EB1D1∥平面FBD.

(2)連結(jié)AC，A1C1，由AC⊥BD，AA1⊥BD，可得

BD⊥平面ACC1A1.

又BD?平面FBD，

∴ 平面FBD⊥平面ACC1A1，平面EB1D1⊥平面ACC1A1.

連接O1O，O1E，過點(diǎn)O作OM⊥O1E，則OM⊥平面

EB1D1，OM即為平面EB1D1與平面FBD間的距離.