初中幾何解題模型在教學(xué)活動(dòng)中的應(yīng)用

張靜

【摘 要】初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)一直是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在課堂時(shí)間有限的情況下，應(yīng)用幾何解題模型能幫助學(xué)生理解問題本質(zhì)，提高課堂效率。本文從解題模型的角度出發(fā)，探索初中幾何教學(xué)的有效方法。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；幾何解題模型；教學(xué)應(yīng)用

蘇科版教材在八年級(jí)上冊(cè)開始進(jìn)入復(fù)雜幾何知識(shí)教學(xué)，此時(shí)知識(shí)點(diǎn)大量增加，內(nèi)容比較多，加上問題類型復(fù)雜多變，很多學(xué)生不能靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解決問題，常感到解題困難，思路不準(zhǔn)確或沒有頭緒。按照傳統(tǒng)教學(xué)模式，教師會(huì)根據(jù)章節(jié)和進(jìn)度按部就班的教學(xué)，這種方式容易造成解題內(nèi)容太分散，學(xué)生重復(fù)勞動(dòng)，事倍功半。筆者認(rèn)為教師應(yīng)該轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，以解題模型為基礎(chǔ)，將分散的問題集中，幫助學(xué)生構(gòu)建更加全面和立體的知識(shí)框架。

一、利用幾何解題模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題

新課標(biāo)要求新時(shí)代的學(xué)生要學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)，因此近年來的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際生活聯(lián)系越來越密切，而很多學(xué)生由于年齡小，生活閱歷不足，在解決實(shí)際問題時(shí)往往無從下手。

問題：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系。

圖1

圖2

圖3

小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是。

探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1/2∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由。

實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)。1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離。

這個(gè)問題較長(zhǎng)也較復(fù)雜，尤其是第三問，文字?jǐn)⑹鲑N近生活，結(jié)合方位角，圖形中給出的線段和角的關(guān)系不但隱蔽，還比較分散，大多數(shù)學(xué)生看到這么復(fù)雜的問題，往往沒有明確的解題思路。筆者在授課時(shí)將該問題設(shè)計(jì)成一個(gè)專題，稱為“角含半角”幾何模型，從如圖1入手，引導(dǎo)學(xué)生去學(xué)習(xí)用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形的方法解決問題，當(dāng)學(xué)生理解并會(huì)類比解決圖2后，我請(qǐng)學(xué)生比較兩幅圖并歸納共同點(diǎn)：①∠EAF=1/2∠BAD；②對(duì)角互補(bǔ)，將圖3分散的信息集中之后得到了和前兩幅圖一樣的共同點(diǎn)，學(xué)生恍然大悟，直接運(yùn)用和圖2的結(jié)論一舉解決了圖3的實(shí)際問題。

二、掌握幾何解題模型，實(shí)現(xiàn)特殊

解決了該問題之后，筆者提出問題：“對(duì)圖1你們還有什么變化方案？”課堂氣氛頓時(shí)熱烈起來，學(xué)生分組畫圖并討論，筆者進(jìn)行補(bǔ)充，總結(jié)如下：

角含半角模型——90°含45°（正方形）

圖4

當(dāng)∠EAF=45°時(shí)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三角形全等同樣可以得到結(jié)論：①EF=DF+BE；②△CEF的周長(zhǎng)為正方形ABCD周長(zhǎng)的一半。另外，通過調(diào)換條件②和結(jié)論①的位置，結(jié)果依然成立。當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，其余條件不變時(shí)，結(jié)論會(huì)變成EF=DF-BE。筆者沒有簡(jiǎn)單的就題講題，而是順勢(shì)向?qū)W生繼續(xù)提出：“如果將上述問題中外面的正方形變成特殊的三角形，其它條件不變，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？”這個(gè)有點(diǎn)難度，但結(jié)合最近剛講的勾股定理，得到結(jié)論如下：

角含半角模型——90°含45°（等腰直角三角形）

圖5

當(dāng)具備兩個(gè)條件①Rt△ABC；②∠DAE=45°時(shí)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造直角三角形BD2+CE2=DE2。當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論BD2+CE2=DE2仍然成立。

通過以上幾何解題模型教學(xué)，筆者在相對(duì)較短的時(shí)間里引導(dǎo)學(xué)生了解并掌握了該模型的條件，解題思路，輔助線做法與常規(guī)結(jié)論，正面影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)策略，由知識(shí)學(xué)習(xí)變成體驗(yàn)學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，學(xué)生像蜜蜂采蜜一樣，不斷釀制知識(shí)的花蜜。由此，學(xué)生的思維和問題解決能力得到了發(fā)展，課堂效率也得到了提高。

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