十字相乘法在含參二次方程（函數(shù)）問(wèn)題中的應(yīng)用研究

摘 ?要：十字相乘法是現(xiàn)階段教育體系中的重點(diǎn)內(nèi)容，其知識(shí)本質(zhì)是進(jìn)行恒等變形，以幫助學(xué)生加深對(duì)知識(shí)內(nèi)容的掌握，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)。本文探索十字相乘法在含參二次方程（函數(shù)）問(wèn)題中的應(yīng)用，探索其解題方法，以供參考。

關(guān)鍵詞：十字相乘法;含參二次方程;二次函數(shù)

一、利用十字相乘法求字母系數(shù)值

靈活利用十字相乘法可以簡(jiǎn)化含參二次方程（函數(shù)）的難度.學(xué)生在解題過(guò)程中如果運(yùn)用傳統(tǒng)的解題方法步驟較為復(fù)雜，通過(guò)十字相乘法將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從全新的角度考慮問(wèn)題，選擇不同的方法求解，幫助學(xué)生獲得正確答案^[1]。以實(shí)際的例題為例：

例題：已知關(guān)于 x 的方程（m -1）x²- 2mx + m + 1 = 0.

（1）求證：在方程中無(wú)論常數(shù) m 取何值，方程均存在實(shí)數(shù)根.

（2）求證：當(dāng) m 取何整數(shù)時(shí)，方程存在兩個(gè)整數(shù)根.

解題分析：（1）選擇不等式進(jìn)行驗(yàn)證;（2）選擇十字相乘法進(jìn)行求解，以分析的整除性質(zhì)計(jì)算字母系數(shù)m值。

解：（1）在案例方程中當(dāng) m ≠1 時(shí)，該方程為一元二次方程，Δ = 4m²- 4（m - 1）（m + 1）= 4 > 0，因此當(dāng) m ≠ 1為其他值時(shí)，方程存在兩個(gè)不相等的實(shí)根。當(dāng) m = 1 時(shí)，案例方程為一元一次方程，存在一根。由此可知，無(wú)論m為何值方程（m -1）x²- 2mx + m + 1 = 0均存在實(shí)數(shù)根。

1. 將方程進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為（m - 1）x²- 2mx + m + 1 = 0，獲得[（m - 1）x -（m + 1）]（x - 1）= 0，方程存在兩根，x₁= 1，x₂=（m + 1）/（m - 1），其中x₁無(wú)影響，只需要使x₂為整數(shù)，（m + 1）/（m - 1）=（m - 1）/（m - 1）+2/（m - 1） 轉(zhuǎn)化為1+2/（m - 1），由此可知2/（m - 1）為整數(shù)即可保證存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根，經(jīng)過(guò)計(jì)算m=0、2、、-1。

二、利用十字相乘法求代數(shù)式的值

靈活利用十字相乘法可以簡(jiǎn)便計(jì)算代數(shù)式值，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，降低知識(shí)難度，幫助學(xué)生擴(kuò)展解題思路^[2]，獲得最終答案。以實(shí)際的例題為例：

例題：已知關(guān)于 x 的方程 x²-（2m + 1）x + m（+ 1）=0.

（1）求證：在方程中是否始終存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（2）求證：已知方程中一個(gè)根為0，計(jì)算代數(shù)式（2m -1）²+（3 + m）（3 - m）+ 7m - 5 .

解題分析：（1）選擇不等式進(jìn)行驗(yàn)證;（2）選擇十字相乘法計(jì)算，通過(guò)根的定義代入代數(shù)式中計(jì)算結(jié)果。

解：（1）計(jì)算Δ，Δ = 1 > 0.

（2）將原方程x²-（2m + 1）x + m（+ 1）=0進(jìn)行轉(zhuǎn)化，獲得（x - m）[x -（m + 1）] = 0，計(jì)算得出x₁= m，x₂=m + 1。將代數(shù)式（2m -1）²+（3 + m）（3 - m）+ 7m - 5 化簡(jiǎn)后獲得3m（m + 1）+ 5，其中一根為x=0則可知x₁= m=0時(shí)，代數(shù)式結(jié)果為5，當(dāng)x₂=m + 1=0時(shí)，代數(shù)式結(jié)果為5，

三、利用十字相乘法與函數(shù)結(jié)合

十字相乘法與函數(shù)結(jié)合也是常見(jiàn)的一種解題方法，靈活利用兩種方法的優(yōu)勢(shì)進(jìn)行計(jì)算，簡(jiǎn)化計(jì)算的過(guò)程^[3]，獲得精確的答案，以實(shí)際的例題為例：

例題：已知反比函數(shù)的解析式 y =3k/x（k > 0）.

（1）求證：若已知反比例函數(shù)與正比例函數(shù)y=2x的圖像存在交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為（未知，2），求k值。

（2）求證：直線l：y= kx + b 的圖像與反比例函數(shù)相交兩點(diǎn)，分別為A與B，且直線過(guò)點(diǎn)M（-2，0），當(dāng)△ABO的面積為其=16/3時(shí)，計(jì)算直線的解析式。

解題分析：（1）利用反比例函數(shù)與正比例函數(shù)交點(diǎn)進(jìn)行求解^[4]。

（2）利用反比例函數(shù)與直線交點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)合解題，形成一元二次方程，再利用十字相乘法求解。

解：（1）根據(jù)已知條件可知，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），將交點(diǎn)坐標(biāo)帶入反比例函數(shù)中，計(jì)算后求出k=2/3。

（2）根據(jù)已知條件，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2，0），可計(jì)算出b=2k，轉(zhuǎn)化一次函為y = kx + 2k，同時(shí)又可知y=3k/x，經(jīng)過(guò)求解將y消除，kx + 2k =3kx，獲得kx+2k=3k/x，而 k > 0，可知 x + 2 =3/x。繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算，x²+ 2x - 3 = 0，解得 x₁= 3，x₂= 1，獲得點(diǎn)A（1，6k），B（-3，-k）。當(dāng)△ABO的面積為其=16/3時(shí)，可知S△ABO=S△AMO+S△BMO，1/2×2×（3k+k）=16/3，最終計(jì)算k值為4/，直線解析式為y=4x/3+8/3。

結(jié)束語(yǔ)：

綜上所述，經(jīng)過(guò)例題分析發(fā)現(xiàn)，在解決含參二次方程或者函數(shù)問(wèn)題過(guò)程中，學(xué)生選擇十字相乘法可以有效的簡(jiǎn)化知識(shí)難度，并開(kāi)闊學(xué)生的解題思路，提升解題質(zhì)量。十字相乘法可以說(shuō)初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的紐帶，涉及的知識(shí)范圍較廣，靈活利用因式分解可以實(shí)現(xiàn)快速解決問(wèn)題，但其方法也存在一定的限制性。教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)合理進(jìn)行應(yīng)用，注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，消除十字相乘法中存在的猜想因素，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]羅峻，段利芳.十字相乘法在含參二次方程（函數(shù)）問(wèn)題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2019，11（01）：19-23.

[2]何衛(wèi)群.把握已有教學(xué)資源，設(shè)計(jì)有效教學(xué)活動(dòng)——“因式分解之十字相乘法”研究課題教學(xué)片斷及思考[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018，14（22）：121.

[3]易麗萍，張文麗.對(duì)知識(shí)過(guò)程性探索的思考——記《十字相乘法》引入部分的教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2019，14（16）：13-15.

[4]于大平.初中數(shù)學(xué)微課程的實(shí)踐探索——以“十字相乘法”分解因式微課程開(kāi)發(fā)為例[J].數(shù)字教育，2018，2（01）：77-81.

作者簡(jiǎn)介：

馬玉龍（1981.12-），男，彝，云南香格里拉，一級(jí)教師，本科，云南香格里拉市一中，初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，674499。