幾何畫板演示動點軌跡 掃清學生空間想象盲區(qū)

張建芬

摘?要：在初中數(shù)學教學中，動點問題，常常作為考查學生學習能力和思維發(fā)展水平的中考壓軸題，需要學生理解圖形在不同位置的情況，在變化中找到解決問題的辦法，因此，常常成為學生學習的難點所在。而幾何畫板被譽為“二十一世紀的幾何點金石”，它以直觀、簡潔、動態(tài)的表現(xiàn)來解決動點難題，能幫助學生深刻理解，收到很好的效果。本文重點研究的是如何利用幾何畫板，更清晰直觀地觀察動點運動軌跡。

關(guān)鍵詞：動點問題;幾何畫板;數(shù)形結(jié)合

一、 背景分析

（一） 知識背景與學生學情分析

1. 本課是中考第二輪復習時的一節(jié)專題復習課，學生已經(jīng)復習完基礎(chǔ)知識，基于對函數(shù)圖像與方程有了較好的理解和運用的前提，而學生在解綜合性的“動點問題”中有以下幾個方面的困難：（1）不會分類討論。（2）無法熟練地數(shù)形結(jié)合。（3）添加輔助線。因此安排了這樣一節(jié)應用信息技術(shù)展示動點問題的專題課。

2. 在現(xiàn)代社會，電腦已經(jīng)深入滲透到了學生的日常生活，更是走進了常規(guī)課堂，傳統(tǒng)數(shù)學教學，老師在講課時無法動態(tài)演示給學生觀看圖形變換過程，這對學生知識點的理解也是有阻礙的，隨著科技的發(fā)展，促使了像幾何畫板等教學工具的產(chǎn)生?！皠狱c問題”具有較強的綜合性，對學生的能力有較高要求，學生往往感覺上課能聽懂但自己做題時就無法入手。運用幾何畫板將“動點問題”動態(tài)展現(xiàn)出來，能使動點問題更加具體化，便于學生對于這類問題的理解，使學生的數(shù)學解題能力不再停留在簡單的模仿階段，從而對于學生提高數(shù)學成績有深遠的、重要的影響。

（二） 教材分析

現(xiàn)行的教材體系，基本都是新課標頒布實施以后的新編版本，由于新課標的實施，初中數(shù)學教材增加了圖形運動的相關(guān)內(nèi)容，其基本理念對近幾年數(shù)學命題產(chǎn)生了重大影響，其中“動點問題”成為中考數(shù)學中的?？?。它通常是中考的拉分題，更加綜合地考查學生數(shù)學解題思想的運用能力。為了落實讓數(shù)學的教與學貼近生活、貼近現(xiàn)實，增強學以致用、強化體驗等新課程理念，順應素質(zhì)教育的要求，我今天選擇了“幾何畫板演示動點軌跡，掃清學生空間想象盲區(qū)”這節(jié)課。

（三） 學生需求分析

1. 時代的進步，科技的提高，學生的學習方式也應該順應改革不斷完善，向多樣化、自主性、探究式的方向轉(zhuǎn)變。所以教材體現(xiàn)時代特征，是對傳統(tǒng)教學的不斷改進，值得我們響應與附和。

2. 利用電腦軟件解決學科問題，特別是數(shù)學問題，學生已經(jīng)司空見慣、耳聞目睹，面對陌生的數(shù)學問題或陌生的電腦軟件，學生在心理上并無恐懼感，相反，在老師的推薦、帶動和指導下，還能激發(fā)他們的好奇心和求知欲望，甚至能夠激發(fā)他們對動點問題的嘗試和探究的潛能。

因此，設(shè)置這樣的一節(jié)專題課，不僅是要增強學生掌握現(xiàn)代信息技術(shù)的意識，也是在強化對新課程理念的導向，更是對教師自身學習與探究能力的挑戰(zhàn)、檢驗與鞭策。

二、 實踐舉措

（一） 教學目標的設(shè)計

1. 知識定位

借助《幾何畫板》來探究有關(guān)動點的軌跡問題，從新的視角審視軌跡問題的本質(zhì);認識圓的幾何屬性在探究過程中的完美運用。

2. 能力定位

讓學生從認識→理解→實踐，提升學生解動點問題的能力，加強新時代背景下學生信息技術(shù)的基本功;培養(yǎng)學生探究數(shù)學知識，開闊視野，激發(fā)創(chuàng)新潛能。

3. 情感導向

讓學生直觀地感受點的運動軌跡，從本質(zhì)上理解點的運動是怎么形成的，把知識教給學生，把能力傳授給學生;投其所好，實施快樂教學，實現(xiàn)愉悅學習;師生共同提高，提升“數(shù)學”品味。

（二） 教學目標的實現(xiàn)

（三） 教法：演示法、指導法。

（四） 學法：實踐法、探究法（“動手”學習，親歷體驗）。

（1） 課前準備：選題，選了在本次月考中幾乎全軍覆沒的一道題，然后用《幾何畫板》制作動態(tài)圖像。

【例】如圖，△COD是等腰直角三角形，當它從OA與OC重合位置開始順時針旋轉(zhuǎn)90°時，求點P經(jīng)過的路徑長。

在幾何畫板中，制作向大家展示等腰直角三角形繞點O旋轉(zhuǎn)的動畫，只要用鼠標選中C點，然后向右拖動鼠標，就可以觀看到等腰直角三角形△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°的整個過程。選中點P，并選擇顯示中的追蹤，就可以清楚地看到點P運動的軌跡，是經(jīng)過點A、P、B的弧。

【配套練習題】如圖，AB是圓O的直徑，點C是半圓弧的中點，點P在弧BC上運動，CD垂直CP交AP于點D，求BD的最小值。

在幾何畫板中，制作向大家展示點P在弧上運動的動畫，只要用鼠標選中點P，然后向右拖動鼠標，就可以觀看到點D運動的整個過程。選中點D，并選擇顯示中的追蹤，就可以清楚地看到點P運動的軌跡，是經(jīng)過點A、D、C的弧。

（2） 課程開始：和學生一起理解題意，分析條件，得出結(jié)論。

【例】如圖，△COD是等腰直角三角形，當它從OA與OC重合位置開始順時針旋轉(zhuǎn)90°時，求點P經(jīng)過的路徑長。

引導：△COD旋轉(zhuǎn)的起始位置是哪里？此時點P的位置在哪里？

答：起始位置是點C在點A處，此時點P和點A重合。

引導：△COD旋轉(zhuǎn)的終點位置是哪里？此時點P的位置在哪里？

答：終點位置是點D運動到點B處，此時點P和點B重合。

引導：你們能找到一個△COD旋轉(zhuǎn)過程中的任一點位置嗎？此時點P的位置在哪里？

答：題圖的位置就可以。

引導：你們猜測點P的軌跡是一條什么線？

答：學生A：曲線。學生B：圓弧。學生C：折線……

師：到底是一條什么線，讓幾何畫板給我們展示一下。

在幾何畫板中，制作向大家展示等腰直角三角形繞點O旋轉(zhuǎn)的動畫，只要用鼠標選中點C，然后向右拖動鼠標，就可以觀看到等腰直角三角形△COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°的整個過程。選中點P，并選擇顯示中的追蹤，就可以清楚地看到P點運動的軌跡，是經(jīng)過點A、P、B的弧。

猜測是圓弧線后，給出證明∠APB始終為135°，確定點P在以弧AB的中點E為圓心，EA為半徑的弧AB上，然后計算出軌跡的長。

給出配套練習，讓學生嘗試解答：

【配套練習題】如圖，AB是圓O的直徑，點C是半圓弧的中點，點P在弧BC上運動，CD垂直CP交AP于點D，求BD的最小值。

在幾何畫板中，制作向大家展示點P在弧上運動的動畫，只要用鼠標選中點P，然后向右拖動鼠標，就可以觀看到點D運動的整個過程。選中點D，并選擇顯示中的追蹤，就可以清楚地看到點P運動的軌跡，是經(jīng)過點A、D、C的弧。

三、 成效與反思

通過幾何畫板，在講解動點問題時，就不再是紙上談兵，可以實戰(zhàn)演練給學生們觀看，從而知道每個點的運動軌跡，這樣就可以更好地進行講解。學生們在面對動點運動的過程時也十分有興趣，覺得很神奇，運用幾何畫板，可以讓學生在課堂上充分活動起來，課堂氣氛活躍起來，讓學生非常直觀地得到結(jié)論，把教師的“教”與學生的“學”有機地結(jié)合起來，使學生真正成為學習的主人，讓教師真正成為教學的引導者。而且對于動點問題，原先學生由于空間想象能力匱乏，始終沒有在腦海中有過如此具體的動點的軌跡，幾何畫板讓他們有了切實的經(jīng)驗，在今后遇到的問題中，可以有效地應用。美中不足的是，考試時并沒有幾何畫板這樣的工具，所以在幾何畫板演示之前，應該引導好學生，使得他們有充分時間進行空間想象能力的鍛煉，這樣，幾何畫板給他們的具體實踐過程，才能真正起到作用。

參考文獻：

[1]陶維林.幾何畫板實用范例教程（第3版），清華大學出版社出版，2013（9）.

[2]方其桂主編，周紅文，朱俊杰.POD——幾何畫板4——課件制作方法與技巧，人民郵電出版社出版，2004（1）.