非線性需求下多寡頭博弈模型的動力學分析

路正玉，于歡歡，王文靜，趙 娜

(蘭州交通大學數(shù)理學院，甘肅蘭州 730070)

在社會和科技不斷發(fā)展的同時，經(jīng)濟也在不斷發(fā)展，像銀行、保險等．伴隨著經(jīng)濟的發(fā)展，出現(xiàn)了一些嚴重的社會問題，價格競爭[1]就是其中一個．價格競爭的出現(xiàn)源自于各大廠商都想著擴大自己的市場，想通過調(diào)整自己產(chǎn)品的價格和其它廠家競爭，于是就出現(xiàn)了寡頭壟斷現(xiàn)象[2]．市場往往被幾個寡頭壟斷，這是市場普遍存在的一種形式．López 等[3]基于經(jīng)濟學家Bertrand 的研究提出了一個雙重寡頭壟斷模型，這個模型是以通過價格競爭來贏得市場為目的的一種模型．消費者喜歡選擇價格低的產(chǎn)品，寡頭壟斷者就通過降低他們產(chǎn)品價格來贏得更多的消費者．Agiza等[4-5]對多寡頭博弈下市場穩(wěn)定存在時商品的價格變化區(qū)間進行了研究，在該區(qū)間發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象的存在．Ahmed 等[6-10]通過研究市場上各廠家為了吸引消費者所作的廣告，得出了一個新的模型：廣告競爭模型，并且還得出了Lyapunov 指數(shù)．通過這些研究結(jié)論能夠分析出價格的復雜變化．楊樹等[11-14]研究了房地產(chǎn)市場的一些壟斷情況，發(fā)現(xiàn)真正的納什均衡可以在有界有理不完全信息的動態(tài)重復博弈下進行．

企業(yè)之間的行為都是相關(guān)的，它們之間互相影響．企業(yè)主要通過價格競爭在市場上相互制約，商品合理的定價直接影響到價格競爭的成功與否．在當今的寡頭市場上，產(chǎn)品的性質(zhì)基本上是相同的，每一家企業(yè)的定價決策和目的都很容易被其它企業(yè)覺察到．可以看出，現(xiàn)在的寡頭企業(yè)的市場份額之間存在著一種促進和抑制的關(guān)系，所以，寡頭企業(yè)的生存與發(fā)展的著重點就在定價的策略上．寡頭企業(yè)定制價格，不僅要有豐富經(jīng)驗的先驅(qū)決策者，還要有先進的科學的指導理論，博弈論就是能夠為寡頭企業(yè)定價策略提供正確指導的科學理論．本文將利用博弈論的相關(guān)理論建立模型，分析企業(yè)在同樣的產(chǎn)品性質(zhì)下的價格定制策略．

1 模型的建立

假設市場上有兩個生產(chǎn)同類產(chǎn)品的企業(yè)，企業(yè)1 和企業(yè)2 生產(chǎn)的產(chǎn)品具有一定的替代關(guān)系，生產(chǎn)的產(chǎn)品分別記為A 和B．一個寡頭企業(yè)不僅影響自己的決策，而且影響其它寡頭企業(yè)的決策，甚至改變整個市場的運行狀態(tài)．產(chǎn)品價格、銷售量分別記為pi,qi(i=1, 2)，則寡頭企業(yè)1 和企業(yè)2 的線性需求函數(shù)可設為：

假設企業(yè)i(i=1, 2)成本函數(shù)形式為cipi，其中ci(i=1, 2)為企業(yè)技術(shù)水平對價格的敏感系數(shù)，則寡頭企業(yè)i的利潤函數(shù)表達式為：

整理可得：

因為市場上各企業(yè)占據(jù)了不同的市場信息，市場信息表現(xiàn)為不完全性，對于寡頭壟斷者的企業(yè)也是如此，在有限的信息下，他們在市場競爭中只能對價格的調(diào)整策略作出合理的決策．當兩個企業(yè)的價格調(diào)整策略差不多時，認為他們是采用了有限的決策方式，主要就是通過市場上的利潤反饋信息來對價格進行調(diào)整．下一期的價格調(diào)整信息是由這一期的市場利潤和價格信息分析得出的．兩個企業(yè)采用上述規(guī)則進行決策時，也就是說如果邊際利潤為正，市場上產(chǎn)品的需求量就會增加，相反，如果邊際利潤為負，市場上產(chǎn)品的需求就會減少．下列式子中v1和v2為價格調(diào)整速度，價格的調(diào)整策略可以表述為：

其中pi(t+ 1)和pi(t)分別表示第t+ 1期和第t期的價格．第t期，原寡頭企業(yè)的邊際利潤函數(shù)為：

令?π1?p1=0，?π2?p2=0時就能得到企業(yè)1 和企業(yè)2 的反應方程：

依據(jù)以上分析，得出如下基于不同預期的雙寡頭投資動態(tài)調(diào)整模型：

其中a1＞0和a2＞0分別表示產(chǎn)品的市場容量；α1＞0和α2＞0分別表示企業(yè)產(chǎn)品A 和B 對自身價格的敏感度；β1＞0和β2＞0分別表示企業(yè)產(chǎn)品A 和B 對對方產(chǎn)品價格的敏感度．在兩個企業(yè)同時決策的情況下，假定兩企業(yè)的邊際成本分別為c1和c2，沒有固定的成本．

2 模型分析

產(chǎn)品A 產(chǎn)品B 存在著一定的替代關(guān)系，但不是相同性質(zhì)的產(chǎn)品，此時α1,α2,β1,β2均為有限的正實數(shù)．考慮反應方程：

由隱函數(shù)定理得，當D≠ 0時，反應方程組能夠確定唯一的一個函數(shù)：p1(α1,α2,β1,β2)，p2(α1,α2,β1,β2)，所以，可以確定唯一的一組均衡價格p1，p2．

3 數(shù)值模擬

為了更好地了解系統(tǒng)的動力學特性，在這部分，主要通過模擬系統(tǒng)在不同參數(shù)范圍下的復雜動力學行為來定性地分析系統(tǒng)的動力學特性．

3.1 調(diào)整速度v1和v2對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

圖1 是系統(tǒng)寡頭企業(yè)的商品售價p1和p2關(guān)于參數(shù)v1的分岔圖和相應的最大Lyapunov 指數(shù)圖．通過不斷調(diào)整其它參數(shù)，嘗試著用Matlab 繪制一些圖形．取一組參數(shù)不變：a1=0.4，a2=0.3，α1=0.9，α2=0.9，β1=0.05，β2=0.7，c1=0.4，c2=0.5，v2=0.2，繪制系統(tǒng)（7）關(guān)于v1的單參數(shù)分岔圖，如圖1（a）所示．從圖1（a）中看出，當參數(shù)0＜v1＜2.42時，系統(tǒng)是很穩(wěn)定的，當系統(tǒng)處于穩(wěn)定的區(qū)間時，市場表現(xiàn)為穩(wěn)定有序，有利于社會的穩(wěn)定發(fā)展，企業(yè)之間的相對競爭力度較小，各企業(yè)相對穩(wěn)定存在；當參數(shù)2.42＜v1＜2.9時，系統(tǒng)就出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象，當混沌現(xiàn)象發(fā)生時市場就會進入到一種混亂無序的雜亂狀態(tài)，在這種情況下，無論是企業(yè)自己還是他們的競爭者都無法避免受混亂狀態(tài)的影響，尤其對市場上的一些根基并不穩(wěn)固的小廠家來說，生存是很困難的，市場的不穩(wěn)定影響的就不只是市場了，整個社會都會受其影響，這個時候，寡頭企業(yè)1 的管理者就應該控制價格的相關(guān)調(diào)整策略和他們產(chǎn)品的價格調(diào)整速度，盡量不要因為眼前的利益發(fā)動價格戰(zhàn)，進而產(chǎn)生市場的混亂．

根據(jù)判斷系統(tǒng)狀態(tài)的最大的Lyapunov 指數(shù)，得到相對于圖1（a）的最大Lyapunov 指數(shù)如圖1（b）所示．最大Lyapunov 指數(shù)的不同表示系統(tǒng)的狀態(tài)不相同，當最大Lyapunov 指數(shù)小于0時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，最大Lyapunov 指數(shù)大于0時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)．

圖2 是系統(tǒng)寡頭企業(yè)商品售價p1和p2關(guān)于參數(shù)v2的分岔圖和相應的最大Lyapunov 指數(shù)圖．通過不斷調(diào)整其它參數(shù)，固定一組參數(shù)不變：a1=0.2，a2=0.2，α1=0.8，α2=1,β1=0.3，β2=0.2，v1=0.1，c1=0.2，c2=0.3，繪制系統(tǒng)（7）關(guān)于v2的單參數(shù)分岔圖，如圖2（a）所示．從圖2 中可以看出，當參數(shù)0＜v2＜1.36時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定周期，市場表現(xiàn)為穩(wěn)定有序盈利，有利于社會的穩(wěn)定發(fā)展，企業(yè)之間的相對競爭力度較小，各企業(yè)相對穩(wěn)定運營；當參數(shù)1.36＜v2＜1.71時，就變成了混沌狀態(tài)．圖2（a）的最大Lyapunov 指數(shù)如圖2（b）所示．

圖1 系統(tǒng)（7）關(guān)于參數(shù)v1的分岔圖和相應最大Lyapunov 指數(shù)圖Fig 1 Bifurcation Diagram and Corresponding Maximum Lyapunov Exponent Diagram about Parametersv1of System (7)

圖2 系統(tǒng)（7）關(guān)于參數(shù)v2的分岔圖和相應最大Lyapunov 指數(shù)圖Fig 2 Bifurcation Diagram and Corresponding Maximum Lyapunov Exponent Diagram about Parametersv2of System (7)

3.2 敏感度1β和2β對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

下面討論寡頭廠商A（B）所生產(chǎn)的產(chǎn)品對寡頭廠商B（A）生產(chǎn)的產(chǎn)品的替代率β1（β2）對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響．

圖3 是系統(tǒng)寡頭廠商商品售價p1和p2關(guān)于參數(shù)β1的分岔圖和相應的最大Lyapunov 指數(shù)圖．通過不斷調(diào)整其它參數(shù)，取一組參數(shù)不變：a1=1 ，a2=0.5，α1=2 ，α2=0.5，β2=0.5，v1=0.2，v2=0.2，c1=0.2，c2=0.1，繪制系統(tǒng)（7）關(guān)于β1的單參數(shù)分岔圖，如圖3（a）所示．可以看出，當參數(shù)0＜β1＜6.42時，系統(tǒng)是很穩(wěn)定的，當系統(tǒng)處于穩(wěn)定的區(qū)間，市場表現(xiàn)為穩(wěn)定有序；當參數(shù)6.42＜β1＜6.79時，就變成了混沌狀態(tài)，當混沌現(xiàn)象發(fā)生時市場就會進入到一種混亂無序的雜亂狀態(tài)，在這種情況下，無論是廠商自己還是他們的競爭者都無法避免受混亂狀態(tài)的影響，尤其對市場上的一些根基并不穩(wěn)固的小廠家來說，生存是很困難的，市場的不穩(wěn)定影響的就不只是市場了，整個社會都會受其影響，在這個時候，寡頭廠商A 管理者應盡力控制產(chǎn)品替代率，盡量不要因為眼前利益就發(fā)動價格戰(zhàn)，進而造成市場混亂．根據(jù)判斷系統(tǒng)狀態(tài)的最大Lyapunov 指數(shù)，得到相對于圖3（a）的最大Lyapunov 指數(shù)，如圖3（b）所示．最大Lyapunov指數(shù)的不同表示系統(tǒng)的狀態(tài)不相同，當最大Lyapunov 指數(shù)小于0時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，最大Lyapunov 指數(shù)大于0時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)．

圖3 系統(tǒng)（7）關(guān)于參數(shù) 1β的分岔圖和相應最大Lyapunov 指數(shù)圖Fig 3 Bifurcation Diagram and Corresponding Maximum Lyapunov Exponent Diagram about Parameters 1βof System (7)

圖4 是系統(tǒng)寡頭廠商商品售價p1和p2關(guān)于參數(shù)β2的分岔圖和相應的最大Lyapunov 指數(shù)圖．通過不斷調(diào)整其它參數(shù)，固定一組參數(shù)不變：a1=0.6，a2=0.3，α1=0.5，α2=1.5，β1=0.5，v1=0.2，v2=0.3，c1=0.1，c2=0.1，繪制系統(tǒng)（7）關(guān)于β2的單參數(shù)分岔圖，如圖4（a）所示，圖形的形狀與圖3 類似．從圖中可以看出當參數(shù)0＜β2＜4.17時，系統(tǒng)是很穩(wěn)定的，當系統(tǒng)處于穩(wěn)定的區(qū)間，市場表現(xiàn)為穩(wěn)定有序；當參數(shù)4.17＜β2＜4.22時，系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌狀態(tài)，當混沌現(xiàn)象發(fā)生時，市場就會進入到一種混亂無序的雜亂狀態(tài)，在這種情況下，無論是廠商自己還是他們的競爭者都無法避免受混亂狀態(tài)的影響，尤其對市場上的一些根基并不穩(wěn)固的小廠家來說生存很是困難，市場的不穩(wěn)定影響的就不只是市場了，整個社會都會受其影響，在這個時候，寡頭廠商B 管理者應盡力控制產(chǎn)品替代率，盡量不要因為眼前利益就發(fā)動價格戰(zhàn)，進而產(chǎn)生市場的混亂．圖4（a）的最大Lyapunov 指數(shù)如圖4（b）所示．

圖4 系統(tǒng)（7）關(guān)于參數(shù) 2β的分岔圖和相應最大Lyapunov 指數(shù)圖Fig 4 Bifurcation Diagram and Corresponding Maximum Lyapunov Exponent Diagram about Parameters 2βof System (7)

3.3 邊際成本c1和c2對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

接下來討論寡頭廠商A（B）的價格敏感系數(shù)c1（c2）對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響．

圖5 是系統(tǒng)寡頭廠商商品售價p1和p2關(guān)于參數(shù)c1的分岔圖和相應的最大Lyapunov 指數(shù)圖．通過不斷調(diào)整其它參數(shù)，取一組參數(shù)不變：a1=3 ，a2=3 ，α1=4 ，α2=4 ，β1=0.8，β2=0.8，v1=0.4，v2=0.4，c2=0.2，繪制系統(tǒng)（7）關(guān)于c1的單參數(shù)分岔圖，如圖5（a）所示．從圖中可以看出當參數(shù)0＜c1＜0.21時，系統(tǒng)是很穩(wěn)定的，當系統(tǒng)處于穩(wěn)定的區(qū)間，市場也就穩(wěn)定了；當參數(shù)0.21＜c1＜0.318時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，在混沌狀態(tài)下，市場也就變得混亂了，各廠商都會受其影響，這個時候廠商A 就應該控制敏感系數(shù)c1，避免市場發(fā)生混亂．圖5（a）的最大Lyapunov 指數(shù)如圖5（b）所示．

圖5 系統(tǒng)（7）關(guān)于參數(shù)c1的分岔圖和相應最大Lyapunov 指數(shù)圖Fig 5 Bifurcation Diagram and Corresponding Maximum Lyapunov Exponent Diagram about Parametersc1of System (7)

圖6 是系統(tǒng)寡頭廠商商品售價p1和p2關(guān)于參數(shù)c2的分岔圖和相應的最大Lyapunov 指數(shù)圖．取其它參數(shù)不變：a1=3 ，a2=3 ，α1=4 ，α2=4 ，β1=0.8，β2=0.8，v1=0.4，v2=0.4，c1=0.2，圖形的形狀與圖6 類似．

從圖6 中可以看出，當參數(shù)0＜c2＜0.21時系統(tǒng)是很穩(wěn)定的，當系統(tǒng)處于穩(wěn)定的區(qū)間時，市場也處于穩(wěn)定狀態(tài)；當參數(shù)0.21＜c2＜0.318時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，在混沌狀態(tài)下，市場也就變得混亂了，各廠商都會受其影響，這個時候廠商B 就應該控制敏感系數(shù)c2，以避免市場發(fā)生混亂．圖6（a）的最大Lyapunov 指數(shù)如圖6（b）所示．

圖6 系統(tǒng)（7）關(guān)于參數(shù)c2的分岔圖和相應最大Lyapunov 指數(shù)圖Fig 6 Bifurcation Diagram and Corresponding Maximum Lyapunov Exponent Diagram about Parametersc2of System (7)

3.4 對系統(tǒng)（7）混沌吸引子和相圖的模擬

當參數(shù)v1的取值為4.5、4.4、4.3、4.2、4.1、4.0、3.9、3.8 時，系統(tǒng)（7）的吸引子和相圖見圖7．從圖7 中得出，系統(tǒng)（7）表現(xiàn)混沌狀態(tài)時，對應圖（a）和圖（b）中的混沌吸引子．

4 結(jié) 語

本文建立了一個寡頭壟斷博弈模型，分析了價格調(diào)整對寡頭廠商利益以及整個市場的影響．數(shù)值模擬結(jié)果表明，一旦價格調(diào)整率超過穩(wěn)定范圍，整個市場將陷入混亂，寡頭廠商自身利潤也將減少．寡頭壟斷廠商或當前寡頭壟斷廠商應采取較低的價格調(diào)整率，以實現(xiàn)利潤最大化．從上文可以得出，在寡頭市場價格調(diào)整時會出現(xiàn)分岔甚至混沌現(xiàn)象，這對社會發(fā)展非常不利，有關(guān)部門應該規(guī)范市場，從而讓市場和社會健康持續(xù)地發(fā)展下去．

所有寡頭壟斷者初始狀態(tài)的微小差異都會對分析結(jié)果產(chǎn)生很大影響．為了穩(wěn)定市場，寡頭壟斷者應慎重選擇博弈的初始條件．當市場處于混亂狀態(tài)時，寡頭壟斷者可以使用延遲反饋控制來控制混沌．

在有限的理論下，博弈模型是建立在銷售量僅與價格有關(guān)的條件下，實際上影響銷量的因素很多，如產(chǎn)品質(zhì)量、市場需求等，這些問題需要進一步分析．

圖7 系統(tǒng)（7）關(guān)于參數(shù)v1變化時的混沌吸引子、相圖Fig 7 Chaotic Attractors and Phase Diagram about Parametersv1of System (7)