求具有奇異的橢圓問題的一點(diǎn)函數(shù)值的高效數(shù)值方法

王桂娜，何文明

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

對(duì)于一、二維的奇異橢圓問題的數(shù)值解法已經(jīng)有不少人提出，文[1-5]研究了二維奇異橢圓邊值問題的有限元方法，文[2-3]是將方程離散，用插值逼近的方法來討論該問題．本文將針對(duì)一類常見的奇異橢圓問題，給出一種新的方法，來高效求解其在某一點(diǎn)的函數(shù)值，并給出了一個(gè)數(shù)值計(jì)算的例子．

1 方法和結(jié)果

對(duì)于橢圓問題

在本文，我們考慮，右端是奇異函數(shù)后，該如何高效數(shù)值求解u在某一點(diǎn)的函數(shù)值．我們的想法是：把u分解為u(x)=u1(x)+u2(x)，這里u1(x)是一個(gè)能精確找到的并且邊界與u相同的函數(shù)，這樣就能把對(duì)u的數(shù)值計(jì)算轉(zhuǎn)化為對(duì)u2(x)的數(shù)值計(jì)算，其中u2(x)滿足方程

假設(shè)Gx0是方程

在點(diǎn)x0的格林函數(shù)，則可得到：

考慮到Gx0很難求精確解，把Gx0分解為：Gx0(x)=G1(x)+G2(x)，這里G1(x)滿足方程[6]：

而G2(x)滿足如下方程：

于是把u2(x)分解為：u2(x0)=u2,1(x0)+u2,2(x0)，這里

下面考慮如何計(jì)算G1與G2，先考慮如何具體計(jì)算G1(x)．

令對(duì)稱正定矩形B滿足：構(gòu)造線性變換：y=B-1x．方程（4）可以變換為：

下面考慮如何求解方程（6）．當(dāng)n=2時(shí)，令

并假設(shè)

由（7）式得到：

由（8）式得到：

進(jìn)一步得到：

與

從而得到：

由分析可知，φ與θ無關(guān)，于是得到：

這樣得到方程：

當(dāng)c=0時(shí)，得到解析解[7]：當(dāng)c≠0時(shí)，只能采用有限元方法得到近似解．同樣的，當(dāng)n=3時(shí)，能夠得到方程：

把該方程化為如下關(guān)于r的方程：這樣可以得到：

當(dāng)c=0時(shí)，得到解析解：當(dāng)c≠0時(shí)，采用有限元方法求解該方程，可以得到Ψ(y)的精確值，從而得到G1(x)．

對(duì)于G2(x)，可以用k次有限元方法來計(jì)算．由G1(x)與G2(x)，得到u2,1(x0)與u2,2(x0)．記現(xiàn)在我們來估計(jì)u2,2(x0)-Phu22(x0)．

定理1[8]存在不依賴于h的常數(shù)c，使得：

證明：

這里a(.,.)的定義為：從而得到：

定理成立．

當(dāng)方程（13）中c=0時(shí)，令：Phu2(x0)=u21(x0)+Phu2,2(x0)，則得到如下推論：

推論1 當(dāng)方程（13）中c=0時(shí)，存在不依賴于h的常數(shù)c使得：

進(jìn)一步，令Phu(x0)=Phu2(x0)+u1(x0)，則得到如下推論：

推論2 存在不依賴于h的常數(shù)c使得：

2 數(shù)值計(jì)算的例子

考慮方程：

我們要計(jì)算u在x=(1/100,1/100)點(diǎn)的值，構(gòu)造δk次多項(xiàng)式函數(shù)φ1(t),t∈[-1,1]，使得這里1≤L2≤k．這里0≤L2≤k．

發(fā)現(xiàn)：

其中c0,c1滿足解得

表1 給出方程（16）在點(diǎn)(1/100,1/100)處，本文得到的解與精確解之間的比較，其中hu是本文所得，u表示精確解，其中取k=1 ．

表1 u(1/100, 1/100)=3.324 7，本文解與精確解比較Table 1 Comparisons between the Solution from this Article and the Exact Solution,u(1/100, 1/100)=3.324 7

3 結(jié) 論

通常來說，奇異橢圓邊值問題是不容易求解的，目前的文獻(xiàn)中大多用差分法或有限元法求解，而本文通過格林函數(shù)法求解，因此本文具有一定的理論價(jià)值．