Bloch型空間上加權(quán)微分復(fù)合算子的一些特征

侯曉陽，秦 春

(1．溫州商學(xué)院基礎(chǔ)部，浙江溫州 325035；2．溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

設(shè)D為復(fù)平面?上的單位圓盤，H（D）表示D上的所有解析函數(shù)全體，φ為D上非常值的解析自映射．對任意的α＞0，定義

分別稱為Bloch 型空間和小Bloch 型空間．易知它們在范數(shù)下為Banach 空間．

設(shè)D=D1為微分算子，即D1f=f′，Dnf=f(n)，特別地，D0f=f．對任意u∈H(D)，定義加權(quán)微分復(fù)合算子

若n=0，則就是加權(quán)復(fù)合算子uCφ:uCφf(z)=u(z)f(φ(z))，如果再有u(z) ≡ 1，則為復(fù)合算子Cφ．

文[2-3]研究了Bloch空間和小Bloch空間相關(guān)的復(fù)合算子Cφ的有界性和緊性問題，關(guān)于Bloch空間上的加權(quán)復(fù)合算子uCφ可見文[4-5]及其相應(yīng)的參考文獻(xiàn)．Li 等在文[6]中研究了不同Bloch型空間之間的微分復(fù)合算子DCφ，文獻(xiàn)[7]研究了單位圓盤上從BMOA 空間到Bloch 型空間的加權(quán)微分復(fù)合算子的有界性和緊性，該結(jié)果的推廣可見文[8-9]．Stevi? 在文[10]中研究了Bloch型空間Bα上指標(biāo)α與微分復(fù)合算子DCφ的有界性和緊性的關(guān)系，本文推廣了該文的幾個(gè)結(jié)論．更多關(guān)于不同空間上加權(quán)微分復(fù)合算子的有關(guān)結(jié)論可見[11-13]及其參考文獻(xiàn)．

1 主要結(jié)果

文[8-9]從解析自映射φ和解析函數(shù)u之間的關(guān)系討論加權(quán)微分復(fù)合算子在Bloch型空間Bα和小Bloch 型空間上的有界性和緊性問題，得到如下結(jié)論．

定理1[8]設(shè)0＜α，β＜∞，n∈?+，u∈H(D)，φ為D上非常值的解析自映射，則

i）:Bα→Bβ是有界算子的充分必要條件是：

ii）:Bα→Bβ是緊算子的充分必要條件是:Bα→Bβ有界，且

定理2[9]令0＜α，β＜∞，n∈?+，φ為D上非常值的解析自映射，則是緊算子的充分必要條件是：

本文從指標(biāo)α,β的角度繼續(xù)討論加權(quán)微分復(fù)合算子在Bloch型空間和小Bloch型空間上的有界性和緊性問題，結(jié)合上述兩結(jié)論，得到：

定理3 令0＜α，β＜∞，u∈H∞(D)，n∈?+，φ為D上非常值的解析自映射，則有：

i）若β≥α+n，則:Bα→Bβ是有界算子；

ii）若β＞α+n，則:Bα→Bβ是緊算子；

iii）若β＞α+n，則是緊算子．

定理4 令0＜α＜∞，0＜β＜1，n∈?+，u∈H(D)，φ為D上非常值的解析自映射，且則下面三條等價(jià)：

i）:Bα→Bβ是有界算子；

ii）:Bα→Bβ是緊算子；

iii）u∈Bβ，

本文出現(xiàn)的字母C表示與變量z,w無關(guān)的常數(shù)，為方便起見，不同情況下可表示不同的常數(shù)．

2 定理3的證明

在證明之前，先給出如下引理（文[14]引理2.2）．

引理1 設(shè)α＞1，β＞1，u,φ∈H(D)，且如果則

于是由引理1 可知：

由Schwarz-pick 不等式及（7）式，可得：

由（8）式和（9）式及定理1 i）可知結(jié)論成立．

ii）因?yàn)棣拢睛?n，則存在ε＞0，使得β≥α+n+ε，從而

胰腺原發(fā)性平滑肌瘤多為實(shí)性腫塊，鏡下見大小一致的梭形細(xì)胞呈縱橫交錯(cuò)的束狀排列，細(xì)胞無或少量有核分裂象，多無出血、壞死。免疫組化示SMA和Vimentin陽性[1]。CT表現(xiàn)為胰腺內(nèi)稍低密度影，邊界較清，動脈期呈輕度不均勻強(qiáng)化，以邊緣強(qiáng)化為主，門靜脈期及延遲期顯著均勻強(qiáng)化，強(qiáng)化程度與正常胰腺組織相仿或高于正常胰腺組織。張濤和李紹東[3]報(bào)道胰腺原發(fā)性平滑肌瘤MRI表現(xiàn)為胰腺結(jié)節(jié)性病灶，邊界清晰，呈稍長T1、長T2信號影，信號不均，增強(qiáng)后不均勻強(qiáng)化，DWI示病灶擴(kuò)散明顯受限，呈高信號。

則由引理1 可知：

應(yīng)用Schwarz-pick 不等式及條件u∈H∞(D)可得：

由（10）式和（11）式以及定理1 ii）可知結(jié)論成立．

iii）結(jié)合定理2 類似ii）可證．

3 定理4的證明

下面的引理是緊性判斷的常見工具，類似文[15]命題3.11 可證．

引理2 令u∈H(D)，φ為D上非常值的解析自映射，則算子:Bα→Bβ是緊算子，當(dāng)且僅當(dāng)對任意緊子集上一致收斂于0的有界序列{fm}∈Bα，有

定理4 的證明：ii）?i），顯然成立．

i）?iii）．因?yàn)?Bα→Bβ有界，則由定理1 i）可知：

于是有：

從而，u∈Bβ，

當(dāng)0＜β＜1＜n+α?xí)r，結(jié)合（12）式可得：

由（13）式及文獻(xiàn)[4]中推論2.4（或在定理1 i）中令n=0，u=1）可知，Cφ:Bβ→Bβ有界，且由（13）式易知:

結(jié)合文獻(xiàn)[4]中推論3.2（或在定理1 ii）中令n=0，u=1）可推得：Cφ:Bβ→Bβ是緊算子．根據(jù)文獻(xiàn)[15]定理4.5 可得||φ||∞＜1．

iii）?ii）．假設(shè){fm}m∈N為Bα中的有界序列，且在D的緊子集中一致收斂到0，由引理2，只需證明

由式（14）式和（15）式結(jié)合引理2 即得:Bα→Bβ為緊算子．