APOS理論視域下“用字母表示數(shù)”教學設計

王群

APOS理論是一種建構主義個體學習理論，有學者認為，學生學習數(shù)學概念要進行心理建構，此建構過程需經(jīng)歷操作或活動（Action）—過程（Process）—對象（Object）—圖式（Schema）等四個階段。以“用字母表示數(shù)”一課為例，經(jīng)歷操作或活動階段，從游戲情境出發(fā)，引導學生關注“用字母表示數(shù)”的現(xiàn)實模型，經(jīng)歷提問、操作、計算等活動，從而初步感知概念的本質屬性，建立概念表象;過程階段，運用分析、比較、綜合等方法，幫助學生逐步抽象出概念本質;對象階段，通過簡寫字母式，將概念逐步壓縮為一種心理程序，從而進行符號間的高階運算;圖式階段，引導學生思考概念間的內在聯(lián)系，建立必要的模型，將概念內化。

【教學內容】蘇教版五上“用字母表示數(shù)”例1～例3。

【教學目標】

1. 初步理解用字母可以表示數(shù)，會用含有字母的式子表示簡單的數(shù)量、數(shù)量關系和計算公式，初步學會計算含有字母式子的值，了解字母式子的乘法簡便寫法。

2. 完整地經(jīng)歷用含有字母的式子表示簡單的數(shù)量、數(shù)量關系和計算公式的抽象過程，進一步體會數(shù)學的抽象性與概括性，發(fā)展符號意識，培養(yǎng)初步的代數(shù)思維。

3. 體會數(shù)學表達的簡潔之美，培養(yǎng)主動思考、回顧、反思的學習習慣。

【教學重點】會用字母表示數(shù)和簡單的數(shù)量關系。

【教學難點】理解字母式表示運算結果和數(shù)量關系的雙重性。

【教學過程】

一、游戲導入，引入新課

師：同學們用撲克牌玩過24點游戲嗎？看誰最先算出24點。（課件出示撲克牌5、2、3、A）

師：奇怪，沒有看見1呀？（這里的字母A就表示1）

小結：在撲克牌中，人們用特定的字母表示數(shù)。算24點時，A就表示1，字母A在這里表示一個確定的數(shù)。（板書：表示確定的數(shù)）撲克牌里還有哪些字母也表示確定的數(shù)呢？

師：其實，不僅生活中有用字母表示數(shù)，研究數(shù)學更需要用字母表示數(shù)。（板書揭題：用字母表示數(shù)）你想到什么問題了嗎？帶著這些問題，我們一起走進今天的學習。

設計意圖：數(shù)學概念的形成最初要經(jīng)歷從直觀到抽象的活動過程。這正是操作或活動階段的要義。在該階段中，操作活動將使學生受到外部刺激。外部刺激主要分為情境和操作方式這兩個方面。情境包含生活情境、數(shù)學情境等;操作方式不僅包括外在的操作活動，還包括內在的思維活動，如回憶、猜想、判斷、計算等。

在本環(huán)節(jié)中，教師先組織學生計算24點，極大地激發(fā)了他們的學習興趣，將生活經(jīng)驗與數(shù)學知識建立鏈接。待教師揭示課題后，進一步引導學生提問，將他們的真實問題與教學目標進行銜接，使新知學習成為學生的內在需要，從而實現(xiàn)深度學習。

二、自主探究，初步感知

1. 拼擺三角形，為探索用字母表示“變化的數(shù)”作鋪墊。

師：讓我們的研究從用小棒擺三角形開始吧，擺一個三角形需要幾根小棒？

師：擺兩個三角形呢？你能用算式表示擺小棒的根數(shù)嗎？

師：擺三個三角形呢？小棒的根數(shù)會用算式表示嗎？擺四個呢？（課件逐步出現(xiàn)三角形，并依次板書：1個，3根;2個，2×3根;3個，3×3根;4個，4×3根）

設計意圖：在活動階段，個體對接收到的外部刺激進行逐步內化抽象。課件依次呈現(xiàn)三角形的個數(shù)，引導學生多次經(jīng)歷觀察、思考、計算等直觀操作活動。在活動中體會三角形形狀不變是源于小棒根數(shù)與三角形個數(shù)的穩(wěn)定關系。在多次活動中剝離直觀屬性，逐步形成小棒的根數(shù)與三角形個數(shù)關系的思維表象。杜賓斯基認為，數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，操作運算行為是數(shù)學認知的基礎性行為。學生要通過實際演算和頭腦中的心理操作來獲得知識，否則數(shù)學概念將成為無源之水，無本之木。

2. 師：在擺的過程中，你發(fā)現(xiàn)三角形的個數(shù)是變化的，小棒的根數(shù)也是變化的，那什么是不變的呢？（圍成一個三角形需要3根小棒）

師：如果老師有足夠多的小棒，你想擺幾個三角形，又需要幾根小棒呢？你想擺幾個？一直擺下去，能擺得完嗎？擺不完怎么辦呢？（板書：省略號）先想一想，再和你的同桌輕聲交流。

預設回答：用字母a表示三角形的個數(shù)，小棒的根數(shù)就是a×3。

師：a和a×3分別表示什么意思呢？當三角形的個數(shù)用a表示時，小棒的根數(shù)為什么可以用a×3來表示呢？

小結：和算24點中的字母A不同，這里的a可以表示所有的自然數(shù)，a表示的不再是一個確定的數(shù)，而是一個變化的數(shù)。（板書：變化的數(shù)）

3. 師：用n來表示三角形個數(shù)可以嗎？這時小棒的根數(shù)又可以怎樣表示？指出：同一個數(shù)還可以用不同的字母來表示。

設計意圖：當用小棒擺三角形的活動多次重復，被學生熟悉之后，操作活動就可以內化為心理操作，由此進入概念學習的過程階段。學生可以自如地在大腦中實施“擺小棒”的過程。通過讓學生自由說“想擺幾個三角形，需要幾根小棒”，學生會發(fā)現(xiàn)三角形越擺越多，而且怎么擺也擺不完，自然引發(fā)學生對規(guī)律的探索和發(fā)現(xiàn)。再通過獨立思考、小組交流等教學策略，學生體會用字母式既表示變化的數(shù)又表示數(shù)量關系的雙重性。

三、游戲引領，提升感知

1. 在游戲中感受用字母表示相差關系的量。

體驗字母式的形成過程，數(shù)學游戲——神奇魔盒。

師：接下來，老師想和大家一起來玩一個小魔術。這里有一個神奇的魔法盒子，它的神奇在于，左邊進入一個數(shù)，穿過盒子之后，它就會變成另外一個數(shù)。

課件演示：輸入5，輸出15;輸入12，輸出22;輸入100，輸出110。

師：是否有人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了什么？（輸入的數(shù)進入盒子出來之后就增加了10）

驗證猜想：輸入10.5，輸出20.5。

2. 嘗試概括，揭示本質。