“有為而教”與“無為而教”共濟

劉霞

一、想象交流，導入新課

師：有12個完全一樣的正方形，如果將它們拼成一個長方形，請大家想象一下，每排擺幾個正方形？可以擺幾排？

生：（靜默想象）

師：能把想象出來的擺法用乘法算式表示嗎？

生：（舉手回報）

師：（多媒體隨機呈現(xiàn)圖形和算式）

①12×1=12;②6×2=12;③4×3=12。

師：如果每排擺5個正方形，可以擺幾排？會怎么樣？

生：（七嘴八舌）

師：（多媒體呈現(xiàn)，每排擺5個，擺兩排，剩余2個）拼成的長方形，必須把12個同樣的正方形都用上，才可以表示為“12×1=12，6×2=12，4×3=12”。通過這三道算式，大家能發(fā)現(xiàn)什么嗎？

生：（先同桌討論，再全班交流）

師：（順勢而為，導入新課）

【評析】執(zhí)教者先要求學生：“有12個完全一樣的正方形，如果將它們拼成一個長方形，請大家想象一下，每排擺幾個正方形？可以擺幾排？”再引導學生用三道乘法算式表示所想象的擺法，然后啟發(fā)學生：“通過這三道算式，大家能發(fā)現(xiàn)什么嗎？”不但增強了學生的空間觀念，而且發(fā)揮了學生的想象能力，更提高了導入新課的實效。關于呈現(xiàn)“每排擺5個正方形，擺了兩排，還剩余2個正方形”的擺法，目的很明顯，就是引領學生通過直觀比較對整除與非整除略加區(qū)別，讓學生初步感悟到：倍數(shù)、因數(shù)是在整除范圍內(nèi)研究。

二、合作探究，進行新課

1. 認識倍數(shù)和因數(shù)

師：（投影出示）根據(jù)6×2=12存在的關系口答：①12是6的（? ）數(shù);②6是12的（? ）數(shù);③12是2的（? ）數(shù);④2是12的（? ）數(shù)。

生：①12是6的倍數(shù);②6是12的因數(shù);③12是2的倍數(shù);④2是12的因數(shù)。

師：能根據(jù)12×1=12和4×3=12，分別說出誰是誰的倍數(shù)，誰是誰的因數(shù)嗎？

生：（分別敘述）

師：（投影出示）

下列兩種說法對嗎？如果不對，為什么？

A. 12是倍數(shù);B. 12是5的倍數(shù)。

生：（各抒己見）

師：（小結）A的說法是錯的，需說清楚誰是誰的倍數(shù)。B的說法也是錯的，因為12個完全一樣的正方形，如果將它們拼成一個長方形，每排擺5個正方形，擺兩排，就會有2個剩余，所以12和5之間不存在倍數(shù)關系。大家對老師的這一番小結滿意嗎？

生：（點頭微笑，表示滿意）

師：（投影出示）分別說一說：在9×7=63和8÷2=4中，（? ）是（? ）的倍數(shù)，（? ）是（? ）的因數(shù)。

生：（逐一口述）

師：根據(jù)乘法和除法算式都可以找到兩個數(shù)之間的倍數(shù)關系或因數(shù)關系，這就是我們今天所要學習的“因數(shù)和倍數(shù)”（揭示課題）。不過，老師得提示一下，倍數(shù)和因數(shù)是在自然數(shù)（零除外）范圍內(nèi)進行研究的。

【評析】 數(shù)學教學中，不能讓學生淪為被動接受者，也不能讓學生淪為被灌輸者，應讓學生成為消化認知加工信息的主體，即意義建構者。教師不應是傳授知識和灌輸知識的“專業(yè)戶”，而應千方百計地扶持、幫助和促進學生進行意義建構。執(zhí)教者在引領學生認識倍數(shù)和因數(shù)的過程中，先用填空題讓學生初步感知倍數(shù)和因數(shù);再用簡答題讓學生通過“正遷移”進一步感知倍數(shù)和因數(shù);然后用判斷題讓學生辨析、比較、感悟倍數(shù)和因數(shù)，清除學生的“負遷移”;最后用加深理解題讓學生形成倍數(shù)和因數(shù)的數(shù)感，建立倍數(shù)和因數(shù)的概念。

2. 探究倍數(shù)和因數(shù)

（1）探究倍數(shù)。

師：根據(jù)4×3=12，可以知道12是3的倍數(shù)。還能找到哪些數(shù)是3的倍數(shù)呢？

生：（在隨練本上寫）

師：（有意識地挑選兩學生的隨練本）甲同學寫的這些數(shù)都是3的倍數(shù)嗎？（投影呈現(xiàn)）

生：（評價）

師：乙同學寫的這些數(shù)都是3的倍數(shù)嗎？（投影呈現(xiàn)）

生：（評價）

師：甲同學和乙同學都借助了3乘幾的乘法算式找3的倍數(shù)，然而，誰的寫法比較好呢？好在哪里呢？

生：乙同學的寫法比較好，他寫得有序。

生：像乙同學這樣按順序?qū)?，既不重復又不遺漏。

師：（提示）一個數(shù)的倍數(shù)，一般寫五到六個就可以了，還有很多省略不寫。下面請大家自己確定一個數(shù)，并寫出所確定數(shù)的倍數(shù)。

生：（先獨立完成，再全班交流）

師：找一個數(shù)的倍數(shù)，有什么規(guī)律？一個數(shù)的倍數(shù)有什么特點？請大家先討論，再交流。

……

（2）探究因數(shù)。

師：能找到36的因數(shù)嗎？

生：（在隨練本上寫）

師：（有意識地挑選兩學生的隨練本）甲同學寫的這些數(shù)都是36的因數(shù)嗎？（投影呈現(xiàn)）

生：（評價）

師：乙同學寫的這些數(shù)都是36的因數(shù)嗎？（投影呈現(xiàn)）

生：（評價）

師：甲同學找36的因數(shù)，用了兩種方法，一種方法是36除以幾等于幾，另一種方法是幾乘幾等于36。而乙同學用的是幾乘幾等于36的方法，有序且成對地找。誰的找法比較好呢？好在哪里？

生：乙同學的找法比較好，他是成對找的，顯得有序。

生：像乙同學這樣有序且成對地找，既不容易重復也不容易漏掉。

師：是的，有序與成對相結合，從1開始考慮，找到1和36;再考慮2，找到2和18……下面請大家先寫出15的因數(shù)，再寫出16的因數(shù)。

生：（先自主寫，再全班交流）

師：一個數(shù)的因數(shù)有什么特點？請大家先討論，再交流。

……

【評析】 基于由點到面、由特殊到一般的教學原則，執(zhí)教者在引領學生探究倍數(shù)時，先讓學生探究3的倍數(shù)，再讓學生自定一個任意數(shù)，寫出自定數(shù)的倍數(shù);在引領學生探究因數(shù)時，先讓學生在隨練本上嘗試寫出36的因數(shù)，再在全班交流、評價和比較，然后拾級而上，要求學生寫出15的因數(shù)和16的因數(shù)?；谝騽堇麑?、循循善誘的教學原則，執(zhí)教者在學生找3的倍數(shù)和36的因數(shù)出現(xiàn)了不同寫法時，發(fā)動學生“品頭論足”，好中選優(yōu)?；诮處煘橹鲗?、學生為主體的教學原則，執(zhí)教者針對“一個數(shù)的倍數(shù)、因數(shù)有什么特點”，大膽放手讓學生討論和交流，凸顯學生是學習的主動建構者。

三、思維發(fā)散，鞏固練習

師：（多媒體呈現(xiàn)）下列說法，對嗎？

（1）在19÷6=3……1中，19是6的倍數(shù)。

（2）因為16×5=80，所以16和5是因數(shù)，80是倍數(shù)。

（3）25的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身。

（4）一個數(shù)的最大因數(shù)是14，這個數(shù)就是14。

生：（逐題明辨是非）

師：（多媒體呈現(xiàn)）從0、1、4、8、24中自選兩個數(shù)，確認誰是誰的因數(shù)、誰是誰的倍數(shù)。

生：（自選并確認）

師：大家發(fā)現(xiàn)了嗎？五個數(shù)中有較為特殊的數(shù)，特殊在哪兒呢？

生：（發(fā)表見解）

師：（多媒體呈現(xiàn)結語）任意一個自然數(shù)（0除外）都是1的倍數(shù)，1是任意一個自然數(shù)（0除外）的因數(shù)，倍數(shù)和因數(shù)一般是在自然數(shù)（0除外）范圍內(nèi)研究。

生：（齊讀結語）

師：下面我們一起做游戲，我每說出的一個數(shù)，如果是你學號的因數(shù)或倍數(shù)，你就拍拍胸脯。

……

【評析】 明辨是非、自選確認和師生游戲，既能讓學生加深對倍數(shù)和因數(shù)的認識，又能讓學生的思維得到發(fā)散，更能讓學生鞏固課上所學的新知。明辨是非，學生會知其然又知所以然。自選確認，學生會領悟到任意一個自然數(shù)（0除外）都是1的倍數(shù)，1是任意一個自然數(shù)（0除外）的因數(shù)，研究倍數(shù)和因數(shù)通常是在自然數(shù)（0除外）的范圍內(nèi)。師生“共舞”一起做游戲，會把學生的學習熱情進一步激發(fā)出來，并把教學活動推向高潮。

四、總評

（1）執(zhí)教者的“有為而教”?！坝袨槎獭?，即教師在教學過程中有所作為，引領學生發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題。執(zhí)教者在學生建構倍數(shù)和因數(shù)意義的過程中，選擇合理的教學方法和手段，促進學生知識建構，彰顯執(zhí)教者的“有為”。具體表現(xiàn)：①選取“有意義建構”的策略，助推學生建立倍數(shù)和因數(shù)的概念。②運用辨析比較的方法，引導學生理解一個數(shù)的倍數(shù)和因數(shù)，如“下列兩種說法，對嗎？”“誰的寫法比較好呢？”“誰的找法比較好呢？”“五個數(shù)中有較為特殊的數(shù)，特殊在哪兒呢？”將學生的思維引向深入，讓學生達到真正意義的自主建構。

（2）執(zhí)教者的“無為而教”?！盁o為而教”，即教師在教學過程中對學生能想、能說、能找的，不越俎代庖。學生在探究一個數(shù)的倍數(shù)和因數(shù)時，執(zhí)教者給學生充足的時間和空間，讓學生走到前臺，盡情地想、積極地找、主動地說，彰顯執(zhí)教者的“無為”。具體表現(xiàn)：①對于一個數(shù)的倍數(shù)，是無序?qū)懩?？還是有序?qū)懩兀繉τ谝粋€數(shù)的因數(shù)，是無序?qū)懩?？還是有序且成對寫呢？均由學生在互動交流中優(yōu)選。②“一個數(shù)的因數(shù)的特點”“一個數(shù)的倍數(shù)的特點”“找一個數(shù)的倍數(shù)，有什么規(guī)律？”都讓學生討論、交流、平等對話，從而無痕地生成出一個數(shù)的因數(shù)、倍數(shù)的特點和找一個數(shù)的倍數(shù)的規(guī)律，進而發(fā)展學生的思維。