淺析證明不等式的幾種方法

狄新炎

不等式具有應(yīng)用廣泛，變換靈活等特點，而不等式證明更是以“入手寬，方法活”見長.為此，筆者從題設(shè)與結(jié)論關(guān)系出發(fā)總結(jié)9種常見的證明不等式的方法.

一、比較法

1.理論依據(jù)：不等式的基本性質(zhì).

2.步驟：作差、變形、判斷符號.

3.適用于分式、高次不等式的證明.

4.有時也可用商值比較法.

例1 已知a、b、c是△ABC的三邊，求證：

4（ab+bc+ca）>（a+b+c）2.

證明 因為4（ab+bc+ca）-（a+b+c）2=2ab+2bc+2ca-a2-b2-c2=a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（a+b-c）>0.所以4（ab+bc+ca）>（a+b+c）2.

二、綜合法

1.思維特點：執(zhí)因索果.

2.邏輯關(guān)系：AB1B2…BnB，每步尋找上一步的必要條件.

3.常用不等式：|a|≥0；a2≥0；a2+b2≥2ab（a、b∈ R ）；

a+b 2 ≥ ab （a、b∈ R +）；

b a + a b ≥2（a、b∈ R +）； b2 a +a≥2b（a∈ R +）等.

4.思路：由已知條件靈活使用有關(guān)不等式的定理以及不等式的基本性質(zhì)，找出已知條件與待證不等式間的內(nèi)在聯(lián)系.（注意使用的不等式成立的條件）.

例2 a、b、c>0，求證：abc≥（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）

分析 不等號左邊是單字母乘積，右邊是字母和差式乘積，因此尋求字母與和差式的關(guān)系：a=

（a+b-c）+（a+c-b） 2 ，同樣b和c也有這樣的關(guān)系.

證明 不妨設(shè)a≥b≥c>0，則a+b-c≥0，c+a-b≥0.

若b+c-a≤0，則原不等式顯然成立.

若b+c-a>0，則由

a= （a+b-c）+（a+c-b） 2 ≥ （a+b-c）（a+c-b） ≥0 ①

b= （a+b-c）+（b+c-a） 2 ≥ （a+b-c）（b+c-a） ≥0 ②

c= （c+a-b）+（b+c-a） 2 ≥ （c+a-b）（b+c-a） ≥0 ③

①、②、③相乘

abc≥（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）.

三、分析法

1.分析法適用的題型：

（1）證明不知從何入手；（2）恒等式的證明；（3）條件簡單、結(jié)論復(fù)雜.

2.分析法的思維特點：執(zhí)果索因.

3.分析法的模式（書寫格式）：

（1）為了證明…，（2）只需證明…，（3）即證明…，（4）…顯然成立，⑤所以原式成立.

4.分析法的另一種表達方式：

首先假定所要證明的不等式成立→逐步推出一個已知成立的不等式（每步可逆）→最后得出結(jié)果.（注意得結(jié)果前應(yīng)說明以上每步都可逆）.

例3 已知a>b>0，求證： （a-b）2 8a < a+b 2 - ab < （a-b）2 8b

證明 因為a>b>0，所以為證明 （a-b）2 8a < a+b 2 - ab < （a-b）2 8b ，只需證明 （a-b）2 4a <（ a - b ）2< （a-b）2 4b ，

整理得

（

a-b 2 a ）2<（ a - b ）2<（ a-b 2 b ）2

即證 a-b 2 a < a - b < a-b 2 b

即證 a + b 2 a <1< a + b 2 b

即證1+ b a <2<1+ a b

即 b a <1< a b 即證明 b a <1< a b .

∵a>b>0，∴ b a <1< a b 顯然成立，所以原不等式成立.

四、放縮法

證A≥B可通過適當(dāng)放大使得B≤B1≤B2≤…≤Bn≤A或縮小使得A≥A1≥A2≥…≥An≥B，借助多個中間量，利用不等式的傳遞性達到目的（從一端證到另一端）.注意：放縮應(yīng)適當(dāng).

例4 求證：1+

1 2 + 1 3 +…+ 1 n > n （n∈ N *，n>1）.

證明 1+

1 2 + 1 3 +…+ 1 n > 1 n + 1 n +…+ 1 n = 1 n ·n= n .

五、利用函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、有界性）證明不等式

根據(jù)題目的特點恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造一個函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性將不等式的證明轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域或最值的問題.

例5 求證：- 2 ≤ 1-x - 1+x ≤ 2 .

證明 設(shè)f（x）= 1-x - 1+x ，其中-1≤x≤1，顯然f（x）在[-1，1]為減函數(shù).

∴f（1）≤f（x）≤f（-1），即- 2 ≤ 1-x - 1+x ≤ 2 .

六、構(gòu)造二次函數(shù)

利用二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系（判別式法）.

原理：ax2+bx+c>0（a≠0）

解集是 R Δ<0，a>0.

適合題型： ①可化成某一字母的二次式②字母的范圍是 R

例6 三角形ABC中，A、B、C是三角形的三個內(nèi)角，x、y、z∈ R .

求證：x2+y2+z2≥2xycosC+2xzcosB+2yzcosA

證明 設(shè)f（x）=（x2+y2+z2）-（2xycosC+2xzcosB+2yzcosA）

整理得f（x）=x2-（2ycosC+2zcosB）x+（y2+z2-2yzcosA）

此時可以把f（x）看作是關(guān)于x的二次函數(shù).

1 4 Δ=（ycosC+zcosB）2-（y2+z2-2yzcosA）

=-y2sin2C-z2sin2B+2yzcosBcosC+2yzcosA

=-y2sin2C-z2sin2B+2yzcosBcosC-2yzcos（B+C）

=-（ysinC-zsinB）2≤0

所以f（x）恒大于或等于0.

即x2+y2+z2≥2xycosC+2xzcosB+2yzcosA.

七、換元法

1.三角換元

（1）“1”的代換：sin2α+cos2α=1，sec2α-tan2α=1，csc2α-cot2α=1.

（2）變量有界弦函數(shù)換元，變量無界切函數(shù)換元.

2.代數(shù)換元

3.均值換元

注意：換元后新變量的變化范圍必須確保原變量的變化范圍不發(fā)生變化.

例7 已知a、b、c∈ R ，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥ 1 3 .

證明 （采用均值換元法）

設(shè)a= 1 3 +m，b= 1 3 +n，c= 1 3 +k，且m+n+k=0.

則a2+b2+c2=（ 1 3 +m）2+（ 1 3 +n）2+（ 1 3 +k）2

= 1 3 + 2 3 （m+n+k）+（m2+n2+k2）≥ 1 3 .

八、反證法

1.適合題型：含至多、至少等字樣或正面證明無從入手.

2.注意：對結(jié)論的否定應(yīng)全面不能遺漏.

例8 已知f（x）=x2+ax+b，求證：|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|中至少有一個不小于 1 2 .

證明 假設(shè)|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|都小于 1 2 .

則|f（1）|+2|f（2）|+|f（3）|<2，而|f（1）|+2|f（2）|+|f（3）|≥

|f（1）-2f（2）+f（3）|=|1+a+b+9+3a+b-8-4a-2b|=2

與假設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立.

故|f（1）|、|f（2）|、|f（3）|中至少有一個不小于 1 2 .

九、構(gòu)造圖形證明不等式

尋求不等式的幾何意義，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膸缀螆D形證明不等式. 圖1

例9 x、y、z∈（0，1），求證： x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

證明 構(gòu)造等邊三角形，三邊長分別為1，如圖1所示.設(shè)M、N、P分別為邊AB、AC、BC上的點，且滿足AM=x，NC=y，BP=z.且0

∴x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.