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    數(shù)學(xué)解題中謹(jǐn)防題目的“誤導(dǎo)”

    2015-12-21 17:00:55管立芬
    中學(xué)生理科應(yīng)試 2015年11期
    關(guān)鍵詞:誤導(dǎo)題意圖象

    管立芬

    數(shù)學(xué)題目對解題思路的“誤導(dǎo)”一般有四種情況:

    一、題型的“誤導(dǎo)”

    例1 在長方體ABCD-A1B1C1D1中,BA1與對角面BB1D1D所成的角為( ).

    A.30° B.45° C.60° D.90°

    分析 這道題經(jīng)常出現(xiàn)在各種資料中,而且某市還將它作為一道高中畢業(yè)會考題.給出的標(biāo)準(zhǔn)答案是A,許多考生也選A,實(shí)際上這是一道錯(cuò)題,角不確定,沒有答案.為什么命題人和不少考生沒有發(fā)現(xiàn)問題都選A呢?這就是“選擇題”這一題型的“誤導(dǎo)”.平時(shí)學(xué)習(xí)中得到經(jīng)驗(yàn):選擇題可以通過取特例找到正確選項(xiàng).由于正方體是長方體的特例,故此題把長方體看成正方體也應(yīng)成立,從而選得A.

    由此也說明,選擇題是可以用特例排除選擇支,但一定要注意,特例不成立時(shí)一定是錯(cuò)誤的,成立時(shí)卻不一定正確.

    二、圖形的“誤導(dǎo)”

    例2 如圖1,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=AA1=a,則點(diǎn)A到平面A1BC的距離是 .

    分析 由于求點(diǎn)到平面的距離一般有兩種方法,一是直接做出點(diǎn)到面的垂線,再構(gòu)造三角形求垂線段的長;二是利用棱錐體積變化來求解.此題圖是直三棱柱,許多學(xué)生想到用方法二:設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC的距離是h,即三棱錐A-A1BC的高為h,由VA-A1BC=VA1-ABC,即 1 3 S△A1BC·h= 1 3 S△ABC·AA1,求h.

    設(shè)BC=b,則S△A1BC= 1 2 BC·A1C= 2 2 ab,

    S△ABC= 1 2 ab,∴h= 2 2 a.

    做完后發(fā)現(xiàn)結(jié)果與BC長無關(guān),且有一定的計(jì)算量,可能這不是最佳方法.確實(shí),從以上解法也看出,過A做AH⊥A1C于H,∵A1A⊥BC,AC⊥BC,∴BC⊥面A1C,∴面A1BC⊥面A1C,∴AH⊥面A1BC,故AH即A到面A1BC的距離.

    在Rt△A1AC中,AH= AC·A1A A1C = a2 2 a = 2 2 a.

    出現(xiàn)以上“小題大作”的原因,一是解題心理作怪,總認(rèn)為間接法,有技巧性的思維方法總是先進(jìn)些,快捷些;二是圖的“誤導(dǎo)”,“誤導(dǎo)”我們的思路進(jìn)入第二種方法的樊籬.

    圖1 圖2

    例3 某汽車運(yùn)輸公司,購買一批毫華大客車投入客運(yùn).據(jù)市場分析,每輛客車營運(yùn)的總利潤y(十萬元)與營運(yùn)年數(shù)x(x∈ N )的二次函數(shù)關(guān)系如圖2所示,據(jù)此分析可判斷,欲使每輛客車其營運(yùn)的年平均利潤最大,則每輛客車應(yīng)營運(yùn)的年數(shù)是( ).

    A.4 B.5 C.6 D.7

    分析 不少學(xué)生受圖2的“誤導(dǎo)”,圖2是一個(gè)拋物線,有最大值,而題目問的也是最大值,故選C.

    事實(shí)上C是錯(cuò)誤的.圖2中的最大值和題目中問的最大值是兩個(gè)截然不同的值.從圖2可得函數(shù)關(guān)系式,設(shè)y=a(x-6)2+11(a<0).將x=4代入得7=a(4-6)2+11,求得a=-1.

    故y=-x2+12x-25,從而年平均利潤

    W= y x =-x- 25 x +12≤-10+12=2.

    即年平均利潤的最大值為20萬元.

    此時(shí)x= 25 x ,x=5,故選B.

    對有圖形的問題,一定要讀懂題意和圖意,充分利用圖形所給的信息來解題,不要被圖形所“誤導(dǎo)”.同時(shí)也告訴我們在解有關(guān)圖形問題時(shí),沒有給出圖形的話,一定要先正確畫好圖形,畫出一個(gè)直觀的圖形等于解決了問題的一半,若圖形畫得不正確,或不直觀,則不僅難以讀懂題意,而且還容易被錯(cuò)圖誤導(dǎo)思路.

    三、設(shè)問的“誤導(dǎo)”

    例4

    圖3

    如圖3,已知BB1、CC1是Rt△ABC所在平面同側(cè)的兩條相等且平行的斜線段,它們與平面ABC所成的角均為60°,線段BB1的端點(diǎn)B1在平面ABC上的射影M恰為BC的中點(diǎn).已知BC=2 cm,∠ACB=90°.求異面直線AB1與BC1所成的角.

    分析 許多學(xué)生一看到求異面直線間的夾角,就想到平移法.將BC1平移,使B落在B1?落在A?或平移AB1,使得A落在B?落在C1?都難以得到一個(gè)很直觀易懂的圖形,更難以構(gòu)造出一個(gè)可解的三角形.于是望而卻步,難以求解.

    事實(shí)上由B1M⊥面ABC,得∠B1BC=60°,∴BC=BB1,故四邊形BB1C1C為菱形,

    BC1⊥B1C,又AC⊥BC,B1M⊥AC,所以AC⊥面BB1C1C,從而AC⊥BC1,BC1⊥面AB1C,BC1⊥AB1.故異面直線AB1與BC1所成的角為90°.

    顯然這是一個(gè)借助線面垂直證明線線垂直,以求得兩異面直線之間的夾角的問題. 為什么會出現(xiàn)前面的思維壁壘呢?一是由于頭腦中思維定勢的影響,求異面直線的夾角就只想到平移→構(gòu)造三角形→解三角形這一常規(guī)方法;二是設(shè)問的“誤導(dǎo)”, 若此問改為“求證BC1⊥AB1”或“證明異面直線AB1與BC1所成的角為90°”就可能不會出現(xiàn)思維壁壘了.

    例5 已知函數(shù)f(x)=log2(1+x)+alog2(1-x)(a∈ R ).

    函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的充要條件是什么?證明你的結(jié)論.

    分析 首先想到該題是求中心對稱的問題.設(shè)(x0,y0)是f(x)圖象上任一點(diǎn),即y0=log2(1+x0)+alog2(1-x0),若圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,即點(diǎn)(-x0,-y0)也在圖象上,也就是-y0=log2(1-x0)+alog2(1+x0),∴l(xiāng)og2(1+x0)+alog2(1-x0)=-log2(1-x0)-alog2(1+x0),∴(a+1)[log2(1+x0)+log2(1-x0)]=0.

    由x0的任意性(x0∈(-1,1))得a+1=0,∴a=-1.

    再證明f(x)=log2(1+x)-log2(1-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

    事實(shí)上,f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的充要條件是f(x)為奇函數(shù),即f(-x)=-f(x).

    故只要令f(-x)=-f(x),求得a=-1.

    出現(xiàn)以上“繁解”的原因是由于概念不清,不會等價(jià)轉(zhuǎn)化.從而被設(shè)問“誤導(dǎo)”所致.

    四、條件的“誤導(dǎo)”

    例6 若實(shí)數(shù)m,n,x,y滿足x2+y2=a,m2+n2=b(a≠b),則mx+ny的最大值為( ).

    A. ab B. a+b 2 C. a2+b2 2 D. ab a+b

    分析 由x2,y2,m2,n2,mx,ny,就想到均值不等式:x2+m2≥2mx,y2+n2≥2ny,相加得a+b≥2(mx+ny).∴mx+ny≤ a+b 2 .故選B.

    事實(shí)上以上解法是錯(cuò)誤的,這個(gè)最大值 a+b 2 取不到,因?yàn)槿粢〉奖仨毲皟蓚€(gè)不等式都取等號,即m=x,n=y,這樣就有a=b.與已知矛盾,出現(xiàn)這一錯(cuò)誤解法是由于已知條件與學(xué)過的知識相類似,從而“誤導(dǎo)”出現(xiàn)的.

    此題可用三角代換來解,有興趣的可以試一試.

    例7 首項(xiàng)是 1 25 ,從第10項(xiàng)開始,每一項(xiàng)都比1大,則該等差數(shù)列的公差的取值范圍是 .

    分析 由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an= 1 25 +(n-1)d,得a10= 1 25 +9d>1.

    解得d> 8 75 .許多學(xué)生做到這里就完成了,填上d> 8 75 萬事大吉.

    其實(shí)這個(gè)結(jié)論只對了一半,題目說“從第10項(xiàng)開始,每一項(xiàng)都比1大”,言下之意還指出前9項(xiàng)都不超過1,即 1 25 +(n-1)d≤1(n≤9,n∈ N +),也就是d≤ 24 25(n-1) ,令n=9得d≤ 3 25 ,所以正確結(jié)果應(yīng)是: 8 75

    例8 平面內(nèi)一動點(diǎn)到定直線的距離與它到定點(diǎn)的距離之比等于log32,那么動點(diǎn)的軌跡是( ).

    A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓

    分析 由于到定直線的距離與它到定點(diǎn)的距離之比就想到圓錐曲線的第二定義,由0

    選A是錯(cuò)誤的,應(yīng)選B.利用圓錐曲線的第二定義,一定要注意比的順序,即到定點(diǎn)與到定直線的距離之比為常數(shù)e,題中的log32= 1 e ,由01,應(yīng)是雙曲線.

    所以,審題一定要仔細(xì),不要被個(gè)別詞語、式子的特點(diǎn)、數(shù)字的特征等表面現(xiàn)象“誤導(dǎo)”,要深挖已知條件和隱含條件.

    從以上的分析看出,題目給予我們解題思路的“誤導(dǎo)”,過不在題意,有時(shí)可能還是命題者設(shè)的一個(gè)“陷阱”,其過在于我們自己,在于固有的知識,經(jīng)驗(yàn)和思維定勢的影響,以致沒能充分理解題意.所以在平時(shí)訓(xùn)練時(shí),一定要加強(qiáng)思維靈活性的訓(xùn)練,充分理解題意,發(fā)掘出題中的隱含條件,避免“誤解”題意,陷入命題者所設(shè)埋伏圈中.

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