Heisenberg李代數(shù)自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)

張 彥，任 斌

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

在李代數(shù)中，自同構(gòu)是其結(jié)構(gòu)理論研究的重要部分，它反映了該代數(shù)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性。研究者們對(duì)此做了大量的研究工作[1-16]。Heisenberg 李代數(shù)在李代數(shù)中占有非常重要的地位，2007 年張海山等對(duì)Heisenberg 李代數(shù)的自同構(gòu)進(jìn)行了研究，在文獻(xiàn)[9]中作者針對(duì)Heisenberg 李代數(shù)的兩種定義形式，分別討論了在定義1形式下的自同構(gòu)的充要條件，在定義2 形式下自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)。但對(duì)定義1 形式的自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)作者沒有做進(jìn)一步探討。在文獻(xiàn)[14]中作者對(duì)定義2 形式的Heisenberg 李代數(shù)（及Heisenberg 李超代數(shù)）的自同構(gòu)群進(jìn)行了探討，得到了自同構(gòu)群的若干子群。筆者對(duì)定義1 形式的Heisenberg 李代數(shù)的自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)做了進(jìn)一步的研究，利用充要條件的結(jié)論，刻畫了5 維Heisenberg 李代數(shù)自同構(gòu)群的分解結(jié)構(gòu)。由于7 維及以上的Heisenberg 李代數(shù)自同構(gòu)群的分解結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，還有待于研究者做進(jìn)一步探討。

文中所討論的都是復(fù)數(shù)域上的Heisenberg 李代數(shù)。

1 基本概念和性質(zhì)

定義1[16]設(shè)N 是域F 上的李代數(shù)。若φ 為李代數(shù)N 到自身的可逆線性變換，又滿足

則稱φ 為N 的自同構(gòu)。N 的所有自同構(gòu)構(gòu)成一個(gè)群，稱為N 的自同構(gòu)群，記作Aut（N）。

定義 2[9]設(shè) N 是以 e1，e2，…，en，en+1，en+2，…，e2n；c 為基底的復(fù)向量空間，在 N 中定義李運(yùn)算[ei，en+k]=δikc，其他基底元素的李運(yùn)算為0，線性擴(kuò)充后，則N 關(guān)于所定義運(yùn)算作成一個(gè)李代數(shù)，稱為Heisenberg 李代數(shù)。

引理1[6]若N 是一個(gè)冪零李代數(shù)，則下面兩個(gè)命題等價(jià)：

（1）{x1，x2，…，xn}是 N 的一個(gè)極小生成元系；

（2）{x1+N2，x2+N2，…，xn+N2}是向量空間 N/N2的一個(gè)基，這里 N2=[N，N]。

引理2[8]設(shè)x1，x2，…，xn為二步冪零李代數(shù)N 的一組基，φ 是N 上的一個(gè)可逆線性變換，則φ 是自同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng) φ[xj，xk]=[φ（xj），φ（xk）]，1≤j，k≤n。

2 自同構(gòu)的充要條件

設(shè) N 是一個(gè) Heisenberg 李代數(shù)，e1，e2，…，e2n；c 是 N 的一組基，且 c 是 N2的基。由[ei，ej]=Eijc，1≤i，j≤2n，有

這里 I2n表示 2n 級(jí)單位矩陣。記 E=（Eij）2n×2n，顯然

設(shè) φ 是 N 上的一個(gè)線性變換，則有 φ（e1，e2，…，e2n；c）=（e1，e2，…，e2n；c）W（2n+1）×（2n+1）。

定理1N 的一個(gè)線性變換φ 是自同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)矩陣W 滿足以下條件：

證明（必要性）由于 c=[e1，en+1]，所以 φ（c）∈N2。從而于是有|A2n×2n|×k≠0。

因?yàn)棣?是N 的一個(gè)自同構(gòu)，所以有

又因?yàn)閇ei，ej]=Eijc，因而

于是有ATEA=kE。

（充分性）顯然 φ 可逆。由必要性的證明過程易證（1）式成立，即 φ[ei，ej]=[φ（ei），φ（ej）]，?ei，ej∈N。又顯然有 φ[ei，c]=[φ（ei），φ（c）]，?ei∈N，c∈N2。故由引理 2 知 φ 是 N 的一個(gè)自同構(gòu)。

3 自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)

下面利用上述充要條件來(lái)研究5 維Heisenberg 李代數(shù)自同構(gòu)群的分解結(jié)構(gòu)。

設(shè)φ 是5 維Heisenberg 李代數(shù)N 上的一個(gè)自同構(gòu)，有

這里 Ai表示 2 級(jí)矩陣，Bi表示 1 行 2 列矩陣。

定理 2Aut（N）＝GAGI，|GA∩GI|=1，其中且 GI，GA是 Aut(N)的子群。

證明由定理 1 易知 GA是 Aut（N）的子群。顯然 GI?Aut（N），?α1，α2∈GI，有

所以 α1α2∈GI。易知 α1α2＝α2α1。

為了討論GA的結(jié)構(gòu)，需要下面的引理。

首先，由于ATEA=kE，即有下列等式

引理3設(shè)則 G3，G4是 Aut（N）的交換子群。

證明由于

根據(jù)定理 1 知 G3?Aut（N）。?β1，β2∈G3，有

所以 β1β2∈G3，易知 β1β2=β2β1。

引理4設(shè)

則 G2，G5是 Aut（N）的子群。

證明顯然 G2是 Aut（N）的交換子群。由于

根據(jù)定理 1 知 G5?Aut（N）。?η1，η2∈G5，有

所以 η1η2∈G5。

定理 3GA=G5G4G2G3G4G5G2。

證明

情形 1|A1|≠0

注意到

于是可知，對(duì)任意滿足情形 1 條件的 φ∈GA，存在 φ3∈G3，φ4∈G4，φ5∈G5，使得 φ4φ3φ=φ5，從而 φ∈G3G4G5。

情形 2若 |A1|=0，A2，A3，A4中有一個(gè)是可逆的。

此時(shí)可通過初等變換歸結(jié)到情形 1。當(dāng)|A3|≠0 （|A2|≠0 類似可證），由于

對(duì)任意滿足情形 2 條件的 φ∈GA，且|A3|≠0，存在 φ2∈G2，使得 φ2φ∈G3G4G5，從而 φ∈G2G3G4G5。

當(dāng)|A4|≠0，由于

對(duì)任意滿足情形 2 條件的 φ∈GA，且|A4|≠0，存在 φ2∈G2，使得 φ2φφ2∈G3G4G5，從而 φ∈G2G3G4G5G2。

情形 3A1，A2，A3，A4均不可逆。

易知 Ai≠0，i=1，2，3，4。由 A1的秩為 1 知存在可逆矩陣 P1和 T1，使從而有

由于 B3的秩為 1，可設(shè)從而有

綜上可得GA=G5G4G2G3G4G5G2。