基于極點配置的PMSM位置伺服系統(tǒng)高階對象的控制器設(shè)計

費清琪，朱其新，劉紅俐，朱永紅

（1.蘇州科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，江蘇 蘇州215009；2.蘇州科技大學(xué) 機械工程學(xué)院，江蘇 蘇州215009；3.景德鎮(zhèn)陶瓷大學(xué) 機電工程學(xué)院，江西 景德鎮(zhèn) 333001）

與傳統(tǒng)的電勵磁同步電機相比，永磁同步電機（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）具有結(jié)構(gòu)簡單、運行可靠、體積小、質(zhì)量輕、損耗小、效率高，以及電機的形狀和尺寸可以靈活多樣等顯著優(yōu)點[1]。近年來，隨著永磁材料技術(shù)的不斷發(fā)展，永磁電機控制技術(shù)的不斷成熟，PMSM 在數(shù)控機床、航空航天、機器人等高性能伺服領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。

國內(nèi)外學(xué)者對PMSM 進行了廣泛的研究，文獻[2]通過分析PMSM 的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計了三閉環(huán)控制系統(tǒng)，并采用PID 控制器實現(xiàn)了系統(tǒng)的參數(shù)整定；文獻[3]在PMSM 伺服系統(tǒng)三環(huán)控制的基礎(chǔ)上，建立了電流閉環(huán)的控制模型，設(shè)計了電流環(huán)調(diào)節(jié)器并進行了控制參數(shù)的整定，提高了系統(tǒng)的控制性能；文獻[4]針對PMSM 電流環(huán)的頻域數(shù)學(xué)模型，設(shè)計了一種二自由度控制器，基于期望的系統(tǒng)阻尼比與上升時間，通過極點配置來得出控制器參數(shù)，仿真證明了其在兼顧電流環(huán)的跟蹤性能及抗干擾性能的方面優(yōu)于傳統(tǒng)的PI 控制；文獻[5]針對柔性負(fù)載系統(tǒng)，提出了三種基于極點配置的PI 調(diào)節(jié)器參數(shù)確定方法并分析了其各自的優(yōu)劣勢。

近幾年隨著智能控制領(lǐng)域方法的不斷成熟，學(xué)者們通常會將模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法等現(xiàn)代控制策略與傳統(tǒng)控制方法相結(jié)合進行研究。文獻[6]基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制具有非線性、不確定性的特點，結(jié)合傳統(tǒng)PID 控制、自適應(yīng)控制等方法對永磁同步電機速度、位置控制問題及無傳感器問題進行了研究；文獻[7]為了滿足伺服驅(qū)動控制器抗擾動能力及良好的速度控制能力，運用模糊控制規(guī)則結(jié)合極點配置算法來調(diào)整PI 調(diào)節(jié)器參數(shù)，設(shè)計出一種可以參數(shù)自調(diào)整的PMSM 伺服控制器并進行了仿真實驗；文獻[8]將狀態(tài)反饋控制和模型辨識中的極點配置方法進行了改進，使之在被應(yīng)用于非線性系統(tǒng)時也能具有較好的抗擾動能力。但是，上述文獻并沒有涉及到伺服系統(tǒng)高階對象的控制器，一般情況下，可以通過永磁同步電機機械運動方程建立傳統(tǒng)二階模型，但傳統(tǒng)的二階模型無法很好地反映實際系統(tǒng)的相關(guān)物理特征，無法體現(xiàn)電流環(huán)參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響。因此，通過數(shù)學(xué)分析的方法來建立精度更高的伺服系統(tǒng)的高階模型是優(yōu)化伺服系統(tǒng)控制的一個重點。文獻[9]基于DSA 的PMSM 伺服系統(tǒng)速度環(huán)建模實驗平臺來建立了PMSM 速度環(huán)三階、四階和六階的高階數(shù)學(xué)模型；文獻[10]根據(jù)被控量與PMSM 數(shù)學(xué)模型間的聯(lián)系，基于拉氏變換構(gòu)造了一種全系統(tǒng)的簡化模型來對雙閉環(huán)控制器的PI 參數(shù)進行整定；而文獻[11-13]則針對高階非線性伺服系統(tǒng)位置控制器的PID 參數(shù)優(yōu)化問題進行了相關(guān)研究。而在對高階對象的控制器參數(shù)進行極點配置設(shè)計時，極點參數(shù)的變化對控制器性能的影響，也是一個需要深入研究的課題。

筆者針對PMSM 伺服系統(tǒng)，首先基于PMSM 的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，建立了PMSM 位置伺服系統(tǒng)的高階傳遞函數(shù)模型；采用PID 控制策略，設(shè)計了基于極點配置的PMSM 位置伺服系統(tǒng)高階對象控制器；針對高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)特征根具有不同解的情況，給出了PID 控制器的參數(shù)確定方法；仿真驗證了極點配置方法的可行性，對極點參數(shù)變化時高階系統(tǒng)不同的階躍響應(yīng)進行了對比分析，并給出了相關(guān)的參數(shù)選取范圍。

1 永磁同步電機的數(shù)學(xué)模型

在解決實際問題的過程中，建立合理的數(shù)學(xué)模型對于分析系統(tǒng)的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能有著重要的作用。假設(shè)忽略鐵芯的飽和，不計算渦流和磁滯損耗，電機中的感應(yīng)電動勢為正弦波，那么在d-q 坐標(biāo)系中，PMSM的定子電壓方程可以描述為

定子磁鏈方程為

那么由式（1）和式（2），可以得到

其中，ud和 uq分別為 d-q 軸的電壓分量；id和 iq分別為 d-q 軸上的電流分量；Ld和 Lq為 d-q 軸上的等效電感；R 為定子電阻；ψd和ψq為d-q 軸上的定子磁鏈分量；ω 是電角速度；ψf是永久磁體對應(yīng)的轉(zhuǎn)子磁鏈。

在恒功率變換的原則下，得出電機的輸出電磁轉(zhuǎn)矩

其中p 為轉(zhuǎn)子的磁極對數(shù)。

若忽略磁阻轉(zhuǎn)矩，則令Ld＝Lq，轉(zhuǎn)矩方程變?yōu)?/p>

其中Kt為轉(zhuǎn)矩常數(shù)。另外，電機的機械運動方程為

其中J 為轉(zhuǎn)動慣量；ωm為機械角速度；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；B 為阻尼系數(shù)。

2 位置環(huán)對象的建模

根據(jù)d-q 坐標(biāo)系中的PMSM 數(shù)學(xué)模型可知，對PMSM 轉(zhuǎn)矩的控制歸根結(jié)底還是對d－q 軸的電流控制，而三環(huán)中最內(nèi)一環(huán)的電流環(huán)則是提高響應(yīng)速度、控制精度及性能的關(guān)鍵，為了實現(xiàn)PMSM 控制參數(shù)的解耦，使用較為常用的“id=0”控制策略，即令定子電流矢量與d 軸垂直，那么在永磁體的ψf是定值的情況下只需要通過調(diào)整iq，就可以實現(xiàn)對轉(zhuǎn)矩的直接控制。文中基于“id=0”的控制策略建立伺服系統(tǒng)位置環(huán)對象的模型如圖1 所示。

首先，PWM 逆變器的傳遞函數(shù)可以近似等效為一個一階慣性環(huán)節(jié)，寫成

其中KPWM為比例增益，TPWM為逆變器的時間常數(shù)。

由式（3），電機的傳遞函數(shù)為

其中 Ef為反電動勢，Ef=ωmKe，Ke為反電動勢常數(shù)，Ta為永磁同步伺服電機電氣時間常數(shù)，Ta=Lq/R，Ka=1/R。

在忽略阻尼系數(shù)B 的情況下，由式（3）、（5）和（6），在電流輸出加入負(fù)載環(huán)節(jié)后，其傳遞函數(shù)表示為

其中 Kt=Ke=pψf。

接下來就是電流調(diào)節(jié)器的設(shè)計，考慮到典型I 型系統(tǒng)的抗擾動恢復(fù)性能及跟隨性能良好，故將電流環(huán)設(shè)計成典型I 型系統(tǒng)，采用PI 調(diào)節(jié)器，其傳遞函數(shù)為

其中Kp為PI 調(diào)節(jié)器的比例系數(shù)，τi為調(diào)節(jié)器的積分時間常數(shù)，τi=Kp/Ki，考慮到慣性環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的延遲作用，為了提高電流環(huán)的響應(yīng)速度，令調(diào)節(jié)器的時間常數(shù)τi等于電氣時間常數(shù)Ta，則電流環(huán)加上PI 調(diào)節(jié)器后的開環(huán)傳遞函數(shù)為

其中

故此時電流環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

典型二階系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為

按照二階模型的最佳整定方法，則

由式（13）、（14）可知

故由式（15）-（17）式可得

一般情況下TPWM較小，那么可以將式（13）近似為

其中Tq=1/K。

根據(jù)圖1，得到PMSM 位置伺服系統(tǒng)電流環(huán)的高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)

3 控制器設(shè)計及參數(shù)整定

PID 控制器是一種線性控制器，它的傳遞函數(shù)可寫成

式中 Kp、Ki、Kd分別是比例、積分、微分環(huán)節(jié)的參數(shù)。

整個高階位置環(huán)路PID 控制器的系統(tǒng)框圖如圖2 所示。

圖2 高階電流環(huán)PID 控制器系統(tǒng)框圖

設(shè)此閉環(huán)系統(tǒng)為單位反饋，由Gp（S）和G（S）已知，可以得到閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

得到系統(tǒng)的特征方程式

這時對于系統(tǒng)特征方程的根可以分解為兩種形式，第一種形式

其中 ξ 為阻尼比，ωn為無阻尼振蕩頻率，k1和 k2為實軸極點與原點的距離。由此可知，只要確定 ξ、ωn、k1和 k2的值，那么根據(jù)式（24）系數(shù)相等的原則就可以計算出相應(yīng)的Kp、Ki、Kd控制參數(shù)。

令式（24）中的 S2+2ξωnS+ωn2等于 0，得出其特征根

可以看出，當(dāng) 0＜ξ＜1 時，S1，2為一對共軛復(fù)根；ξ=1 時，S1，2為一對重根；ξ＞1 時，S1，2為一對不等負(fù)實根。因此，根據(jù)ξ 的取值不同，也可以將特征根分解為第二種形式

其中 ξ1、ξ2為阻尼比，ω1、ω2為無阻尼振蕩頻率。同理，只要確定 ξ1、ξ2、ω1和 ω2的值，也可以計算出相應(yīng)的 PID控制參數(shù)。

下一部分的仿真實驗將會著重分析ξ、ωn值的選取對系統(tǒng)極點分布及系統(tǒng)性能的影響。

4 仿真實驗與分析

文獻[5]基于其柔性負(fù)載系統(tǒng)的不同慣量比，兩對極點的阻尼系數(shù)、實部與幅值是否相同的限制條件來進行極點配置PI 參數(shù)的整定。在文中，由于式（24）、（26）中存在多種變量，故采用控制變量的方法進行實驗分析。

圖3 為永磁同步電機位置伺服系統(tǒng)高階模型的實際Simulink 仿真模型，其中電流環(huán)調(diào)節(jié)器的PI 參數(shù)可由式（12）求出，仿真模型的輸入角度為1 rad。

圖3 永磁同步電機位置伺服系統(tǒng)實際Simulink 仿真模型

仿真實驗選取的仿真參數(shù)見表1。

表1 PMSM 仿真參數(shù)

4.1 第一種形式

第一種形式如式（24）所示，由于存在多個變量參數(shù)，故采取控制變量的原則進行仿真實驗。

4.1.1 同阻尼比及實極點k1的極點配置策略

由式（25）可知，當(dāng) 0＜ξ＜1 時，系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)根及兩個實數(shù)極點，故取 ξ=0.707，k1＝15，ωn分別取10，20，30，40，50 rad·s－1時，控制器參數(shù)及系統(tǒng)仿真結(jié)果見表 2 及圖4。

表2 同阻尼比及實極點k1 的極點配置參數(shù)

根據(jù)圖4 所示仿真結(jié)果，在系統(tǒng)阻尼比及一個實軸極點不變的情況下，隨著ωn的增大，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間變短，超調(diào)量增加，在 ωn大于 30 rad·s－1后系統(tǒng)開始出現(xiàn)振蕩。

圖4 同阻尼比及實極點k1 的極點配置仿真結(jié)果

4.1.2 相同無阻尼振蕩頻率及實極點k1的極點配置策略

取 ωn=30 rad·s－1，k1=15 時，ξ 分別取 0.4，0.707，0.9，1，2，4，仿真實驗分為三種情況：當(dāng) 0＜ξ＜1 時，系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)根及兩個實數(shù)極點；當(dāng)ξ=1 時，系統(tǒng)在實軸上有一對負(fù)重根及兩個實數(shù)極點-k1和-k2；當(dāng)ξ＞1時，系統(tǒng)具有兩個不等負(fù)實根及兩個實數(shù)極點-k1和-k2。將ξ=1 及ξ＞1 的情況統(tǒng)一進行分析，控制器參數(shù)及系統(tǒng)仿真結(jié)果見表3 及圖5、圖6。

表3 相同無阻尼振蕩頻率及實極點k1 的極點配置參數(shù)

圖5 相同無阻尼振蕩頻率及實極點k1 的極點配置仿真結(jié)果（0＜ξ＜1）

圖6 相同無阻尼振蕩頻率及實極點k1的極點配置仿真結(jié)果（ξ≥1）

由圖5 所示仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在無阻尼振蕩頻率不變的情況下，當(dāng)0＜ξ＜1 時，隨著阻尼比的增加，系統(tǒng)響應(yīng)變快，調(diào)節(jié)時間變短，但慢慢出現(xiàn)小幅振蕩。

由圖6 所示仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)ξ≥1 時，隨著阻尼比的增加，系統(tǒng)響應(yīng)變快但振蕩變大，且超調(diào)量增加，不利于實際工程的性能指標(biāo)。

4.1.3 相同阻尼比及無阻尼振蕩頻率的極點配置策略

取 ξ=0.707，ωn=30 rad·s-1，k1分別取 1，5，10，15，30 時進行仿真實驗，控制器參數(shù)及系統(tǒng)仿真結(jié)果見表 4及圖7。

表4 相同阻尼比及無阻尼振蕩頻率的極點配置參數(shù)

由圖7 所示仿真結(jié)果可以看出：隨著k1的增大，系統(tǒng)響應(yīng)變快，但超調(diào)量變大，系統(tǒng)開始出現(xiàn)振蕩；而在k1較小時，系統(tǒng)超調(diào)量小，基本無振蕩，穩(wěn)定性好，但響應(yīng)時間不是非常迅速。

由以上的分析，兼顧系統(tǒng)的快速性與穩(wěn)定性，將參數(shù)取值范圍大致總結(jié)為：阻尼比ξ 一般可以在0.6～0.8間取值；ωn可以在 20～40 rad·s-1間取值；k1可以在 10～20 間取值。

4.2 第二種形式

第二種形式如式（26），根據(jù) ξ1、ξ2取值范圍不同，分為三種情況討論。

4.2.1 特征根為兩對共軛極點的配置策略（0＜ξ1、ξ2＜1）

給定 ξ1=0.707，ωn=30 rad·s-1，分別取 ξ2=0.6，0.7，0.8，0.9 進行參數(shù)配置，控制器參數(shù)及系統(tǒng)仿真結(jié)果見表5 及圖8。

表5 特征根為兩對共軛極點的極點配置參數(shù)

圖7 相同無阻尼振蕩頻率及實極點k1 的極點配置仿真結(jié)果

圖8 特征根為兩對共軛極點的極點配置仿真結(jié)果

可以看出系統(tǒng)開始無響應(yīng)，約0.45 s 后呈振蕩發(fā)散狀態(tài)，無法達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)響應(yīng)。

4.2.2 特征根為一對共軛復(fù)數(shù)極點，一對實極點的情況（0＜ξ1＜1，ξ2＞1）

取 ξ1=0.707，ωn=30 rad·s-1，ξ2=3，5，15，30 進行參數(shù)配置，控制器參數(shù)及系統(tǒng)仿真結(jié)果見表 6 及圖 9。

表6 特征根為一對共軛極點、一對實極點的極點配置參數(shù)

根據(jù)圖9 仿真結(jié)果所示，在ξ1和ωn不變的情況下，隨著ξ2的增大，系統(tǒng)響應(yīng)變慢，振蕩及超調(diào)量變小，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。

4.2.3 特征根為兩對實數(shù)極點的情況（ξ1、ξ2值均大于1）

根據(jù)控制變量的原則，給定 ξ1=2，ωn=30 rad·s－1，分別取 ξ2=3，5，15，30 進行控制器參數(shù)配置，控制器參數(shù)及系統(tǒng)仿真結(jié)果見表7 及圖10。

表7 特征根為兩對實極點的極點配置參數(shù)

圖9 特征根為一對共軛極點、一對實極點的極點配置仿真結(jié)果

圖10 特征根為兩對實極點的極點配置仿真結(jié)果

仿真結(jié)果可以看出：當(dāng)一對實極點的位置不變，另一對的阻尼比增加時，系統(tǒng)超調(diào)量及振蕩變小，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，響應(yīng)變慢。

5 結(jié)語

通過對永磁同步電機位置伺服系統(tǒng)高階模型的建模與仿真，文中驗證了此模型在搭配PID 控制器時具有較好的控制性能。仿真實驗針對選取不同的ξ、ωn參數(shù)時系統(tǒng)的極點分布進行了研究；對極點參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響進行了相關(guān)的實驗，結(jié)合仿真實驗給出了具體的ξ、ωn參數(shù)選取范圍，具有一定的實際工程意義。相較于文獻[5]中選定限制條件的參數(shù)配置的方法，文中基于極點分布進行參數(shù)配置的方法更為簡單直觀。在現(xiàn)代高精度伺服控制的要求下，位置環(huán)的超調(diào)量會對系統(tǒng)的性能指標(biāo)產(chǎn)生較大的影響，因此，如何兼顧系統(tǒng)的快速響應(yīng)能力與穩(wěn)定性，對調(diào)節(jié)器模型進行優(yōu)化，是該文進一步的研究方向。