如何處理數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)

陸世雄

[摘? 要] 教師可以“由‘社會(huì)實(shí)踐出發(fā)，降低難點(diǎn)的難度”“由‘異同點(diǎn)出發(fā)，構(gòu)造處理難點(diǎn)的一般途徑”“‘階梯式教學(xué)分散教學(xué)難點(diǎn)”等，有效、透徹地處理好難點(diǎn)問題，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1].

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)難點(diǎn);社會(huì)實(shí)踐;階梯式;思維定式

數(shù)學(xué)教學(xué)中所謂的“難點(diǎn)”，指引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)困頓，無法更好地理解和運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn);也是教師教學(xué)過程中致力于破解的教學(xué)重心;更是引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)成績差距的根本. 處理好數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，一方面可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，啟迪學(xué)生的智慧，引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，越站越高，越走越遠(yuǎn);另一方面，也是對教師教學(xué)水平的檢測和錘煉. 那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)如何理性、透徹、有效地處理好難點(diǎn)呢？下面，筆者借助自身的教學(xué)與實(shí)踐，談一點(diǎn)思考.

由“社會(huì)實(shí)踐”出發(fā)，降低難點(diǎn)的難度

數(shù)學(xué)源于生活，又高于生活. 數(shù)學(xué)由于自身的學(xué)科特點(diǎn)，知識(shí)上體現(xiàn)出了抽象化的特征，學(xué)生的想象力容易被這種抽象化的知識(shí)所限制，無法生成理解. 因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)適時(shí)地選擇一些生活中的實(shí)例，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化，引導(dǎo)學(xué)生在親歷中感悟知識(shí).

比如，筆者在教學(xué)“平面直角坐標(biāo)系”這一內(nèi)容時(shí)，先將學(xué)生的座位行數(shù)和列數(shù)按照一定的順序進(jìn)行編號，之后引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考：

（1）某某學(xué)生的位置在第幾行、第幾列？

（2）位置在第5行、第3列的學(xué)生是誰？

（3）平面直角坐標(biāo)系是如何建立的？

（4）平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)該如何使用坐標(biāo)表示呢？

（5）能否說說直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)和它的坐標(biāo)是哪種對應(yīng)關(guān)系？

（6）如何根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)去確定點(diǎn)的位置？

數(shù)學(xué)家笛卡兒當(dāng)年也是借助天花板上的蜘蛛產(chǎn)生靈感，進(jìn)而創(chuàng)立了“平面直角坐標(biāo)系”. 筆者借助一系列問題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行梯度思考：問題（3）作為以上“問題串”的難點(diǎn)，借助了問題（1）（2）的鋪墊，并在問題（4）（5）（6）中更好地實(shí)現(xiàn)應(yīng)用價(jià)值[2]. 學(xué)生在實(shí)驗(yàn)和討論中，更好地內(nèi)化了知識(shí)技能，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的自然生長，培育了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

由“異同點(diǎn)”出發(fā)，構(gòu)造處理難點(diǎn)的一般途徑

課堂教學(xué)中，一些知識(shí)點(diǎn)較易混淆，教學(xué)難度大，教師應(yīng)予以重視，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度剖析，找出知識(shí)點(diǎn)之間的異同，進(jìn)而透徹理解其本質(zhì)，促進(jìn)思維發(fā)展，建構(gòu)知識(shí)體系.

例如，區(qū)分an與-an，（-a）n與-（-a）n時(shí)，需看清底數(shù)、底數(shù)的符號以及冪的符號. 再如，教師可以將四種銳角三角函數(shù)的概念進(jìn)行歸納、整合，之后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)其共性：

（1）它們的條件創(chuàng)設(shè)一致，都為直角三角形;

（2）其中“弦”為直角邊與斜邊的比，“切”為直角邊與直角邊的比;

（3）所謂的“正”就是角的對邊為分子，所謂的“余”就是角的鄰邊為分子;

（4）正弦值和余弦值均在0～1之間，正切值和余切值需大于0，可以比1大;

（5）角是自變量，比值則為因變量.

教師通過對知識(shí)點(diǎn)的對比分析，在充分理清混淆點(diǎn)的基礎(chǔ)上，分析其中蘊(yùn)含的豐富關(guān)系，能加深對知識(shí)的深入理解，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自然生長，促進(jìn)學(xué)生的思維品質(zhì).

“階梯式”教學(xué)分散教學(xué)難點(diǎn)

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師可基于學(xué)生的已有知識(shí)結(jié)構(gòu)，創(chuàng)設(shè)低起點(diǎn)、高立意的目標(biāo)習(xí)題，階梯式地由淺入深、層層推進(jìn). 這樣能讓學(xué)生在教師精心創(chuàng)設(shè)的“階梯式”教學(xué)環(huán)節(jié)中，逐級攀登. 筆者認(rèn)為，學(xué)好數(shù)學(xué)的竅門在于學(xué)會(huì)“退級”，退回到問題的本質(zhì).

例如，教材中“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”這一內(nèi)容，在編排上就遵循了從特殊的“y=ax2（a≠0）”“y=ax2+k（a≠0）”“y=a（x-h）2+k（a≠0）”到一般的“y=ax2+bx+c（a≠0）”的基本規(guī)律. 再如，“幸運(yùn)數(shù)碼”問題——已知一串連續(xù)的自然數(shù)：1，2，3，…，n-1，n，將其按照從大到小的順序按照順時(shí)針的方向圍成一個(gè)圓，先將數(shù)字1去掉，之后間隔數(shù)學(xué)2再去掉數(shù)字3……以此類推，每隔一個(gè)數(shù)字便去掉下面的一個(gè)數(shù)字，求出最后唯一僅存下來的幸運(yùn)數(shù)碼是幾. 若n=2k，那么幸運(yùn)數(shù)碼為2k;若n=2k+p，那么幸運(yùn)數(shù)碼為2p，也就是2（n-2k）. 此題看似深不可測，實(shí)則盡顯由特殊到一般的思維策略.

借助“類比”，突破思維難點(diǎn)困境

專家曾經(jīng)說過：當(dāng)理智在沒有可靠論證思路的情況下，我們可以借助“類比”奮力前行. 數(shù)學(xué)知識(shí)是融會(huì)貫通的整體. 教師在教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生通過知識(shí)的引申、相似、相逆等諸多方面來探究類比，從而進(jìn)行推理. 在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，借助類比剖析難點(diǎn)，成功解決難題的例子數(shù)不甚數(shù). 比如，可以利用“三角形的中位線定理”來類比“梯形的中位線定理”;利用“平面三角形”來類比“空間四面體”;利用“三角形的面積公式”來類比“扇形、圓的面積公式”等. 當(dāng)然，類比的絕對可靠性還有待考證，其優(yōu)勢主要體現(xiàn)在可以提升學(xué)生的自主探究意識(shí)，能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性上面，進(jìn)而突破難點(diǎn)困境，提高有效性.

顯露“思維定式”，剖析難點(diǎn)

在解題中，學(xué)生往往會(huì)被基本形式規(guī)律的永恒性所左右，也就是所謂的“思維定式”，進(jìn)而出現(xiàn)一些自以為是的思路. 此時(shí)，教師可以借助問題情境的參與，防患于未然，將錯(cuò)誤展露給學(xué)生，讓學(xué)生生成感悟，深度剖析問題本質(zhì)，找出癥結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)正確的認(rèn)知生長點(diǎn)，準(zhǔn)確剖析難點(diǎn)，激發(fā)思維結(jié)構(gòu)的自然發(fā)展.

例如，筆者在教學(xué)“完全平方公式”這一內(nèi)容的過程中，創(chuàng)設(shè)了以下問題情境：有一個(gè)發(fā)奮善思的學(xué)生，他的名字叫馬虎，他從（ab）2=a2b2，

2=中猜想出（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2. 你認(rèn)為他的猜想正確嗎？請?zhí)顚懕?和表2進(jìn)行驗(yàn)證.

[表1][a b （a+b）2 a2+b2 兩者之差 3 6 81 45 5 8 169 89 ][a b （a-b）2 a2-b2

（a2+b2） 兩者之差 3 1 4 8（10） 5 2 9 21（29） ][表2]

在填表的過程中，學(xué)生頓悟出這名馬虎同學(xué)真是名副其實(shí)的馬虎，他的猜想也僅僅是他自以為是的想法，引發(fā)了學(xué)生們的認(rèn)知沖突. 當(dāng)然，有時(shí)候錯(cuò)誤是通向成功的小徑，教師需借助這種共性錯(cuò)誤引發(fā)學(xué)生思考，進(jìn)而使之轉(zhuǎn)化為教學(xué)素材，引導(dǎo)學(xué)生生成感悟. 筆者適時(shí)追問：“那我們思考一下兩者之差和a，b是否存在關(guān)聯(lián)，又是什么聯(lián)系.”學(xué)生經(jīng)過自主探究、深入觀察，而后總結(jié)、歸納出：“差值剛好為a，b乘積的2倍. ”由此得出深度猜想（a±b）2=a2±2ab+b2. 此時(shí)筆者順?biāo)浦?，根?jù)乘方含義及多項(xiàng)式法則寫出了如下式子：

（a+b）2=（a+b）（? ? ）=a2+（? ? ）+b2;

（a-b）2=（a-b）（? ? ）=a2+（? ? ）+b2.

以上案例，在外顯思維定式中，深度剖析錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)正確的認(rèn)知生長點(diǎn)，感悟新知識(shí)，最后進(jìn)行深度強(qiáng)化，并借助法則和定義進(jìn)行驗(yàn)證. 實(shí)踐證明，這種獨(dú)特的教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)，教學(xué)效果顯著. 通過這樣的情境創(chuàng)設(shè)，學(xué)生丟中間項(xiàng)的錯(cuò)誤明顯減少.

借助教法，分散、融通難點(diǎn)

數(shù)學(xué)中，有些難點(diǎn)知識(shí)尤為重要，教師應(yīng)基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，運(yùn)用各種教學(xué)方法，多方位、多角度、各領(lǐng)域地集中分散、融通難點(diǎn)，進(jìn)而解決難點(diǎn)問題.

例如，筆者在教學(xué)“不等式的基本性質(zhì)3”這一內(nèi)容時(shí)，首先安排了一個(gè)課時(shí)去引導(dǎo)學(xué)生從具體數(shù)字到字母，借助數(shù)軸、相反數(shù)和有理數(shù)比較大小等知識(shí)來找尋規(guī)律，并總結(jié)歸納. 而后借助杠桿實(shí)驗(yàn)強(qiáng)化驗(yàn)證（如圖1和圖2）.

改變力的方向也就是相反意義的量，它的數(shù)學(xué)含義是同時(shí)乘“-1”，之后觀察杠桿傾斜的方向是否發(fā)生改變. 事實(shí)上，“不等式的基本性質(zhì)3”并非以一個(gè)孤立的命題形式而存在，依據(jù)“不等式的基本性質(zhì)1”進(jìn)行演繹推導(dǎo)，可得“不等式的基本性質(zhì)3”，其可以幫助學(xué)生理性認(rèn)識(shí)“不等式的基本性質(zhì)3”，進(jìn)而生成感悟——“不等號的方向需改變”.

例題已知x>a，求證：-x<-a.

證明因?yàn)閤>a，即a

總之，對于數(shù)學(xué)中難點(diǎn)問題的處理，不是一朝一夕就能實(shí)現(xiàn)的，需要數(shù)學(xué)教師持之以恒的堅(jiān)持，低起點(diǎn)，高立意，從具體走向抽象，從感性認(rèn)識(shí)走向理性認(rèn)識(shí)，借助多種教學(xué)手段，培養(yǎng)學(xué)生的挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維逐步深入和提升.

參考文獻(xiàn)：

[1]李樹臣. 論形成和發(fā)展數(shù)學(xué)能力的兩個(gè)根本途徑[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2002（9）.

[2]林俊偉. 數(shù)學(xué)課堂中的問題設(shè)置[J]. 中國數(shù)學(xué)教育，2011（z1）.