巧用新課標(biāo)理念 彰顯數(shù)學(xué)魅力

摘 要：“數(shù)學(xué)難，難于上青天”已成為多數(shù)高中學(xué)生的“難言之隱”。如何破解學(xué)生畏懼?jǐn)?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，激發(fā)出濃厚的學(xué)習(xí)興趣是擺在數(shù)學(xué)教師面前的重要課題。本文試圖利用新課標(biāo)理念，從概念理解、數(shù)形結(jié)合、合作與交流等方面彰顯數(shù)學(xué)魅力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，達(dá)到較好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);概念教學(xué);數(shù)形結(jié)合;合作交流

隨著新高考的實(shí)施，新的命題思想和理念會(huì)深刻影響著高中數(shù)學(xué)教學(xué)，教師的身份也隨之發(fā)生了變化。優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師要善于挖掘和處理教材，領(lǐng)悟高考命題原則，不斷改進(jìn)教學(xué)方法，讓學(xué)生輕松愉快地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。

一、 在認(rèn)識(shí)沖突過(guò)程中感知概念的內(nèi)涵與外延，把握概念本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念的形成來(lái)自解決實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要，但概念的高度抽象使其難以理解，隨著知識(shí)的增加，對(duì)概念的認(rèn)識(shí)也會(huì)產(chǎn)生沖突。教學(xué)過(guò)程中，教師可以從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，想學(xué)生所想，借助多媒體手段，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，豐富概念的內(nèi)涵與外延，把握概念本質(zhì)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

案例1 函數(shù)切線(xiàn)的概念

學(xué)生在導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)習(xí)完成之后，教科書(shū)緊接著安排了曲線(xiàn)的切線(xiàn)內(nèi)容。學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了圓的切線(xiàn)，因此，對(duì)于切線(xiàn)的概念，學(xué)生是有一定的基礎(chǔ)知識(shí)的。之前在高中階段，學(xué)生又學(xué)習(xí)了圓錐曲線(xiàn)的切線(xiàn)，從“曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)稱(chēng)為切線(xiàn)”到“雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)共同點(diǎn)的直線(xiàn)不一定是切線(xiàn)”的知識(shí)飛躍，學(xué)生對(duì)切線(xiàn)的認(rèn)識(shí)前后產(chǎn)生了沖突，也對(duì)最初的概念產(chǎn)生了懷疑。因此正確理解切線(xiàn)的定義是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)。

在教學(xué)過(guò)程中，教師可以先創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，用幾何畫(huà)板作出幾個(gè)曲線(xiàn)（如函數(shù)y=x3，y=sinx）的切線(xiàn)，如圖1所示，設(shè)置如下問(wèn)題：

（1）直線(xiàn)l是曲線(xiàn)的切線(xiàn)嗎？

（2）直線(xiàn)l和曲線(xiàn)有幾個(gè)交點(diǎn)？

學(xué)生討論交流完成后，師生共同總結(jié)：“在幾何上，切線(xiàn)指的是剛剛接觸曲線(xiàn)上的某點(diǎn)的直線(xiàn)，因此線(xiàn)l是切線(xiàn)。但跟我們以前學(xué)習(xí)的概念不一樣，今天我們來(lái)重新定義切線(xiàn)。”然后用無(wú)限逼近的極限思想，借助幾何畫(huà)板讓學(xué)生體會(huì)到割線(xiàn)的極限位置即切線(xiàn)。

學(xué)習(xí)定義后，可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)新定義的切線(xiàn)的特征：①可以穿切。以前的曲線(xiàn)是“貼切”，即切線(xiàn)在切點(diǎn)切而不穿過(guò)曲線(xiàn)。導(dǎo)數(shù)定義的切線(xiàn)，可以“穿切”，即切線(xiàn)在切點(diǎn)切而可以穿過(guò)曲線(xiàn)。②可以有若干個(gè)切點(diǎn)。以前，一般是一個(gè)切點(diǎn)的。現(xiàn)在可以多個(gè)切點(diǎn)，甚至無(wú)數(shù)個(gè)切點(diǎn)。

通過(guò)觀察圖像、進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、比較新舊、發(fā)現(xiàn)關(guān)系，從具體到抽象，從模糊到清晰，逐步總結(jié)、概括和抽象出曲線(xiàn)切線(xiàn)定義的內(nèi)涵與外延。讓學(xué)生體驗(yàn)到親自參與和掌握知識(shí)的愉快情感，這是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的重要條件。

二、 巧用數(shù)字與視覺(jué)相結(jié)合的魅力，展現(xiàn)了圖形的美感

數(shù)量和形狀是數(shù)學(xué)研究的兩大主題。數(shù)形完美結(jié)合，能使數(shù)學(xué)問(wèn)題由抽象變成直觀，由復(fù)雜變成簡(jiǎn)單易懂，有利于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，更有利于精準(zhǔn)理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)屬性。

案例2 已知點(diǎn)P（x，y）在圓（x-2cosα）2+（y-2sinα）2=16上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)角α變化時(shí)，點(diǎn)P（x，y）運(yùn)動(dòng)區(qū)域的面積為。

學(xué)生互動(dòng)交流完成后，很多學(xué)生會(huì)產(chǎn)生兩點(diǎn)困惑：①為什么中間要除去一個(gè)圓？②為什么圖形會(huì)是一個(gè)圓環(huán)？

對(duì)于第一個(gè)困惑，教師給學(xué)生一個(gè)巧妙的解釋方法：點(diǎn)P形成的圖形就像我們正在玩呼啦圈時(shí)呼啦圈上的點(diǎn)所掃過(guò)的地方，學(xué)生把圓圈O形象比喻為人的腰部，根據(jù)呼啦圈轉(zhuǎn)動(dòng)的實(shí)際情況，必須把圓圈O的內(nèi)部去除，原因是呼啦圈實(shí)際是不能掃過(guò)人的腰的。

接著，教師利用幾何畫(huà)板，設(shè)法把它的圖形作了出來(lái)：設(shè)圓心為M（2cosα，2sinα），很容易知道它位于以原點(diǎn)為中心，半徑為2的圓上。再用幾何畫(huà)板制作這個(gè)圓圈，在這個(gè)圓圈上取任意一個(gè)點(diǎn)作為M，然后取M作為中心，4作為半徑，跟蹤該圓的軌跡并拖動(dòng)點(diǎn)M以觀察點(diǎn)P的軌跡。如圖所示，P運(yùn)動(dòng)區(qū)域（灰色部分）是環(huán)，因此面積為32π。（如圖2）

教師按上述方法講解完成后，絕大多數(shù)學(xué)生都面露喜色，學(xué)生們有效理解了圖形在解題中的作用，教師在講課過(guò)程中還能生動(dòng)呈現(xiàn)出圖形完美結(jié)合的動(dòng)態(tài)之美。

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，教師不僅要充分利用幾何畫(huà)板來(lái)表達(dá)圖形的動(dòng)態(tài)美感，還可以在網(wǎng)絡(luò)教室上課，讓學(xué)生利用校園網(wǎng)通過(guò)自行下載圖形視頻、數(shù)學(xué)圖片等，從而感受到數(shù)字、圖片和形狀的完美結(jié)合。

三、 營(yíng)造師生合作與交流的教學(xué)氛圍，品嘗成功的喜悅

在數(shù)學(xué)理論知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中，教師若能營(yíng)造問(wèn)題情境，精心設(shè)計(jì)一些實(shí)驗(yàn)，在探究實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行合作交流，在合作交流中進(jìn)行探究實(shí)驗(yàn)，通過(guò)合作、探究、交流等學(xué)習(xí)方式，學(xué)生才能真正體驗(yàn)到在“做”中學(xué)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

案例3 零點(diǎn)存在性的判斷

f（a）·f（b）<0且圖像在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，是函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分但不是必要的條件，學(xué)生對(duì)此知識(shí)點(diǎn)感到特別困惑，渴望獲得解答。

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)：教師事先準(zhǔn)備一條繩子，并在黑板上畫(huà)一條直線(xiàn)，說(shuō)明細(xì)線(xiàn)的兩個(gè)端點(diǎn)記作A和B，創(chuàng)設(shè)如下問(wèn)題情境：“同學(xué)們，如何才能確保這條細(xì)繩和給定的直線(xiàn)會(huì)形成交叉點(diǎn)呢？”這個(gè)問(wèn)題一拋出，學(xué)生們議論紛紛，相互竊竊私語(yǔ)說(shuō)出了各自的想法。經(jīng)過(guò)老師的組織引導(dǎo)，學(xué)生分小組進(jìn)行合作、探討和交流，教師依據(jù)學(xué)生們討論的情況給予科學(xué)有效的指導(dǎo)。

學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A點(diǎn)和B點(diǎn)位于直線(xiàn)的兩側(cè)時(shí)，它們可以滿(mǎn)足問(wèn)題的要求;當(dāng)A點(diǎn)和B點(diǎn)位于給定的直線(xiàn)的同一側(cè)時(shí)，則會(huì)出現(xiàn)兩種可能：會(huì)出現(xiàn)交叉點(diǎn)，也可能不會(huì)出現(xiàn)交叉點(diǎn)。接著教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的角度分析得出 f（a）·f（b）<0的結(jié)論。教師進(jìn)一步發(fā)問(wèn)：若A點(diǎn)和B點(diǎn)在直線(xiàn)的兩側(cè)時(shí)，細(xì)線(xiàn)與給定直線(xiàn)相交已經(jīng)出現(xiàn)交點(diǎn)了，要讓它們不出現(xiàn)交點(diǎn)，對(duì)此你能設(shè)計(jì)出什么方案？學(xué)生經(jīng)過(guò)討論、交流，設(shè)計(jì)出如下兩種方案：

①將點(diǎn)A和點(diǎn)B移到直線(xiàn)的同側(cè)（對(duì)f（a）·f（b）<0的必要性作進(jìn)一步解釋?zhuān)?

②只要切斷細(xì)線(xiàn)（對(duì)具有連續(xù)特征的函數(shù)圖像作進(jìn)一步說(shuō)明）。

通過(guò)上述數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生們能快速總結(jié)出零點(diǎn)存在性定理。

教學(xué)過(guò)程中，教師要充分相信學(xué)生的能力，讓學(xué)生動(dòng)手操作，學(xué)生就能直觀地感受到函數(shù)零點(diǎn)存在性定理在每個(gè)條件下的作用，并從實(shí)驗(yàn)的解決方案中理解掌握定理的本質(zhì)屬性。合作與交流讓數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不再是枯燥乏味的純理論。

俗話(huà)說(shuō)，“興趣是最好的老師”。教師只要把數(shù)學(xué)的魅力充分地展現(xiàn)在學(xué)生面前，就一定能夠持續(xù)地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)激情，將被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為主動(dòng)學(xué)習(xí)，“要我學(xué)”就一定能轉(zhuǎn)變成“我要學(xué)”。高中數(shù)學(xué)教師要深入研究新課標(biāo)、新教材、新高考，精準(zhǔn)把握高考命題的思想原則，在教學(xué)實(shí)踐中不斷總結(jié)提升，不斷改進(jìn)教學(xué)方式方法，充分運(yùn)用多媒體手段、網(wǎng)絡(luò)環(huán)境，讓學(xué)生多動(dòng)手、多動(dòng)腦、多合作，就一定能讓更多的學(xué)生激發(fā)起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

杜海光，福建省南平市，邵武市第一中學(xué)。