《解析幾何》高考都在考什么？

王軍成

1.背景分析

解析幾何是高考的重要考點，每一年都要出一道小題，一道解答題。小題基本上是一道容易題或一道中等題，試題難度不大是每個學生都應得分的考點。解答題一般都是有一定綜合性的中上等難度的題目，學生處理起來有不少困難但是不是難道做不出來。每年高考考場上學生都會用比較多的時間在這道解析幾何題上。所以這道解析幾何題的成敗對數學高考成敗的影響意義重大。

2.高考研究

高考中數學在解析幾何上的考察都有哪些重點？最近幾年有哪些變化？

（1）首先回顧這些年高考解析幾何的命題方向。

這些年高考中這個考察點主要分兩種類型題，一個是關于圓錐曲線的基本量計算的題目，此類題目大多數是選擇題，填空題這樣的小題形式。例如考察雙曲線的漸近線，圓錐曲線離心率的計算，點到直線的距離等比較單一的知識點，屬于容易題。另一類就是大題，主要考察橢圓中的綜合性的計算問題。

在大題的考察中主要有兩種題型：

一種是考查基本量與基本公式運算。例如2018年的江蘇高考試題：如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C過點，焦點，圓O的直徑為F1F2.（1）求橢圓C及圓O的方程;（2）設直線l與圓O相切于第一象限內的點P.

①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標;②直線l與橢圓C交于A，B兩點.若△OAB的面積為，求直線l的方程.

分析：這個題的第2問中的第一小問涉及的是圓錐曲線的切線的計算，有一定的運算量，第二小問涉及的是點到直線的距離公式，三角形的面積計算，運算量較大。

學生在處理這個問題上可以用設點坐標進行運算，也可以設直線方程進行運算，兩者的運算難度相當。再看2018年全國卷：設橢圓的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為（2，0）.（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程;（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

分析：這道題的第二問需要轉化為斜率問題，通過坐標運算結合韋達定理可以求解，最后計算得到定值，計算量不是太大，難度適中。

另一種是以設點坐標進行整體代換，學生要具備較好的邏輯分析能力。例如2011年江蘇高考試題：18、如圖，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k，本題的第（3）問：對任意k>0，求證：PA⊥PB。本題的解法以設點坐標以及整體代換為最佳做法。

（2）高考命題趨勢

近年來高考在考察解析幾何時側重考察學生的邏輯分析能力，運算能力。這些數學的核心素養(yǎng)的考察明顯加強。對于一些解析幾何中結論性的東西的考察漸漸避開。在思維上注重學生邏輯思維的考察，分析問題轉化問題能力的考察，在運算上更加突出運算能力的考察。這些都是新課標的指導思想在試卷命題中的體現(xiàn)。

3.應對策略

平時復習要注意哪些問題？怎樣應對高考中這道關鍵題？這些問題是我們師生共同關注的話題。關注近幾年的高考，發(fā)現(xiàn)解析幾何的解答題要關注一下問題：

（1）基于基本量的復雜運算，學生的運算能力平時要加強。

（2）利用點坐標帶入的整體求值問題，這一考點又常常和向量的共線問題與定比分點知識相結合，在運算上的要求較高。要解決好此類問題，不僅要學生有好的基礎知識，還要有比較好的數學學科素養(yǎng)。在平時的課堂教學中要讓學生多獨立思考，培養(yǎng)他們提出問題、分析問題、解決問題的能力。

（3）老師在教學中要注意通性通法的研究，避免過多解題技巧的訓練，充分調動學生的積極性，提高學生思維的參與度。解析幾何方面在高考方面主要考察的學生的運算能力與邏輯思維能力，所以真真提高學生的數學學科的核心素養(yǎng)才是我們解決解析幾何問題的唯一出路。

參考文獻

[1]鄭一平.“高考解析幾何重點提醒分析與預測”.中學生理科應試2015年第11期.

[2]崔志榮“解析幾何中解題教學的幾點思考”.數學教學.2015年第10期。