范寶銳
函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的主干內(nèi)容,貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué),函數(shù)的思想方法也廣泛地滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的全過(guò)程,函數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)中的很多內(nèi)容都密切相關(guān),而二次函數(shù)的內(nèi)容涉及廣泛,更是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的重點(diǎn),但在初中教材中降低了二次函數(shù)的難度,削減其地位,給高中的教學(xué)帶來(lái)了障礙。因此,很有必要厘清二次函數(shù)在高中階段的價(jià)值,以期引起師生們的足夠重視。
一、巧借二次函數(shù)圖象求解一元二次不等式
對(duì)于一元二次不等式,不能像一元一次不等式那樣求解,學(xué)生剛開(kāi)始接觸到這樣的知識(shí)他們會(huì)很迷惘的。但如果我們先讓他們求解一元二次方程,他們很快能求出。因?yàn)閷?duì)一元二次方程的求解,學(xué)生在初中做了大量的練習(xí),比較熟悉。二次函數(shù)f(x)= ax2+ bx+c(a≠0)與一元二次方程ax2+ bx+c=0的聯(lián)系可以通過(guò)觀察二次函數(shù)圖像找到。如:已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,根據(jù)圖象回答:
①當(dāng)x取值范圍為_(kāi)___________時(shí),y>0;
②當(dāng)x的取值范圍為_(kāi)________=-___時(shí),y<0;
③方程ax2+bx+c=0的解為_(kāi)_____________;
④一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集為_(kāi)_________;
⑤一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集_______________。
二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的聯(lián)系非常密切,借助二次函數(shù)的圖象可以很清晰地了解三者的關(guān)系。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法求解一元二次不等式是常用的技巧。
二、結(jié)合二次函數(shù)圖象求解數(shù)列問(wèn)題
在公式的學(xué)習(xí)過(guò)程中,還要從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)公式 ,公式Sn=na1+從函數(shù)的角度看是關(guān)于n的二次函數(shù),且常數(shù)項(xiàng)為0,同時(shí)也可以看出點(diǎn)列(n,Sn)均在同一條拋物線上,且此拋物線過(guò)原點(diǎn)。
有這樣一道高考題:設(shè)等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0,指出S1,S2,S3,……,S12中哪一個(gè)值最大,并說(shuō)明理由. 解答的過(guò)程是運(yùn)用二次函數(shù)的圖像分析對(duì)稱軸所在區(qū)間確定答案。由于Sn=na1+
表明點(diǎn)列(n,Sn)都在過(guò)原點(diǎn)的拋物線上,再由S12>0,S13<0,易知此等差數(shù)列公差d<0,且a1>0圖象如圖所示,易知其對(duì)稱軸為 于是,a6>0,a7<0,故最大S6.可見(jiàn),結(jié)合二次函數(shù)可快速解決一些數(shù)列問(wèn)題。
三、借力二次函數(shù)求解復(fù)合函數(shù)的最值
一些與二次函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域或最值的求解,往往要用到二次函數(shù)的知識(shí)來(lái)求解。如:
顯然可設(shè)
歸納:第一,看到形如y=asin2x+bsinx+c
(a≠0)的函數(shù)要聯(lián)想到二次函數(shù),構(gòu)造二次函數(shù)。第二,換元時(shí)一定要注意新“元”的范圍,要注意命題的等價(jià)性。
四、運(yùn)用二次函數(shù)解決導(dǎo)函數(shù)的問(wèn)題
三次函數(shù)是一類比較簡(jiǎn)單的高次函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù),這類問(wèn)題的難點(diǎn)是研究其中的參數(shù)取值范圍。破解難點(diǎn)的方法是對(duì)三次函數(shù)求導(dǎo)后,化歸成二次函數(shù),通過(guò)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布情況來(lái)求解,或利用數(shù)形結(jié)合思想畫出函數(shù)的草圖,找出極大值、極小值進(jìn)行對(duì)比分析,求出參數(shù)的取值范圍。解三次函數(shù)的問(wèn)題,可借助導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行研究,推進(jìn)二次函數(shù)性質(zhì)的深化與二次函數(shù)應(yīng)用方法的研究。
有這樣一道高考題:設(shè)函數(shù)f(x)=x3-
+6x-a.(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,f'(x)≥m恒成立,求m的最大值;(2)若方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根,求a的取值范圍.
解:(1) ,
因?yàn)?, ,
即 恒成立,
所以 ,得 ,
即 的最大值為
(2) 因?yàn)?當(dāng)x<0時(shí), ;
當(dāng)時(shí)1 當(dāng)時(shí)x>2, ; 所以當(dāng)x=1時(shí), 取極大值 ; 當(dāng)x=2時(shí), 取極小值 ; 故當(dāng)f(2)>0或f(1)<1時(shí), 方程 僅有一個(gè)實(shí)根。 解得 a<2或 歸納:討論函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)就是討論不等式的解集的情況,大多數(shù)情況下是歸結(jié)為一個(gè)含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論,在能夠通過(guò)因式分解求出不等式對(duì)應(yīng)方程的根時(shí)依據(jù)根的大小進(jìn)行分類討論,在不能通過(guò)因式分解求出根的情況時(shí)根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類討論。討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行的,千萬(wàn)不要忽視了定義域的限制。 綜上可見(jiàn),二次函數(shù)有其豐富的內(nèi)涵和外延,作為最基本的冪函數(shù),我們可以以它為代表來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì),可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系,可以編擬出許多靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合素質(zhì),特別是能從解答中區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。所以,無(wú)論是老師還是學(xué)生都要高度重視,真正去領(lǐng)略二次函數(shù)的價(jià)值,發(fā)揮其價(jià)值。 參考文獻(xiàn): [1]中華人民共和國(guó)教育部.人教版高中數(shù)學(xué)教材必修與選修[M].人民教育出版社,2006. [2]任志鴻.2010高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)[M].西苑出版社,2010. [3]周志琛.淺談二次函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要性[J].現(xiàn)代教育,2001(14).