簡述二次函數(shù)在應用方面的幾點思考

王一涵

[摘 要：二次函數(shù)在航天、航海、建筑、工業(yè)生產(chǎn)、投資理財?shù)阮I域都有廣泛的應用，也正是實際的應用推動二次函數(shù)不斷完善，二次函數(shù)的考察方式非常靈活，應用性較強，不僅是科研的重要內(nèi)容，也是初等數(shù)學的重點難點，在高中學習中非常重要。二次函數(shù)和其他知識點聯(lián)系緊密，這就要求同學們對二次函數(shù)有更深的把握，適應對知識點進行聯(lián)合考察，本文對二次函數(shù)知識點進行全面梳理，以便加深同學們對知識的學習能力。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；聯(lián)合考察；實際應用]

一、引言

在新的課程改革中，著重強調(diào)數(shù)學的改革方向是更加注重實用性，注重在教學過程中把握理論與實踐的結(jié)合程度?！盀閷W之實，固在踐履”，在學習過程中，要熟練掌握工業(yè)生產(chǎn)和經(jīng)濟運行中數(shù)學知識的應用實例，并掌握如何獨立研究一些實際課題，達到學以致用的目的。新的課程改革中，在中學都安排了相關(guān)任務，根據(jù)學生的掌握能力與培養(yǎng)方向而有所不同，但是都重視數(shù)學知識與自然科學、社會實踐的結(jié)合。

二、二次函數(shù)應用的解題思路如下

（1）分析問題。

（2）確定問題中的變量、常量以及相關(guān)關(guān)系。

（3）以數(shù)學表達式的方式描述變量、常量的關(guān)系。

（4）運用二次函數(shù)的知識求解。

（5）檢驗計算結(jié)果。

三、二次函數(shù)與物理相關(guān)的應用

在解決此類問題時，要首先建立數(shù)學模型，將相關(guān)的內(nèi)容轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)，再通過二次函數(shù)的性質(zhì)求解。下面通過舉例來進行說明。

（1）直線等加速運動。勻速直線運動中，運動距離等于速度乘以時間，公式為S=vt。而直線等加速運動中，速度會隨時變化，運動距離和時間、加速度、初始速度都有關(guān)系。公式表示為：[S=V0+12at2]。

由此可知，當速度增加一定時，距離是時間的二次函數(shù)。

（2）自由落體運動。在忽略空氣阻力時，自由落體是在地球重力作用下的直線等加速運動。初始速度為0，速度增加值為的9.8米/秒，可以表示為g，具體公式為[S=12gt2]。

（3）動能。物體在運動過程中會產(chǎn)生能量，物理上稱為動能，具有的能量叫做動能。用E表示動能，m表示物體質(zhì)量，v表示速度，則動能的計算公式為：[E=12mv2]。

例1：從地面向上拋球時，初始速度為10m/s，g取10m/s2，求時間t和高度h的關(guān)系。球從拋出到地面需要多久？什么時間達到3.75m？

解：高度h是時間t的二次函數(shù)，公式為[h=10t-5t2]。

當h=0時，[ 0=10t-5t2]，

計算的t=0或者t=2，即拋出2秒后，回到地面。

當h=0時，[3.75=75t-5t2]，

計算的t=0.5或者t=1.5，達到3.75m的高度。

四、二次函數(shù)與實際生活相關(guān)的應用

例2：某工廠生產(chǎn)一臺設備固定成本2萬元，每生產(chǎn)一臺增加投入100元，x為設備的月產(chǎn)量，收益的函數(shù)為：當x在0到400的范圍時，R（x）=400x+1/2x2；當x大于400的范圍時，R（x）=80000。

（1）求利潤約月產(chǎn)量的函數(shù)f（x）。

（2）獲得最大利潤為多少，此時的產(chǎn)量為多少？

解：

（1）設單月的生產(chǎn)量為x臺，總的成本為20000+100x，當x在0到400的范圍時，f（x）=-1/2x2+300x-20000，當x大于400的范圍時，f（x）=60000-100x。

（2）當當x在0到400的范圍時，求f（x）=-1/2x2+300x-20000的最大值，x=300，此時最大值為25000。當x大于400的范圍時，f（x）是減函數(shù)，也就是此范圍的數(shù)值小于x=400時的數(shù)值，因此每月生產(chǎn)300臺設備的時候，利潤最大，為25000。

五、利用最大值、最小值計算二次函數(shù)中的相關(guān)條件

例3：若f（x）=x2+2x+3在區(qū)間[M，0]的最大值為3，最小值為2，求M的取值范圍。

解：先求f（x）的頂點坐標，橫坐標x=-1，縱坐標y=2，因此頂點坐標為（-1，2），如果M<一1，根據(jù)函數(shù)的圖形可知，f（x）關(guān)于x=-1對稱。f（0）=3，f（-2）=3，f（-1）=2，由此可知，M的取值范圍為[-2，-1]。

六、利用最大最小值求解函數(shù)表達式

二次函數(shù)有三種表達式，一般式，頂點式和雙根式，在實際應用重要利用性質(zhì)選擇恰當?shù)谋磉_式進行求解。

例4：二次函數(shù)f（x）滿足f（2）=-1，f（-1）=-1，最大值是8，求二次函數(shù)。

解：利用二次函數(shù)的頂點式求解，設函數(shù)表達式為f（x）=a（x-m）2+n。

由題意可知，函數(shù)的對稱軸為x=1/2，所以f（x）=a（x-1/2）2+8，代入f（2）=-1，可知-1=a（x-1/2）2+8，因此a=4，代入化解可知f（x）=-4x2+4x+7。

利用相關(guān)條件求二次函數(shù)常用待定系數(shù)法，選用適當?shù)谋磉_式進行計算。如果已經(jīng)知道拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸，常用頂點坐標。如果已知拋物線和x軸交點且知道橫坐標選用雙根式。

七、總結(jié)

二次函數(shù)的運算非常重要，也是考試的重點，在同學們的學習中，必須通過大量的練習，掌握不同類型計算題的方法，才能達到預期的目的。

參考文獻

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