向量在立體幾何解題中的妙用

謝紫霞

摘 要：向量是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的量，向量在不同的數(shù)學(xué)問題中有著不同的用法和作用，在解決幾何問題中展示出了特殊的妙用。向量在幾何中的應(yīng)用由點(diǎn)線面，再到立體幾何，其中有著多種存在的意義，了解向量在立體幾何中的用法及意義有助于將較為復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，對于解決復(fù)雜的立體幾何有著重要的存在意義。本文就來探討向量在立體幾何中的妙用。

關(guān)鍵詞：向量;立體幾何;解題;妙用

引言：立體幾何是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的幾何形體，我們生活中隨處可見各種各樣的立體幾何。立體幾何同樣是數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要知識，巧妙的解決立體幾何問題是靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的表現(xiàn)。通過立體幾何的構(gòu)成，我們認(rèn)識到立體幾何中存在著較多的向量。不管它是圓柱、棱柱，還是圓錐、棱錐，我們都可以通過尋找立體幾何中存在的向量關(guān)系，找到計(jì)算和證明立體幾何的方式。并且，通過尋找有效的向量關(guān)系，還能夠簡化問題的思路，將復(fù)雜的問題簡單化，從而巧妙靈活的解決數(shù)學(xué)問題。

一、立體幾何中常見的向量類型

（一）直線的方向向量

與經(jīng)過已知點(diǎn)直線平行的直線的非零向量就叫做直線的方向向量，表示為=。

（二）平面的法向量

在同一空間，如果直線l垂直于平面a，直線l的方向向量為，向量交租平面a的法向量，表示為·=0[1]。

二、利用向量解決立體幾何問題的優(yōu)點(diǎn)

（一）解題思路清晰化

立體幾何的難點(diǎn)在于沒有具體的數(shù)據(jù)，因此最簡單的方法就是將立體幾何代數(shù)化。立體幾何代數(shù)化使點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系清晰化，解題思路自然也就清晰化了。而向量關(guān)系就是解決立體幾何非代數(shù)化的關(guān)鍵，因此，向量也是使立體幾何解題思路清晰化的關(guān)鍵。

（二）簡化運(yùn)算過程

立體幾何中的很多關(guān)系往往需要較長的推理才能得出，借助向量法解決一些需要推理的立體幾何問題，可以直接通過向量為立體幾何建立關(guān)系，使得立體幾何的解題思路直觀明了，簡化了推理點(diǎn)、線、面關(guān)系的過程。因此，巧用向量解決立體和問題可以簡化運(yùn)算過程。

（三）復(fù)雜問題簡單化

不少立體幾何問題的證明看似復(fù)雜，實(shí)則存在著很多直線、平面以及角度之間的關(guān)系，此時(shí)借助輔助線可以為尋找立體幾何直線、平面以及角度之間的關(guān)系搭建橋梁，通過向量來順利的找到其中的關(guān)系，從而確立解題思路。簡而言之，向量的引入可以使較為抽象的立體幾何空間關(guān)系有了明確的坐標(biāo)、代數(shù)關(guān)系等，同時(shí)使立體幾何的空間關(guān)系具體化，使簡單的問題復(fù)雜化。

三、立體幾何中常見向量妙用

向量在立體幾何中的妙用主要是借助平行關(guān)系、垂直關(guān)系、夾角問題以及距離問題體現(xiàn)，還經(jīng)常會借助輔助線、坐標(biāo)系、假設(shè)代數(shù)關(guān)系等完成，巧妙之處在與為看似復(fù)雜的幾何空間創(chuàng)建解決實(shí)際幾何問題需要的關(guān)系，并通過各種相關(guān)關(guān)系之間的聯(lián)系來相互轉(zhuǎn)化和推理。以下是常見的向量在幾何問題中的妙用。

（一）平行關(guān)系

如下圖1正方體所示，長房體的棱長為1，M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，求直線AM和CN所成角的余弦值。解題思路如下：

先使兩條異面直線的平行線相交，確定目標(biāo)三角形，然后用余弦定理來計(jì)算三角形的夾角，從而求出異面直線所成的角的角度。在利用平行關(guān)系解此題是需要分別作出B1E、NF、FC3條輔助線，以直觀的觀察該正方體中的平行關(guān)系。

（二）垂直關(guān)系

如下圖2正方體所示，E點(diǎn)和F點(diǎn)分別是BB1和CD的中點(diǎn)。求證D1F⊥平面ADE。由于在該正方體問題中沒有明確的代數(shù)關(guān)系，因此首先應(yīng)該假設(shè)一個(gè)明確的代數(shù)關(guān)系，然后應(yīng)用向量正交基底解決該問題[2]。解題思路如下：

設(shè)正方體棱長為1，以，，為單位正交基底，并以建立D為頂點(diǎn)建立坐標(biāo)系

（1，0，0），=（1，1，），=（0，，-1）

所以·=0，·=0

所以，⊥

又因?yàn)镈A與DE相交形成D點(diǎn)

所以⊥平面ADF

結(jié)語：綜上所述，立體幾何問題都可以通過尋找平行關(guān)系、垂直關(guān)系、夾角問題、距離問題等向量關(guān)系來實(shí)現(xiàn)。向量在立體幾何中的應(yīng)用可以使立體幾何相對簡單化，同時(shí)找到解決問題的對應(yīng)關(guān)系，是巧妙解決立體幾何的有效途徑。因此建議教師在教授立體幾何時(shí)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生探索向量關(guān)系，主動(dòng)思考向量與立體幾何之間的關(guān)系，這有助于學(xué)生加深對于立體幾何的理解問題。

參考文獻(xiàn)

[1]王博文.向量在立體幾何解題中的妙用[J].中學(xué)課程資源，2012（09）：55-57.

[2]劉福亮.向量法在立體幾何解題中的妙用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（13）：83.