初高中銜接教學中數(shù)學抽象的案例研究

【摘要】初高中銜接教學，不單單是學習習慣的改變、數(shù)學知識增多等，更是漸進式發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要階段。數(shù)學抽象是“六大”核心素養(yǎng)之首，是數(shù)學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學產(chǎn)生、發(fā)展、應用的過程中。函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，也是函數(shù)中一個重要的概念。在函數(shù)單調(diào)性概念的形成中，經(jīng)歷由具體到抽象、由圖形語言和自然語言到符號語言表達的過程，是發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)一個很好的載體。本文嘗試以函數(shù)單調(diào)性教學中3個教學片斷解析數(shù)學抽象的三個水平層次，探討“數(shù)學抽象”核心素養(yǎng)的課堂教學。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學抽象；單調(diào)性；核心素養(yǎng)

初高中銜接教學，不單單是學習習慣的改變、數(shù)學知識增多等，更是漸進式發(fā)展提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要階段。數(shù)學抽象是“六大”核心素養(yǎng)之首，是數(shù)學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學產(chǎn)生、發(fā)展、應用的過程中。下面以函數(shù)單調(diào)性的教學中三個教學片斷為例，探討“數(shù)學抽象”核心素養(yǎng)的課堂教學。

一、教學片斷1：（定義的抽象）

師：同學們，我們都上過坡吧！請大家在紙上用筆畫出坡的形狀。

學生紛紛動筆，約一分鐘后。

師：請同學們把你們所畫的相互間交流一下，等下請你們把畫得不同的、具有代表性的交上來，將它們投影出來。

約2分鐘后，學生交上所畫的。我挑出四份將它們投影如下：

師：還有其他的形狀嗎？

生1：這樣也是的嗎？

生1將所畫的交上來，我將它投影如下：

師：請同學們討論一下，圖2能否表示上坡的形狀？

同學們紛紛議論，交流各自不同的看法。約一分鐘后，筆者請一位代表回答。

生2：這也是上坡的形狀，因為它表示的是人隨著時間推移在上升，斷開的地方可以當作臺階。

師：現(xiàn)在我們將這些曲線放在平面直角坐標系中，請同學們觀察它們有什么共同特點？

生3：曲線上的y值隨x的增大而增大。

師：我們能否用通過曲線上的點的坐標表達這些曲線的特點呢？幾個點比較合適呢？

問題提出后，有的同學顯得有點茫然，有的同學呈苦苦思索狀。

生4：這個有點難，難就難在曲線上有無數(shù)個點，要是點是有限的就好辦了，最好是兩個。

師：那你能寫出圖4中五點的坐標滿足的關(guān)系嗎？

生4：

師：若圖4中的點A與點B它們在曲線可以任意運動，你能說出它們的坐標關(guān)系嗎？

生5：若則有。

師：這樣的A、B兩點能否代表圖4中曲線上所有點的坐標所滿足的關(guān)系嗎？請同學們思考一下，我們可以用什么語言來描述圖1中上升曲線？

同學們經(jīng)過了相互交流，得到如下的表述：

對于一個給定區(qū)間上任意兩個，若則有。

師：這就是我們今天學習的函數(shù)單調(diào)性中單調(diào)遞增函數(shù)的定義。

設計意圖：筆者以上坡來引入單調(diào)性，相比教材觀察函數(shù)的圖像導入，更為直觀具體，更貼近學生的生活，有利于學生抽象出單調(diào)性概念，并能用數(shù)學符號表達。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)一個非常重要的性質(zhì)，也是今后學習導數(shù)與斜率的基礎(chǔ)。我們需用圖形、文字、符號三種語言來詮釋它，學生才能深刻理解函數(shù)的單調(diào)性。從上坡作為引入情境，讓學生抽象其曲線形狀，然后引入平面直角坐標系，轉(zhuǎn)化為研究曲線上點的坐標的關(guān)系，最后簡化為研究曲線上任意兩點的坐標關(guān)系來研究函數(shù)的單調(diào)性。這其中包含了三個抽象過程：一是從上坡抽象為曲線形狀；二是從曲線形狀抽象為用若干點坐標來描述其上升趨勢；三是從若干點坐標簡化為任意兩點坐標來描述其上升趨勢，這里對“任意”量詞的理解是學生學習的一個難點，最終抽象為嚴格化的定義。

二、教學片斷2：（定義的應用）

1.如圖，是定義在閉區(qū)間[-7，8]上的函數(shù)y=f（x）的圖象，根據(jù)圖象說出y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)還是減函數(shù)。

2.根據(jù)圖像說出函數(shù)，，的單調(diào)區(qū)間。

3.證明：函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù).

4.判斷函數(shù)在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論？

（讓學生獨立自主完成上述練習題，教師講解后，要留一定的時間給學生反思回顧）

設計意圖：本例設置4個小題：第1小題從圖像判斷函數(shù)單調(diào)性；第2小題是由函解析式聯(lián)想到圖像，再由圖像判斷函數(shù)單調(diào)性，這三個函數(shù)分別是正比例函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)，學生在初中已經(jīng)學習過；第3小題是直接用定義證明，對學生數(shù)學運算要求比較高；第4小題含參一次函數(shù)單調(diào)性的判斷。

首先是學生可以通過對前2個小題的觀察、比較、分析等，對函數(shù)單調(diào)性的圖形語言更明了，而函數(shù)單調(diào)性符號語言與初中對函數(shù)圖像變化描述的自然語言對比，從而能主動建構(gòu)為形成三種語言表述的嚴謹概念系統(tǒng)；其次，后2個小題為學生及時提供應用概念進行推理、論證的機會，在應用中強化概念，以防止由于沒有經(jīng)歷概念形成的原始過程而出現(xiàn)的概念加工不充分、理解不深刻的情況，而其中的數(shù)學運算及分類討論，也滲透了數(shù)學核心素養(yǎng)。學生獨立自主完成有關(guān)練習題，我們教師對練習題加以點評分析后，要留一定的時間給學生去反思回顧，這樣可以使學生經(jīng)歷一次新的抽象概括過程，能夠在新的情境中選擇和運用數(shù)學方法解決問題。從而深化概念的理解，使概念掌握得牢固，并能用來解決新的問題。

三、教學片斷3（定義的拓展）

1.函數(shù)f（x）的定義域為D，若對，有.試判斷函數(shù)f（x）在定義域為D上的單調(diào)性。

2.已知函數(shù)f（x）是R上單調(diào)遞增函數(shù)，且f（1）=0，若，求x的取值范圍。

3.已知函數(shù)，試求a的取值范圍。

設計意圖：第1小題，由，當 即有或

有即有，故函數(shù) f（x）在定義域為D上是減函數(shù)。這是函數(shù)單調(diào)性定義的變式，這種等價的形式化與斜率、導數(shù)定義形式一致。通過形式化理解單調(diào)性的抽象結(jié)構(gòu)，能夠理解數(shù)學表達一般性，有助于學生能夠感悟高度概括、有序多級的數(shù)學知識體系。第2小題，從函數(shù)單調(diào)性定義得出，有有或依此作出函數(shù)草圖，易得出結(jié)論c>2或x<1，有助于學生從符號語言與圖形語言兩個方面理解函數(shù)單調(diào)性，可以在綜合的情境中抽象出數(shù)學問題，并用恰當?shù)臄?shù)學語言予以表達。第3題，分段函數(shù)的單調(diào)性，對應片斷1中圖3最后一種情形，注意x=1處應滿足f -（0）≥f +（0）即a≤4，這是一種不連續(xù)的分段函數(shù)的單調(diào)性，需把握分段函數(shù)的圖形特征，將函數(shù)單調(diào)性的定義運用在特定的點，并用準確的數(shù)學語言予以表達，從而感悟函數(shù)單調(diào)性中x1、x2的任意性，理解單調(diào)性定義的一般性。

四、案例反思

《普通高中數(shù)學課程標準》（2017年版）附錄1（數(shù)學學科核心素養(yǎng)的水平劃分），對六大數(shù)學核心素養(yǎng)均劃分為三個水平層次。筆者試圖以三個教學片斷對應數(shù)學抽象的三個水平層次作比較初淺的解析。

教學片斷1：學生能從具體情境抽象出數(shù)學單調(diào)性概念，并能用數(shù)學符號表示；教學片斷2：學生理解函數(shù)單調(diào)性的三種語言的表述，并能用之判斷證明；教學片斷3：學生能在綜合情境中恰當應用函數(shù)單調(diào)性數(shù)學語言，理解單調(diào)性不同的形式表達。

對于上述三個教學片斷中，筆者認為教學片斷1才是我們單調(diào)性教學的難點，也應該是教學亮點。數(shù)學概念的教學，應根植于學生的生活土壤，我們呈現(xiàn)給學生的知識應該是火熱的教育形態(tài)，而非冰冷的學術(shù)形態(tài)，將知識發(fā)生發(fā)展的過程原生態(tài)地呈現(xiàn)給學生，我們教師做的只適當?shù)囊龑?。這是數(shù)學家的思維，也是創(chuàng)新思維。教學片斷2、3更多的是知識演繹，而教學片斷1體現(xiàn)的是數(shù)學抽象對創(chuàng)新思維的價值，知識的演繹可以通過訓練達成，而思維的突破需要更多的呵護與鼓勵！

史寧中教授認為，抽象有兩個層次，一個是直觀描述，另一個是符號表達。史教授建議教師在教學中必須先知道第一次抽象，即物理背景，具體的背景，不要遨游于一大堆抽象的符號之間，先要為學生提供感性認識，有了直觀，才能判斷。第二次抽象，引導幫助學生形成符號語言，即讓學生會用符號語言描述。學生身邊的事物是最鮮活的也是最直觀的情境，同時也是學生最感興趣的。我們數(shù)學教師應該思考如何將學生在生活中的所見、所聞、所感融入數(shù)學課堂，從生活化實例中抽象出數(shù)學概念與規(guī)則，讓學生學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，打開數(shù)學抽象之門。

[本文系廣東教育學會教育科研規(guī)劃小課題研究項目立項課題“廣州市增城區(qū)第一中學數(shù)學初高中銜接教學的實踐與研究”結(jié)題成果，課題編號：GDXKT14649）]

參考文獻：

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