知其然，更要知其所以然

黃素娟 麥健泉

【摘要】在北師大版教材中，有很多內(nèi)容需要用表格來解決問題。這些表格有些是書本上本來就有的，有些是老師為了幫助學(xué)生問題解決而自行設(shè)計的。隨著對新課標(biāo)理念理解的深入，筆者發(fā)現(xiàn)老師用表格解決問題的過程中存在各種各樣的問題：只關(guān)注表格的填寫，忽視對表格的理解，只關(guān)注表格的應(yīng)用，忽視對表格的體驗，過分強調(diào)表格，忽略甚至否定其它方式，影響了利用表格解決問題的有效性。本文旨在通過具體的教學(xué)案例對存在問題進行分析，同時提出解決的辦法，以提高利用表格解決問題的有效性。

【關(guān)鍵詞】列表格；內(nèi)涵；必要性；優(yōu)越性

“獲得分析問題與解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識”是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》確定的課程目標(biāo)之一。為了有效落實這一目標(biāo)，北師大版教版教材在第一學(xué)段與第二學(xué)段均在解決問題的策略方面安排了相應(yīng)的內(nèi)容，讓學(xué)生掌握畫圖、列表、嘗試與猜測、從特例中尋找規(guī)律等解決問題的策略，這些內(nèi)容成為北師大版教版教材的一個亮點。在用表格解決問題的課堂中使用的表格有些是書本上本來就有的，有些是老師為了幫助學(xué)生問題解決而自行設(shè)計的。隨著對新課標(biāo)理念的理解的深入，筆者發(fā)現(xiàn)了老師在用表格解決問題的課堂中存在各種各樣的問題，影響了利用表格解決問題的有效性。主要存在的問題包括以下三點，下面筆者結(jié)合具體的教學(xué)片段進行說明。

一、只關(guān)注表格的填寫，忽視對表格的理解

教學(xué)片段一：《長方體的體積》

（課件演示：長、寬、高分別都有一個條件改變，兩個條件不變，長方體體積的大小發(fā)生改變）

師：從上面的演示，我們知道了長方體的體積與什么有關(guān)？

生：與長方體的長、寬、高有關(guān)

師：請同學(xué)們大膽猜想一下，長方體的體積與長方體的長、寬、高有什么關(guān)系？

生：長方體的體積=長×寬×高

師：想知道猜想的結(jié)果對不對，我們就要驗證了，請同學(xué)們分小組動手?jǐn)[出幾個不同長方體，觀察每個長方體的長寬高分別是多少？體積是多少？填好以下表格。

（讓學(xué)生打開書本填寫好書本表格）

學(xué)生根據(jù)老師的要求，分小組擺出不同的長方形，記錄長方體長、寬、高的數(shù)量，再觀察表格利用數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，很快就得到結(jié)論：長方體的體積=長×寬×高?？雌饋硇性屏魉愕囊还?jié)課，但是仔細推敲一下，就會發(fā)現(xiàn)以下問題：1.為什么要擺幾個長方體？2.為什么要數(shù)出有幾個小正方體？3.表格為什么這樣設(shè)計呢？每一步的用意何在？4.長方體的體積是數(shù)出來的還是算出來的……學(xué)生填寫表格困難不大，但是學(xué)生只是知道怎么做，卻不理解為什么要這樣做。這是典型的數(shù)學(xué)中的“會而不懂”的現(xiàn)象。

二、只關(guān)注表格的應(yīng)用，忽視對表格的體驗

教學(xué)片段二：《誰先走》

師：用拋瓶蓋決定誰先走，這個游戲規(guī)則公平嗎？

生1：公平，因為蓋面朝上的可能性與蓋面朝下的可能性都是只有一種，可能性相等

生2：不公平，因為蓋子一面重一些，一面輕一些。

生3：公平，拋瓶蓋類似于拋硬幣，公平

師：要知道拋瓶蓋決定誰先走這種游戲規(guī)則是否公平，我們可以怎么做？

生：動手拋一拋。

師：對的，實驗出真知，我們就拋一拋瓶蓋，請各小組按照活動要求拋一拋，把數(shù)據(jù)記錄下來，并把數(shù)據(jù)填到匯總表。

各小組根據(jù)活動要求開展活動，并填寫好匯總表，電腦自動匯總數(shù)據(jù)，學(xué)生通過觀察數(shù)據(jù)得到結(jié)論：蓋面朝上的可能性小，蓋面朝下的可能性大，這種游戲規(guī)則是不公平的。這個表格書本上是沒有的，是教師為了幫助學(xué)生理解而自行設(shè)計的，目的是讓學(xué)生利用更多的數(shù)據(jù)來得到結(jié)論，避免個別組的結(jié)果因為偶然性使結(jié)論產(chǎn)生偏差。只是，對于這個突然出示的匯總表，學(xué)生往往不會去思考目的與意義何在，學(xué)生只會按老師的指示去完成。這樣又是一個典型的“會而不懂”的現(xiàn)象。

三、過分強調(diào)表格，忽略甚至否定其它方式

教學(xué)片段三：《嘗試與猜測》

（教師出示題目：雞兔同籠，有8個頭，26條腿，請問雞兔各有幾只？）

師：雞有幾只，兔有幾只？你是怎樣想的？

生：我是這樣想的：當(dāng)雞為8只，兔為0只的時候，腿數(shù)為16；當(dāng)雞的只數(shù)為7只，兔為1只的時候，腿為18，依次類推，當(dāng)雞為3只，兔為5只的時候，腿就剛好是26。

師：如果我們把這位同學(xué)都想法填在表格上，你有什么感受？

（教師出示表格，把學(xué)生的匯報填寫在表格里，讓學(xué)生觀察）

生：很整齊，很有條理。

師：我們的書本就是用列表格來解決這類問題，我們今天就學(xué)習(xí)用表格解決嘗試與猜測的問題。

教師出示問題情境后直接讓學(xué)生用列表策略解決，而不關(guān)心學(xué)生是否產(chǎn)生學(xué)習(xí)這種策略的內(nèi)需。教材選擇列表整理是因為它易于操作，便于學(xué)生運用。學(xué)生是生動活潑的，富有個性的。教師要尊重學(xué)生的選擇，讓大多數(shù)學(xué)生能采用適合自己的方式整理信息，在介紹列表格解決問題時，要突出列表格的優(yōu)勢，讓學(xué)生自覺產(chǎn)生選擇這種方法的需要，而不宜過分強調(diào)列表整理信息，忽略甚至否定其他整理形式。

列表格解決問題是解決數(shù)學(xué)問題的一種策略，它可以很好的幫助學(xué)生整理信息，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，而且能做到不重復(fù)，不遺漏，對培養(yǎng)學(xué)生有序思考問題提供一種很好的數(shù)學(xué)模型。但是在實際教學(xué)中往往會只關(guān)注表格的填寫、使用，忽略了對表格的理解與體驗，往往造成學(xué)生“會而不懂”如何用好這種策略，針對以上常見的問題，筆者對以上三個教學(xué)片段加以改進來說明：

四、書本呈現(xiàn)的表格，一定要讓學(xué)生理解表格的內(nèi)涵

教學(xué)片段一改進：

（電腦演示一個長方體，由三個小正方體組成）

師：同學(xué)們，你能擺出一個體積更大的長方體嗎？擺完后說一說你是怎樣做到的？

生：我是在原來的長方體上面增加一行，長方體的長、寬沒有改變，高增加了，體積也增加了。

生2：我是在原來的長方體后面增加一行，長方體的長、高沒有改變，寬增加了，體積也增加了。

生3：我是在原來的長方體左邊面增加一個小正方體，長方體的寬、高沒有改變，長增加了，體積也增加了。

師：長方體的體積可能跟什么有關(guān)？有什么關(guān)系？誰愿意大膽的猜一下。

生：我覺得長方體的體積與長方體的長寬高有關(guān)，長方體的體積=長×寬×高

師：你們都認(rèn)為這樣嗎？你們準(zhǔn)備怎樣驗證，請在小組內(nèi)制定出驗證的方案。

（學(xué)生分組討論，得到共識后匯報）

生：我們這一小組認(rèn)為需要動手?jǐn)[出更多的長方體，然后記錄每個長方體的長、寬、高，數(shù)一數(shù)長方體的體積，看看體積是否等于長乘寬乘高就可以了。

生：我們小組的方法也基本相同。但是要多擺幾個長方體進行比較，數(shù)據(jù)多一點會更有說服力。

師：你的回答總是那么精彩。你們覺得這種方法可行嗎？

生：可行。

師：那也就是說我們要做的就是擺長方體，記錄長寬高的數(shù)據(jù)，數(shù)一數(shù)每個長方體的體積，并利用得到的數(shù)據(jù)計算長方體的體積，檢驗一下是否與數(shù)正方體個數(shù)得到的體積一致？

（教師一邊說，一遍利用多媒體呈現(xiàn)表格）

師：只是擺一個夠不夠？

生：不夠，要多擺幾個看看是不是每一個長方體都是這樣。

師：我欣賞這樣的態(tài)度，任何科學(xué)的驗證都不可能一次就得到結(jié)論，所有要多擺幾個。

教師一邊說，一遍利用多媒體呈現(xiàn)表格：

以上教學(xué)片段，老師沒有讓學(xué)生馬上動手實踐、填表，而是讓學(xué)生分組討論出驗證的方案。在學(xué)生匯報方法時，教師提取出關(guān)鍵詞：擺——記錄——數(shù)——計算，根據(jù)關(guān)鍵詞呈現(xiàn)出相應(yīng)的表格。教師就這樣不著痕跡的引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了表格形成的過程。學(xué)生真正明白了表格的每一步設(shè)計的用意，感受到這個表格對解決問題的重要性，從而會形成對表格解決問題策略的真正理解。遇到相關(guān)問題時，學(xué)生不但可以填表格，還要理解表格每一步的意圖，有效避免了“會而不懂”，真正做到知其然更要知其所以然。

五、教師設(shè)計的表格，一定要讓學(xué)生體會使用表格的必要性

教學(xué)片段二的改進：

各小組動手操作后，教師巡視，收集了一組數(shù)據(jù)展示：

生：我們小組通過實驗發(fā)現(xiàn)：蓋面朝下的可能性比蓋面朝上的可能性大。

師：第一小組用實驗證明了蓋面朝上的可能性比蓋面朝下的可能性大，你覺得這個結(jié)論一定成立嗎？你有沒有不同的意見 。

生：我們這一組通過拋瓶蓋發(fā)現(xiàn)：

生：我們組不同意這個結(jié)論，我們小組通過實驗發(fā)現(xiàn)：蓋面朝下的可能性比蓋面朝上的可能性大。

師：這個小組得到的結(jié)論與第一小組的結(jié)論剛好相反，你們認(rèn)為這個結(jié)論一定成立嗎？

生：不行，因為拋的次數(shù)太少了

師：你認(rèn)為我們的樣本太小了，不足以說明問題，那么你覺得我們怎樣做，才能更好地說明問題？

生：需要更大的樣本。

師：你們認(rèn)為應(yīng)該取多少個小組比較合適？

生：我們班就有8個小組，不如把8個小組的數(shù)據(jù)全部匯總起來

師：這個同學(xué)真有想法，知道利用數(shù)據(jù)最大化。是的，樣本越大就越接近事物的本質(zhì)。

教師呈現(xiàn)匯總表，讓學(xué)生匯報數(shù)據(jù)。

對于教師“一廂情愿”提供的匯總表表格，學(xué)生能接受嗎？如果不使用教師提供的匯總表格，學(xué)生能否解決問題呢？其實大部分學(xué)生都能根據(jù)題中隱含的數(shù)量關(guān)系自己獨立解決，只不過他們是憑經(jīng)驗而為，解題思路相對比較無序。面對這樣的教學(xué)起點，如果我們一廂情愿地告訴學(xué)生解決問題要用教師提供的表格整理信息，解決問題，那么學(xué)生不但不能體會列表的好處，相反容易產(chǎn)生厭煩的情緒。因此，要讓學(xué)生形成并掌握列表的策略，首先要做的到的就是讓學(xué)生體會到列表的好處，激發(fā)學(xué)生尋求列表格解決問題的需要。同樣是利用表格匯總數(shù)據(jù)，得到結(jié)論，但是原來的教學(xué)片段三直接出示表格，讓學(xué)生匯總，學(xué)生只是盲目跟從老師要求進行匯總，但是為什么要匯總數(shù)據(jù)，學(xué)生根本不了解也沒有想過要去了解，知其然而不知其所以然。而改進后的教學(xué)片段三，教師注重利用學(xué)生現(xiàn)場生成的數(shù)據(jù)，引發(fā)知識的沖突，讓學(xué)生體現(xiàn)了匯總表的必要性，匯總表格的出現(xiàn)就是水到渠成了，真正讓學(xué)生做到知其然也知其所以然。

六、用列表格解決問題，一定要學(xué)生感受列表格解決問題的優(yōu)越性

教學(xué)片段三改進：

師：剛才同學(xué)們在小組內(nèi)進行了交流，每個小組確定了一種方法來解決這個簡單的問題，下面請各小組派上講臺給大家交流他們的解決問題的方法。有請第一小組的同學(xué)進行交流，大家要認(rèn)真傾聽，隨時向這個小組提問。

生：我們小組用的是畫圖的方法。我們先畫8個圓代表8個頭，然后個頭添上2條腿，就一共添了16條腿，這個時候雞的腿數(shù)齊了，剩下10條腿的全是兔的腿了，每只兔子還差2條腿，所以再給每只兔子添上兩條腿，這樣就可以添5只兔子，所以有5只兔子，有3只雞。

師：這道題用畫圖的方法可行嗎？對于畫圖法，你有什么想說的？

生：我覺得這個方法可以，如果數(shù)目較多的時候，畫圖就麻煩了。

師： 哪一小組的方法與他們小組的不一樣？

生：我們小組是用的假設(shè)法，當(dāng)雞為8只，兔為0只的時候，腿數(shù)為16；當(dāng)雞的只數(shù)為7只，兔為1只的時候，腿為18，依次類推，當(dāng)雞為3只，兔為5只的時候，腿就剛好是26，這樣都得出了雞為3只，兔為5只。我們這一小組匯報完畢，有沒有小組有問題想問？

生：我覺得用假設(shè)法是可以的，但是如果數(shù)目較多的時候，一一假設(shè)也很麻煩。而且數(shù)字一大堆，看起來比較亂。

師：如果我們把數(shù)字整理一下，看看效果怎么樣。

（教師板書，把剛才學(xué)生的方法一一有順序的呈現(xiàn)）

師：現(xiàn)在整理好了，同學(xué)們還有什么想法？

生：現(xiàn)在整理好，比較有順序，而且也容易找到規(guī)律。

師：這種方法按照一定的順序找，能做到不重復(fù)、不遺漏，而且比較方便發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如果在這個方法用表格表示，覺得怎么樣呢？ （教師直接在剛才整理的數(shù)據(jù)外面加了一個表格）

生：那就更清楚了，很有順序。

師：是的，列表格解決這道題目，比較簡單易行，表格看起來很有條理，而且不重復(fù)不遺漏，一定能找到我們需要的答案，這是一種很好的解決問題的方案，所以我們的書本就專門給我們介紹利用表格解決問題的方法，我們一起來學(xué)習(xí)吧。

在解決問題過程中，學(xué)生可以選擇多種方法解決。如在學(xué)習(xí)雞兔同籠時，學(xué)生可以畫圖、直接計算、列方程解決，也可以列表格解決問題。但是北師大版教材呈現(xiàn)的是三種列表格解決問題的方法，沒有出現(xiàn)其它方法。如果老師直接出現(xiàn)題目，讓學(xué)生獨立解決，學(xué)生卻很難想到列表格解決問題的方法。因此本節(jié)課必須引導(dǎo)學(xué)生體會到列表格方法的優(yōu)越性，從而產(chǎn)生列表格解決問題的心理需求，并主動運用列表格解決問題。

列表格，不管是書本已有的表格讓學(xué)生填寫，還是教師自行設(shè)計的幫助學(xué)生更好的解決問題的表格，都要讓學(xué)生理解表格的內(nèi)涵，讓學(xué)生在實際操作中體會到列表格的必要性與優(yōu)越性，知其然更要知其所以然，才可以真正培養(yǎng)學(xué)生利用表格解決問題的能力。讓真正理解列表格解決問題的這種良好的策略，直覺、主動的使用這種策略，讓學(xué)習(xí)更有趣更有效！