四周均布剪力作用下含圓孔無(wú)限大矩形薄板力學(xué)性能的理論研究

趙劍峰　孫大珩　徐科文　汪佳倫　邢凱　張揚(yáng)

摘 要：應(yīng)力集中嚴(yán)重影響開(kāi)孔構(gòu)件的承載能力和使用壽命。由此，本文對(duì)四周均布剪力作用下含圓孔無(wú)限大矩形薄板的力學(xué)性能進(jìn)行理論研究，得到應(yīng)力的解析解，并基于理論研究結(jié)果對(duì)孔口應(yīng)力集中情況進(jìn)行討論。

關(guān)鍵詞：圓孔;無(wú)限大矩形薄板;均布剪力;應(yīng)力集中

Abstract： Stress concentration seriously reduces the bearing capacity and service life of the member with holes. In this paper， the mechanical properties of infinite rectangular thin plate with circular holes under uniform shear force were studied theoretically， and the analytical solution of stress was obtained. Based on the theoretical results， the stress concentration at the orifice was discussed.

Keywords： circular hole;infinite rectangular thin plate;uniformly distributed shear force;stress concentration

開(kāi)孔、開(kāi)溝槽等構(gòu)件被廣泛應(yīng)用于機(jī)械制造、土木工程等領(lǐng)域。若受力彈性體具有小孔，則孔邊的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于離孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力，這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。應(yīng)力集中會(huì)降低構(gòu)件的承載能力，在小孔附近區(qū)域易出現(xiàn)疲勞裂紋，也會(huì)使脆性材料制成的零件發(fā)生靜載斷裂，尤其是一些內(nèi)部開(kāi)裂，是很難被發(fā)現(xiàn)的。上述問(wèn)題會(huì)對(duì)構(gòu)件的使用壽命產(chǎn)生極大的影響，同時(shí)也會(huì)帶來(lái)較大的安全隱患。因此，對(duì)開(kāi)孔構(gòu)件的應(yīng)力集中情況進(jìn)行研究尤為必要。本文擬基于彈性力學(xué)的基本原理，對(duì)四周均布剪力作用下含圓孔無(wú)限大矩形薄板的力學(xué)性能進(jìn)行理論研究，并基于理論研究結(jié)果對(duì)孔口應(yīng)力集中情況進(jìn)行討論。

1 理論分析

設(shè)有一無(wú)限大矩形薄板，在板的中心位置有一半徑為r的小圓孔。在無(wú)限大矩形薄板的四周受到均布剪力q的作用，不計(jì)體力，如圖1所示。

四周均布剪力作用下含圓孔無(wú)限大矩形薄板問(wèn)題屬于彈性力學(xué)平面應(yīng)力問(wèn)題。由彈性力學(xué)知識(shí)[1-3]可知，矩形板邊各點(diǎn)處于純剪切平面應(yīng)力狀態(tài)，計(jì)算得到板邊各點(diǎn)的主應(yīng)力和主方向是：

四周均布剪力作用下含圓孔無(wú)限大矩形薄板問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為在兩個(gè)相互垂直方向上分別受均布拉力q和均布?jí)毫作用的含圓孔無(wú)限大矩形薄板問(wèn)題，如圖2所示。

由于圓孔很小，由圣維南原理[1-3]可知，離孔較遠(yuǎn)處的應(yīng)力與無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力是一樣的，所以，首先假設(shè)無(wú)限大矩形薄板中心沒(méi)有圓孔，如圖3所示，計(jì)算此時(shí)矩形薄板的應(yīng)力分量。

第一，采用逆解法[1-3]。假設(shè)如式（3）所示的應(yīng)力函數(shù)：

2 討論

由四周均布剪力作用下無(wú)圓孔和含圓孔的無(wú)限大矩形薄板的應(yīng)力分量的解析解可知，當(dāng)中心無(wú)圓孔時(shí)，其應(yīng)力分布只與有關(guān)，而與[ρ]是無(wú)關(guān)的;當(dāng)中心有圓孔時(shí)，其應(yīng)力分布不僅與有關(guān)，而且與有關(guān)，越趨近，環(huán)向正應(yīng)力越大，即圓孔處的環(huán)向正應(yīng)力最大。

四周均布剪力作用下含圓孔無(wú)限大矩形薄板的-45°和45°方向的環(huán)向正應(yīng)力[σφ]隨著[ρ]的變化規(guī)律曲線如圖5所示。環(huán)向正應(yīng)力[σφ]在孔口-45°和45°方向取得極值。通過(guò)對(duì)比四周均布剪力作用下的無(wú)限大矩形薄板的中心有圓孔和無(wú)圓孔時(shí)的應(yīng)力解答，可以得到四周均布剪力作用下含圓孔無(wú)限大矩形薄板的應(yīng)力集中系數(shù)是4.0。

3 結(jié)語(yǔ)

本文利用彈性力學(xué)平面問(wèn)題應(yīng)力法完成對(duì)四周均布剪力作用下含圓孔無(wú)限大矩形薄板力學(xué)性能的理論分析，得到應(yīng)力的解析解，并基于理論研究結(jié)果對(duì)孔口應(yīng)力集中情況進(jìn)行討論。研究結(jié)果表明，四周均布剪力作用下含圓孔無(wú)限大矩形薄板的環(huán)向正應(yīng)力[σφ]在孔口-45°和45°方向取得極值，應(yīng)力集中系數(shù)是4.0。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐芝綸.彈性力學(xué)[M].5版.北京：高等教育出版社，2016.

[2]王敏中，王煒，武際可.彈性力學(xué)教程[M].北京：北京大學(xué)出版社，2002.

[3]楊桂通.彈性力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2005.