初等數(shù)學(xué)中待定系數(shù)法的應(yīng)用

盧雨晴

摘 要：待定系數(shù)法是一種求未知數(shù)的基本的數(shù)學(xué)方法，而且也是初等數(shù)學(xué)重要的思想方法.本文從待定系數(shù)法的概念出發(fā)，結(jié)合初等數(shù)學(xué)教學(xué)中許多相關(guān)的具體實(shí)例，介紹了待定系數(shù)法在其中的一些基本應(yīng)用，體現(xiàn)了待定系數(shù)法應(yīng)用的廣泛性以及重要性.

關(guān)鍵詞：待定系數(shù)法;方程思想;待定系數(shù)法的應(yīng)用

一、待定系數(shù)法在因式分解中的應(yīng)用

對(duì)于因式分解的問題有我們有很多種解題方法，比如所熟悉的提公因式法、配方法、分組分解法、換元法等等，事實(shí)上，也可以利用待定系數(shù)法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，尤其是對(duì)于高次多項(xiàng)式的分解更加簡便. 采用待定系數(shù)法對(duì)因式進(jìn)行分解，其最大的優(yōu)越性在于能夠清楚地確定，原式究竟可以具體分解成幾個(gè)整式之間的乘積.

例1? 將多項(xiàng)式2x2+5xy+3y2+3x+5y-2進(jìn)行因式分解.

解? 因?yàn)?x2+5xy+3y2=（x+y）（2x+3y）.由題意得此二次多項(xiàng)式可以表示成x+y+m和2x+3y+n的乘積的形式，故令

2x2+5xy+3y2+3x+5y-2=（x+y+m）（2x+3y+n），

因?yàn)椋▁+y+m）（2x+3y+n）=2x2+5xy+3y2+（2m+n）x+（3m+n）y+mn，根據(jù)多項(xiàng)式恒等原理，則有

解得m=2，n=-1，綜上

2x2+5xy+3y2+3x+5y-2=（x+y+2）（2x+3y-1）.

二、待定系數(shù)法在數(shù)列問題中的應(yīng)用

在解決數(shù)列的相關(guān)問題中，我們最為常見的數(shù)列就是等差數(shù)列和等比數(shù)列，而且在高中期間求它們的通項(xiàng)公式對(duì)于我們來說也非常容易的.但是，在初等數(shù)學(xué)研究中，我們也經(jīng)常需要求解一個(gè)既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，尤其是會(huì)在已知條件中，明確的給出數(shù)列相鄰兩項(xiàng)并成線性關(guān)系的時(shí)候，這往往就需要我們用待定系數(shù)的方法來解決此類問題.

例2? 對(duì)于數(shù)列{an}，有，求此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解 由題意設(shè)數(shù)列{an+k}是等比數(shù)列，k∈R.因?yàn)閍n+k=3（an-1+k），則an=3an-1+2k，可得k=2.

所以{an+2}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.故有an+2=3n-1，

綜上可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=-2+3n-1（n∈N*）.

三、待定系數(shù)法在解析幾何中的應(yīng)用

待定系數(shù)法最為常見的應(yīng)用就是于解析幾何問題中的應(yīng)用，例如在高中期間，我們學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線以及拋物線的方程以及相關(guān)的性質(zhì).在解決這類問題時(shí)，待定系數(shù)法就得到了充分的應(yīng)用.將待定系數(shù)法進(jìn)行靈活的利用，有利于提高同學(xué)們的解題速度.

例3? 拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線y=-3與拋物線交于點(diǎn)A，且|AF|=5，求滿足此條件的拋物線的方程.

解? 設(shè)所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的方程為y2=2px（p≠0），A（m，-3）.由拋物線的定義，得

.

又2pm=（-3）2，p=±1或p=±9.

綜上所求的拋物線方程為y2=±2x或y2=±18x.

總結(jié)

本文闡述了待定系數(shù)法在解決初等數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用以及論述了相關(guān)解題技巧. 在很多初等數(shù)學(xué)問題的解決過程中，直接對(duì)問題進(jìn)行求解會(huì)顯得很繁瑣，甚至很多時(shí)候無法求出問題的答案，如果采用待定系數(shù)法就可以很容易的找到未知數(shù)與已知數(shù)之間的必要聯(lián)系，然后通過列出某些待定系數(shù)所滿足的方程組并求出其值，最后再根據(jù)已知條件解題就可以使問題化繁為簡.總而言之，采用待定系數(shù)法使解題思路更加清晰，操作起來也更加方便.

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