數(shù)學(xué)建模思想在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用

杜輝 郭立豐 畢波

摘 要：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是大學(xué)數(shù)學(xué)非常重要的一門課程，應(yīng)用性很強(qiáng)，將數(shù)學(xué)建模思想植入到概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，能有效的提高概率的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì);數(shù)學(xué)建模;應(yīng)用

一、前言

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它和《高等數(shù)學(xué)》、《線性代數(shù)》構(gòu)成了大學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分。它的研究對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、金融、保險(xiǎn)、經(jīng)濟(jì)與企業(yè)管理、醫(yī)學(xué)、地質(zhì)學(xué)、氣象與自然災(zāi)害預(yù)報(bào)等方面都有非常重要的應(yīng)用，是高校各理工科專業(yè)非常重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程目前的教學(xué)現(xiàn)狀多是以理論講解為主，以教師為主的“滿堂灌”的教學(xué)模式?，F(xiàn)階段，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的教學(xué)亟待解決的問(wèn)題是：如何改變枯燥的教學(xué)模式、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，如何加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，從而將其應(yīng)用到解決實(shí)際問(wèn)題中。通過(guò)多年的教學(xué)筆者發(fā)現(xiàn)將數(shù)學(xué)建模思想融入概率教學(xué)中是一種行之有效的方法。

將數(shù)學(xué)建模思想融入概率教學(xué)中，可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)的不足之處，有利于推動(dòng)大學(xué)數(shù)學(xué)公共課程的改革，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要的意義。在課堂上引入實(shí)際生活中的案例，應(yīng)用相應(yīng)的概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，能夠讓學(xué)生更好地了解改門課程相關(guān)知識(shí)的背景以及實(shí)際意義，能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。[1]

二、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的數(shù)學(xué)建模案例

（一）等可能概型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

等可能概型，也叫做古典概型。它的基本思想是：一個(gè)試驗(yàn)的所有的基本事件發(fā)生的可能性是相同的。這樣的概率模型叫做等可能概型，等可能概型中隨機(jī)事件的概率可以用相應(yīng)的公式來(lái)計(jì)算。

例1 （遺傳問(wèn)題）每個(gè)人的基因都是一份來(lái)自父親，一份來(lái)自母親.同樣地，他的父親和母親的基因也有兩份.在生殖的過(guò)程中，父親和母親各自隨機(jī)地提供一份基因給他們的后代。

以褐色的眼睛為例.每個(gè)人的基因都一份基因顯示他的眼睛顏色：（1）眼睛為褐色;（2）眼睛不為褐色.而“眼睛為褐色”的基因是顯性基因。用字母B代表“眼睛為褐色”這個(gè)顯性基因，用b代表“眼睛不為褐色”這個(gè)基因，則一個(gè)人眼睛顏色的基因有BB，bb（表示父親提供基因B，母親提供基因b），bB，bb，注意在BB，Bb，bB和bb這4種基因中只有bb基因顯示為眼睛顏色不為褐色，其他的基因都顯示眼睛顏色為褐色.假設(shè)父親和母親控制眼睛顏色的基因都為Bb，則孩子眼睛不為褐色的概率有多大？

分析：孩子有可能產(chǎn)生的基因有4種，即BB，Bb，bB ，bb（如右圖）.又父親或母親提供給孩子基因B或b的概率是一樣的，所有可以認(rèn)為孩子的基因是這4種中的任何一種的可能性是一樣的，因此，這是一個(gè)等可能概型問(wèn)題.只有當(dāng)孩子的基因?yàn)閎b時(shí)，眼睛才不為褐色，所以，“孩子眼睛不為褐色”這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率為1/4=0.25。

（二）貝葉斯公式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

例 資料顯示，某國(guó)家某項(xiàng)傳染病血液檢測(cè)，患者呈陽(yáng)性反應(yīng)的概率為 95 %， 而健康人這種檢測(cè)的準(zhǔn)確率（即沒(méi)有病的人檢查為陰性）為 99 %.經(jīng)調(diào)查，該國(guó)家估計(jì)大約有1/1000的人患病.為了能有效地控制、減緩該病的傳播，曾有人建議對(duì)申請(qǐng)新婚登記的新婚夫婦進(jìn)行這種血液檢查.該計(jì)劃提出后，遭到專家的強(qiáng)烈反對(duì)，下面利用貝葉斯公式分析專家反對(duì)這項(xiàng)計(jì)劃的原因。 [3]

設(shè)A={檢查為陽(yáng)性}，B={患病}.由已知：

即檢測(cè)呈陽(yáng)性則此人患病概率約為0.087.這個(gè)結(jié)果似乎與實(shí)際不符，但從資料顯示來(lái)看 ，這種檢測(cè)的精確性似乎很高.因此 ，一般人可能猜測(cè)， 如果一個(gè)人檢測(cè)為陽(yáng)性 ，則他患有該傳染病的可能性很大，然而計(jì)算結(jié)果卻僅為8.7%.如果通過(guò)這項(xiàng)計(jì)劃，將會(huì)給申請(qǐng)登記的新婚夫婦帶來(lái)不必要的恐慌。

（三）中心極限定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

例 某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬(wàn)人參加，每人每年交200元. 若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給家屬1萬(wàn)元. 設(shè)老年人死亡率為0.017，試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率？

分析：設(shè)X為一年中投保老人的死亡數(shù)，則Xb（n，p），其中n=10000，p=0.017，由德莫佛-拉普拉斯定理知，保險(xiǎn)公司虧本的概率為

三、結(jié)論

在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，植入數(shù)學(xué)建模思想的有著重要的意義，它可以促進(jìn)教學(xué)方法的創(chuàng)新，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，對(duì)促進(jìn)人才培養(yǎng)有著積極的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張愛(ài)華，楊冬香數(shù)學(xué)建模思想融入“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的教學(xué)改革研究，科教文匯，2019年3月.

[2] 龔曙明.應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.

[3] 楊靜，陳冬，程小紅.貝葉斯公式的幾個(gè)應(yīng)用，大學(xué)數(shù)學(xué)，2011年4月

基金項(xiàng)目：

本文受如下項(xiàng)目課題資助，黑龍江省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度重點(diǎn)課題（GJB1319028），2018年度黑龍江省高等教育教學(xué)改革一般研究項(xiàng)目（SJGY20180060），黑龍江省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度重點(diǎn)課題（GBB1318022）。