“小題大做”的計算教學(xué)

陸椿

摘要：根據(jù)學(xué)生的年齡特征，教材對計算內(nèi)容的編排以單元形式螺旋上升，但具體到某一課時的設(shè)計，受知識難易程度和學(xué)生已有經(jīng)驗等影響，似乎略顯簡單。計算問題雖“小”，學(xué)問卻“大”——知識之間的聯(lián)系、隱藏在知識背后的策略性方法、學(xué)生計算素養(yǎng)的形成等，都是教師必須關(guān)注和研究的問題。以《不含括號的三步混合計算》一課為例，說明可以通過例題拓展，算法、算理結(jié)合，題組比較等途徑，讓計算教學(xué)“小題大做”“小中見大”。

關(guān)鍵詞：計算教學(xué)例題拓展算法算理題組比較

“數(shù)的運算”歷來是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要組成部分?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進(jìn)行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學(xué)生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題?！庇纱丝梢?，計算教學(xué)應(yīng)該體現(xiàn)三個基本特征：正確運算、理解算理、方法合理。

根據(jù)學(xué)生的年齡特征，教材對計算內(nèi)容的編排以單元形式螺旋上升，但具體到某一課時的設(shè)計，受知識難易程度和學(xué)生已有經(jīng)驗等影響，似乎略顯簡單。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊《不含括號的三步混合計算》一課是整數(shù)混合運算最后一個教學(xué)單元的起始課，正確理解并掌握這部分內(nèi)容，既是發(fā)展學(xué)生計算能力的需要，又是學(xué)習(xí)運算律（含簡便運算），以及小數(shù)、分?jǐn)?shù)混合運算的基礎(chǔ)。此教學(xué)內(nèi)容本身較為簡單，教材只編排了1道例題及相應(yīng)的“試一試”，學(xué)生只需把兩步混合運算的運算順序（三年級下冊）遷移到三步混合運算中來，即可解決。顯然，這對四年級的學(xué)生來說并不困難。

不過，問題雖“小”，學(xué)問卻“大”——知識之間的聯(lián)系、隱藏在知識背后的策略性方法、學(xué)生計算素養(yǎng)的形成等，都是教師必須關(guān)注和研究的問題。所謂“小”題也應(yīng)“大”做，讓簡單的內(nèi)容豐富起來?，F(xiàn)以《不含括號的三步混合計算》一課為例，略談筆者的實踐與思考。

一、例題拓展

教材例題（問題情境）是探究的驅(qū)動力、教學(xué)的出發(fā)點，首先要研究教材例題，看它是如何呈現(xiàn)關(guān)鍵知識點的。例題是獨立的，但知識點不是孤立的，還要分析知識之間的聯(lián)系，思考教學(xué)中可以進(jìn)行怎樣的豐富與拓展。如此，才有可能形成知識系統(tǒng)。

本節(jié)課教材中的例題，出示的情境為：“中國象棋每副12元，圍棋每副15元，買3副中國象棋和4副圍棋，一共要付多少元？”引導(dǎo)的解題方法是先分步再綜合，并在綜合方法中給出了等號和橫線，引導(dǎo)學(xué)生用遞等式的格式進(jìn)行計算和填空，同時也對運算順序做了小小的提示。

為了給學(xué)生更好地展示自主學(xué)習(xí)過程的空間，我嘗試對教材例題進(jìn)行了改編拓展，讓學(xué)生自主探究算式的運算順序，并結(jié)合實際問題及兩步混合運算的運算順序，說明探究理由。改編后的教學(xué)設(shè)計溝通了兩步混合運算和三步混合運算的聯(lián)系，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，給了學(xué)生更開放的探索和思考空間。具體如下：

（一）情境導(dǎo)入

1.談話：這節(jié)課，我們來到學(xué)校興趣社團(tuán)研究一些數(shù)學(xué)問題。棋社準(zhǔn)備買一些中國象棋和圍棋，一位同學(xué)和老師來到了商店（出示改編后的情境圖，如圖1）。

2.啟發(fā)：“買5副棋，兩種棋都要買”你是怎么理解的？可以怎樣買呢？

預(yù)設(shè)：①買4副中國象棋和1副圍棋;②買1副中國象棋和4副圍棋;③買3副中國象棋和2副圍棋;④買2副中國象棋和3副圍棋。

3.復(fù)習(xí)兩步混合運算，解決第①和第②種購買方案。（省略）

（二）新知探究

1.探究：你能解決第③種購買方案中的問題嗎？列成綜合算式你會算嗎？

2.試一試：對于第④種購買方案，你能運用學(xué)到的知識獨立解答嗎？

……

此教學(xué)設(shè)計做了三處加工：一是在結(jié)構(gòu)上將原例題改編成開放性問題，豐富了例題的功能。二是增加了思維難度。顯然，對于“買5副棋，兩種棋都要買”這一信息，學(xué)生要稍加思索才能理解其含義。三是體現(xiàn)了前后知識的銜接。上述四種購買方案中，①和②是復(fù)習(xí)以前學(xué)過的兩步混合運算;③作為新課的例題教學(xué);④作為即時反饋。解決這四個問題，既復(fù)習(xí)了舊知，又自然引出了新知，還預(yù)留了鞏固練習(xí)，可謂一舉多得。

二、“法”“理”結(jié)合

算法和算理是運算能力的兩翼。算理是計算的依據(jù)，是算法的基礎(chǔ);算法是依據(jù)算理提煉出來的計算方法和規(guī)則，是算理的具體體現(xiàn)。兩者相輔相成，缺一不可。本節(jié)課的內(nèi)容是“三步混合運算”，運算順序（算法）學(xué)生通過遷移可以獲得，但是對于算理“先乘除再加減”，則必須讓學(xué)生回歸現(xiàn)實世界，通過情境來說明其合理性。

史寧中教授有一個有趣的比喻：運算可以看作是講故事，一步運算就是講述一個簡單的故事;兩步或三步運算都是講述多個故事。按照故事發(fā)生的先后順序，有的是大故事包含小故事，必須講完一個故事才能開始講下一個故事;有的是幾個故事并列。這些故事用數(shù)學(xué)上的一個式子來表達(dá)，就形成了混合運算;要讓運算結(jié)果和這些故事發(fā)生的先后順序一致，就需要制訂一些規(guī)則，就是運算順序。因此，教學(xué)中我有意識地進(jìn)行了這方面的滲透。具體如下：

1.例題：買3副中國象棋和2副圍棋，一共要付多少元？

引導(dǎo)：

①解決這個問題要先算什么？為什么？

②分步列式的同學(xué)，請說說前兩步算的什么？再算什么？

③綜合算式的同學(xué)，想想應(yīng)該先算哪個部分？是按怎樣的運算順序來計算的？你能聯(lián)系題意說說為什么要先算乘法嗎？

2.模仿，解決問題。（即上述第④題，省略）

3.試一試（出示圖2）：

①你能把這個綜合算式補充完整嗎？

②“100-90÷6×4”，要先算什么？再算什么？最后算什么？你能結(jié)合題意說一說嗎？

4.比較歸納：這些三步混合計算要先算什么呢？和兩步混合計算的運算順序一樣嗎？

5.拓展：你能從乘法（除法）的定義出發(fā)，說說在含有乘法（除法）的算式中先算加法（減法），會導(dǎo)致什么結(jié)果嗎？

例題其實講了一個買棋的故事，引導(dǎo)可以分三個層次。一是看問題，初步領(lǐng)會故事發(fā)生的先后順序。二是引導(dǎo)分步列式，發(fā)現(xiàn)包含3個“小故事”：①買3副中國象棋付多少元？②買2副圍棋付多少元？③一共要付多少元？只有把①和②這兩個故事講完了，才能繼續(xù)第③個故事。至于是先講述“①買3副中國象棋”還是“②買2副圍棋”，都是可以的。在分步列式的過程中把順序理清楚了，之后用綜合算式來解答就水到渠成了。三是列出綜合式。根據(jù)故事的先后順序，“①買3副中國象棋”和“②買2副圍棋”先發(fā)生，所以要先算這兩步乘法，接著才能算“③一共要付多少元”的加法;而“買3副中國象棋”和“買2副圍棋”是并列關(guān)系，先算哪個都可以，不會影響最后的結(jié)果，因此可以一起算。

接下來的“試一試”也進(jìn)行了適當(dāng)改編，增加了生活情境。同時，為了降低難度，以填空的形式引導(dǎo)學(xué)生列出算式。根據(jù)情境，要先算出“①1副國際象棋多少元”，再算出“②4副國際象棋多少元”，最后算出“③找回多少元”。這三個小故事是一環(huán)套一環(huán)的，必須講完上一個故事，才能繼續(xù)下一個故事，因此運算順序必須是“除法→乘法→減法”，不然故事就講不下去了。在學(xué)生結(jié)合生活情境獲得運算順序的體驗與認(rèn)識后，教師說明“像這樣的三步混合計算（不含括號），數(shù)學(xué)上是這樣規(guī)定運算順序的：先算乘（除）法，再算加（減）法”。

拓展問題引導(dǎo)學(xué)生利用乘法的定義把乘法還原成加法，然后按照加法的先后順序算出結(jié)果，接著與先算加法再算乘法的結(jié)果比較，指出后者的不合理，由此進(jìn)一步從數(shù)學(xué)內(nèi)部強(qiáng)化對算理的理解。

講的是故事，理的是順序。算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和可行性;而算法保證了計算的正確性和快速性。算法和算理結(jié)合，可以讓學(xué)生更直觀地理解和掌握運算順序。

三、題組比較

題組訓(xùn)練是蘇教版數(shù)學(xué)教材編寫上的一大特色。小學(xué)生還不具備主動將知識融會貫通的能力，而“題組”以其溝通相近知識聯(lián)系、突出相異知識對比的特性，能有效促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和方法本質(zhì)的真正理解。本節(jié)課，我設(shè)計了三次題組比較（變式辨析）。

（一）不同計算方式的比較，體會運算順序的合理性

對于例題的探究，學(xué)生交流分步解答的過程后，列出綜合算式“12×3+15×2”并嘗試計算，出現(xiàn)了兩種不同的運算順序（如圖3）。引導(dǎo)學(xué)生比較這兩種算法有什么相同和不同，讓學(xué)生在比較的過程中，理解二者的實質(zhì)是講同一個“故事”，體會同時計算兩個乘法的優(yōu)越性。

① 12×3+15×2

=36+15×2

=36+30

=66（元）② 12×3+15×2

=36+30

=66（元）

（二）同結(jié)構(gòu)算式的比較，實現(xiàn)運算順序的快速遷移

解決了方案③“買3副中國象棋和2副圍棋，一共要付多少元？”和方案④“買2副中國象棋和3副圍棋，一共要付多少元？”后，比較“12×3+15×2”和“12×2+15×3”這兩個算式的特征，使學(xué)生對“乘加乘”結(jié)構(gòu)的三步混合計算有進(jìn)一步的認(rèn)識。為了讓學(xué)生牢固掌握這種結(jié)構(gòu)，我設(shè)計了游戲“算式變變變”，進(jìn)行題組變形：12×3-15×2→12÷2+15÷3→12×2+15÷3→……引導(dǎo)學(xué)生觀察每次是怎樣變化的，可以按怎樣的順序算，讓學(xué)生體會：雖然數(shù)字和運算符號在不斷變化，但是算式結(jié)構(gòu)沒有變，由此建立起“扁擔(dān)題”的結(jié)構(gòu)模型。并得出：都要先算乘（除）法，再算加（減）法;也可以同時算出乘（除）法，再算加（減）法，這樣可以使書寫過程簡略一些。

（三）不同結(jié)構(gòu)算式的比較，感受“變和不變”的數(shù)學(xué)思想

接著，是第二次“算式變變變”：……→12-2×15÷3→12+2×15÷3→12○2○15○3，呈現(xiàn)三步混合計算的各種不同結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生說說要先算什么、后算什么。算式結(jié)構(gòu)的改變，再次激發(fā)了學(xué)生探索的欲望。最后讓學(xué)生在“○”中填上運算符號，編寫出不同的三步混合計算式，然后說說每個算式的運算順序。學(xué)生感受到雖然每個算式具體的運算順序在變，但是“先乘（除）、后加（減）”的方法不變。

參考文獻(xiàn)：

[1] 史寧中.基本概念與運算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.