直尺表象助力數(shù)感

方彩霞

摘 要：數(shù)感是一個(gè)人對(duì)數(shù)與運(yùn)算的理解，這種理解可以幫助人們用靈活的方法作出數(shù)學(xué)判斷，并為解決復(fù)雜問題提出有用的策略。核心素養(yǎng)中也強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，數(shù)感也是一個(gè)人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分。因考慮到直尺以后可以通過進(jìn)一步學(xué)習(xí)逐步完善成數(shù)軸，為以后數(shù)的擴(kuò)展和運(yùn)算提供心理意象，所以本文嘗試通過：直尺數(shù)數(shù)，建立數(shù)感；直尺計(jì)算，形成數(shù)感；直尺區(qū)間，發(fā)展數(shù)感；直尺判斷，強(qiáng)化數(shù)感，力求使一年級(jí)學(xué)生的數(shù)感成為一種主動(dòng)地、自覺地或自動(dòng)化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度和意識(shí)。

關(guān)鍵詞：數(shù)感；數(shù)形結(jié)合；聯(lián)系；心理意象

【正文】

新課標(biāo)指出：數(shù)感主要表現(xiàn)在理解數(shù)的意義；能用多種方法來表示數(shù)；能在具體的情景中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系；能用數(shù)來表達(dá)和交流信息；能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴?；能估?jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性作出解釋。本文借助具體的直尺學(xué)習(xí)活動(dòng)來一一闡述數(shù)感培養(yǎng)理念如何落實(shí)到實(shí)踐中？

緣起：我班有個(gè)吳同學(xué)對(duì)超過5以后的數(shù)的口算沒有辦法，感覺難度很大，后來借助直尺幫助，進(jìn)步很快，不僅會(huì)算對(duì)，還極大增進(jìn)了他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。受此啟發(fā)，我考慮到直尺可以逐步完善成數(shù)軸，為以后數(shù)的擴(kuò)展和運(yùn)算提供心理意象，所以嘗試通過：直尺數(shù)數(shù)，建立數(shù)感；直尺計(jì)算，形成數(shù)感；直尺區(qū)間，發(fā)展數(shù)感；直尺判斷，強(qiáng)化數(shù)感，力求使學(xué)生的數(shù)感成為一種主動(dòng)地、自覺地或自動(dòng)化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度和意識(shí)，讓一年級(jí)學(xué)生學(xué)會(huì)把摸不著的數(shù)感發(fā)展轉(zhuǎn)化為可視化、可操作的。

一、直尺數(shù)數(shù)，建立數(shù)感

史寧中教授指出：人類學(xué)會(huì)計(jì)數(shù)之后就變得聰明多了，計(jì)數(shù)是人類關(guān)于數(shù)的悟性的第一步抽象。數(shù)感是可以數(shù)出來的，教師可設(shè)計(jì)讓一年級(jí)數(shù)感弱的孩子借助尺子扶手進(jìn)行各種數(shù)，在各種數(shù)的過程中建立數(shù)感。

1.順倒數(shù)

用靈活地方式聯(lián)系象征意義中的模糊性是成功的數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，任意一個(gè)數(shù)開始向前逆數(shù)，或向后順數(shù)，都是能和直尺上移動(dòng)聯(lián)系起來。最初，在直尺上一次移動(dòng)一格可以和“單腳跳”聯(lián)系起來，一旦學(xué)生有信心從1開始數(shù)數(shù)后就要鼓勵(lì)孩子從任意數(shù)字開始順向數(shù)8、9、10……；倒向數(shù)8、7、6……，倒向數(shù)數(shù)會(huì)比順向數(shù)數(shù)難度更大。通過這樣的活動(dòng)即可以積累學(xué)生數(shù)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，也可以為后續(xù)學(xué)習(xí)加減法計(jì)算建立聯(lián)系，所以我們要認(rèn)識(shí)到數(shù)數(shù)的重要性，直尺數(shù)數(shù)為后續(xù)遞進(jìn)性的數(shù)感發(fā)展能打好基礎(chǔ)。

2.組合數(shù)

結(jié)合10厘米的尺子直觀視覺圖像，讓孩子在數(shù)數(shù)的過程中，關(guān)注和為“十”的數(shù)字組塊。借助尺子意象，學(xué)生能夠快速地報(bào)出10的不同數(shù)字組合，并理解這兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，例如3和7組成10，向右走動(dòng)一格便是4和6組成10，這樣兩個(gè)數(shù)才不是孤立的，而是有聯(lián)系的；數(shù)字關(guān)系對(duì)以后學(xué)習(xí)用湊10法解決問題和靈活計(jì)算都是很有益處的，也是建立一個(gè)加數(shù)少幾，另一個(gè)加數(shù)多幾，和不變數(shù)感的重要途徑。

認(rèn)識(shí)了大于10的數(shù)，教師要重視最接近數(shù)字幾的訓(xùn)練，可借助20厘米長的尺子讓孩子尋找最接近13的數(shù)字，10與13間隔3個(gè)距離、14與13間隔1個(gè)距離、11與13間隔2個(gè)距離，學(xué)生可以順向逆向?qū)ふ议g隔，感受數(shù)字間隔距離并滲透最值思想，積累對(duì)數(shù)的間隔距離的敏感度，增強(qiáng)解決問題的信心。

3.單位數(shù)

單位過程概念的本質(zhì)和發(fā)展水平取決于孩子們認(rèn)知發(fā)展的水平和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。單位數(shù)數(shù)就是讓孩子進(jìn)行幾個(gè)為單位的數(shù)數(shù)過程，很多剛?cè)雽W(xué)的孩子已經(jīng)有一個(gè)個(gè)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，要進(jìn)一步讓孩子學(xué)會(huì)擴(kuò)展為兩個(gè)兩個(gè)、三個(gè)三個(gè)等的分群數(shù)，這樣間隔更大的移動(dòng)就和在直尺上進(jìn)行“雙腳跳”“多腳跳”聯(lián)系起來了，2、3就是新的計(jì)數(shù)單位，雖然一年級(jí)學(xué)生可能理解不了抽象的“計(jì)數(shù)單位”，但其中的體會(huì)就成為學(xué)生的數(shù)感部分。關(guān)于數(shù)數(shù)，學(xué)生在學(xué)習(xí)后，其“感”肯定是有所不同的，還為以后的學(xué)習(xí)滲透方法，2個(gè)2個(gè)地順數(shù)，就是幾個(gè)2的連續(xù)相加過程，為以后學(xué)習(xí)乘法做準(zhǔn)備；而分群倒數(shù)展示連減過程則是除法的內(nèi)在本質(zhì)，所以單位分群數(shù)還為以后學(xué)習(xí)乘除法建立初步數(shù)感。

（1）間隔單位數(shù)數(shù)——重視擴(kuò)展

間隔單位數(shù)數(shù)要根據(jù)學(xué)生的不同認(rèn)知階段，逐步擴(kuò)大間隔單位的數(shù)量。最初孩子們也許只能把數(shù)字和實(shí)物的個(gè)數(shù)聯(lián)系，隨著更多數(shù)字的體驗(yàn)獲得，能聯(lián)系前后相鄰的數(shù)，甚至能發(fā)現(xiàn)間隔較遠(yuǎn)的前后數(shù)字。

例如學(xué)生認(rèn)識(shí)了20以內(nèi)的數(shù)后，要先讓孩子熟練以5做間隔的雙向數(shù)數(shù)，學(xué)生還會(huì)發(fā)現(xiàn)5是10的一半；在一下認(rèn)識(shí)了百以內(nèi)的數(shù)后，把20厘米的尺子擴(kuò)展為米尺，讓孩子把間隔單位擴(kuò)展到10；在后續(xù)數(shù)的認(rèn)識(shí)范圍逐步擴(kuò)大后，把米尺逐步抽象擴(kuò)展為數(shù)軸，再把間隔單位擴(kuò)大到更大，在間隔單位逐步擴(kuò)展的過程中，建立數(shù)軸的抽象模型，逐步進(jìn)行扎實(shí)有效地?cái)?shù)感培養(yǎng)。

（2）基數(shù)序數(shù)數(shù)數(shù)——重視集合

一年級(jí)孩子在單位數(shù)數(shù)熟練之后，要讓孩子把數(shù)字基數(shù)和序數(shù)形式聯(lián)系起來，進(jìn)一步理解表示單個(gè)物體的單位和表示物體集合的單位，孩子口頭的數(shù)和物體進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)之后，盡量讓其能感受到最后的數(shù)數(shù)數(shù)字正是這個(gè)物體集合的總數(shù)。在數(shù)物體數(shù)量過程中，即可讓孩子體會(huì)分群數(shù)數(shù)的便捷，又可滲透集合的思想。

二、直尺計(jì)算，形成數(shù)感

數(shù)感是算出來的，小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算主要分為口算、筆算、估算，而一年級(jí)小朋友主要是口算即心算來解決，教師要在口算教學(xué)中，讓學(xué)生理解數(shù)的意義，形成數(shù)感。當(dāng)從任意數(shù)往前數(shù)、往后數(shù)的直尺模式和算式運(yùn)算相聯(lián)系的時(shí)候，這些直尺模式便能促使孩子們找到有效地計(jì)算策略，形成數(shù)感。

1.前后跳算

向后數(shù)是早期計(jì)算加法的有效策略之一，學(xué)生在應(yīng)用向前數(shù)的策略時(shí)，需要“雙重計(jì)數(shù)”的方式來跳算。如計(jì)算9+3，通過在尺子上跳數(shù)“9，10，11，12”，把“3”的計(jì)數(shù)過程和“10，11，12”這三個(gè)數(shù)字或三個(gè)箭頭對(duì)應(yīng)起來。

直尺模式中的任意數(shù)往后順數(shù)就是加法運(yùn)算，任意數(shù)往前逆數(shù)就是減法運(yùn)算，

孩子們要學(xué)會(huì)特定的數(shù)步數(shù)方法來練習(xí)，也可以用兩種方法。例如8-2就是涉及向前逆數(shù)，要從8開始往前數(shù)兩步：8—7，6，并用“1，2”來記走的步數(shù)。借助直尺模仿步數(shù)，前后跳算能把抽象的計(jì)算形象化，有利于學(xué)生建立加減法的意象，形成更有效地?cái)?shù)學(xué)計(jì)算感覺。

2.聯(lián)系活算

我們僅僅教給孩子們相互獨(dú)立的計(jì)算方法已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，讓小朋友們找出數(shù)字之間的聯(lián)系能培養(yǎng)孩子計(jì)算的靈活性，擁有良好數(shù)感的孩子可以借助聯(lián)系進(jìn)行計(jì)算，聯(lián)系是當(dāng)下培養(yǎng)孩子數(shù)感的重要方式之一。

3.規(guī)律簡算

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)建立起來的一些思想、方法、以及用數(shù)學(xué)的思想方法處理和解決問題的能力。如何培養(yǎng)孩子建立一些思想方法解決問題，形成良好的數(shù)感呢？可設(shè)計(jì)讓一年級(jí)孩子尋找計(jì)算規(guī)律解決問題并進(jìn)行簡算逐步形成數(shù)感。

可讓學(xué)生結(jié)合課件的直尺觀察尺子上的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)被減數(shù)每次多1，減數(shù)不變，差也每次多1，滲透了函數(shù)思想及變與不變的思想；尺子上每個(gè)點(diǎn)都是對(duì)應(yīng)著一個(gè)數(shù)，也滲透一一對(duì)應(yīng)思想；另外有些學(xué)生還發(fā)現(xiàn)減8的答案都是被減數(shù)的個(gè)位數(shù)字加2的規(guī)律，學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律后追問：為什么答案等于被減數(shù)個(gè)位數(shù)字加2？結(jié)合尺子圖理解為什么？因?yàn)槭簧?是10，用10-8=2，所以2加個(gè)位數(shù)字就是答案，滲透了數(shù)形結(jié)合思想，理解了規(guī)律的本質(zhì)，從而進(jìn)行快速簡便地計(jì)算，創(chuàng)新解決問題的思維過程能促進(jìn)學(xué)生形成良好的數(shù)感。

三、直尺區(qū)間，發(fā)展數(shù)感

數(shù)感是人的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)而成為數(shù)學(xué)氣質(zhì)的心智技能，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要結(jié)構(gòu)變量。教師要多設(shè)計(jì)有關(guān)數(shù)感培養(yǎng)的訓(xùn)練環(huán)節(jié)，多讓孩子去感受、感覺、體驗(yàn)，努力促使學(xué)生數(shù)感培養(yǎng)成為有效地教學(xué)環(huán)，借用尺子的圖式表征巧妙應(yīng)用，理解區(qū)間內(nèi)在意義從而發(fā)展數(shù)感。

1.簡單數(shù)量區(qū)間

數(shù)數(shù)在直尺上是一一對(duì)應(yīng)的，一個(gè)數(shù)在尺子上對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，而數(shù)量的區(qū)間在直尺上就是一條線了，這對(duì)學(xué)生而言是個(gè)認(rèn)知突破點(diǎn)，充滿了挑戰(zhàn)和提升，數(shù)感會(huì)產(chǎn)生深刻地變化。

2.復(fù)雜問題區(qū)間

培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)和能力是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)涵。我們應(yīng)該把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感從數(shù)量區(qū)間延伸到復(fù)雜的生活問題區(qū)間，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)抽象的眼光觀察生活問題，解決實(shí)際問題，感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，從而用積極自信的心態(tài)投入學(xué)習(xí)，發(fā)展數(shù)感。

四、直尺判斷，強(qiáng)化數(shù)感

數(shù)感是對(duì)數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的一種感悟，即對(duì)數(shù)的一種深入理解，然后內(nèi)化成一種駕馭數(shù)的能力；它來自數(shù)學(xué)活動(dòng)實(shí)踐，又指導(dǎo)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)；它的形成不是一蹴而就，而是一個(gè)漸進(jìn)沉淀、積累的過程。一年級(jí)上冊認(rèn)識(shí)20以內(nèi)的數(shù)，先讓學(xué)生把直尺上的數(shù)讀出來，有助于學(xué)生理解20以內(nèi)數(shù)的順序和大小，從而進(jìn)行正確判斷，強(qiáng)化數(shù)感。

1.數(shù)的順序判斷

學(xué)生數(shù)了直尺上的數(shù)，只是初步感知了20以內(nèi)數(shù)的順序，越在前的數(shù)越小，越靠后的數(shù)越大，之后還要進(jìn)一步設(shè)計(jì)關(guān)鍵問題判斷，強(qiáng)化對(duì)數(shù)序的認(rèn)識(shí)和理解。學(xué)生不僅能在尺子上判斷簡單的前后順序，13的前面數(shù)是什么？18的后面是什么？還能判斷復(fù)雜的問題，11的鄰居是什么？18和20之間的數(shù)什么？看著尺子，學(xué)生能很快地判斷出有關(guān)數(shù)的順序的問題。

2.數(shù)的大小判斷

數(shù)感是一種主動(dòng)、自覺或自動(dòng)化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度與意識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象、材料直接迅速、正確敏銳的感受能力。關(guān)于數(shù)的大小判斷，一年級(jí)學(xué)生從直尺上直觀感覺是越往后數(shù)字就越大，越往前就越小，怎么把數(shù)的大小判斷應(yīng)用到其他領(lǐng)域中，強(qiáng)化對(duì)數(shù)感的提升？

3.數(shù)的相對(duì)性判斷

相對(duì)性是指衡量判斷事物有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，而且這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)會(huì)變的，呈相對(duì)性，與絕對(duì)性對(duì)應(yīng)，從數(shù)的絕對(duì)性到相對(duì)性的認(rèn)識(shí)判斷是數(shù)感的又一次突破。

世界上最遠(yuǎn)的距離是“知道”與“做到”之間的距離，我們懂得數(shù)感理念的重要性，不一定都能落實(shí)到教學(xué)實(shí)際行為上，路漫漫其修遠(yuǎn)兮，需要我們在常態(tài)課堂中持續(xù)關(guān)注與刻意訓(xùn)練一步步扎實(shí)挺進(jìn)。一年級(jí)孩子是培養(yǎng)數(shù)感的起始階段，我們要使之持續(xù)生長，不斷豐滿，巧借直尺創(chuàng)設(shè)各種數(shù)數(shù)、計(jì)算、區(qū)間判斷等學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓低段學(xué)生的數(shù)感培養(yǎng)有意象的依托，相信那遙遠(yuǎn)的距離會(huì)逐漸縮短。

參考文獻(xiàn)：

[1] 茱莉亞·安吉來瑞.如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感[M].北京師范大學(xué)出版社，2007.4

[2] 俞正強(qiáng).種子課[M].教育科學(xué)出版社，2013.3