理清思路，分步推進(jìn)

高海寧

摘要：新課程的實(shí)施，使教師的觀念、教學(xué)行為和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式都發(fā)生了深刻的變化;教學(xué)不再是學(xué)生被動(dòng)地接受知識(shí)的過(guò)程，而是師生共同探討的互動(dòng)過(guò)程;教師在關(guān)注學(xué)生“雙基”的同時(shí)，開始關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng);課堂教學(xué)更加重視教學(xué)情景的創(chuàng)設(shè)，重視學(xué)生好奇心、求知欲和學(xué)習(xí)興趣的激發(fā);重視教學(xué)民主、平等、和諧的師生關(guān)系的建立;重視課堂組織形式的多樣化;重視問(wèn)題的設(shè)計(jì)和提出，學(xué)生有了交流、討論、動(dòng)手、觀察、探索的機(jī)會(huì)。我們對(duì)現(xiàn)用的數(shù)學(xué)教材的深層次的認(rèn)識(shí)，領(lǐng)會(huì)教材，把握核心，分步實(shí)施目標(biāo)，使課程改革與教材改革達(dá)到完美統(tǒng)一，使課堂教學(xué)更有效。

關(guān)鍵詞：理清 ? ?定位 ? ? 推進(jìn)

正文

數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括，形成方法和理論并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過(guò)程。它可以幫助人們更好的探求客觀世界的規(guī)律，對(duì)大量復(fù)雜的信息作出恰當(dāng)?shù)倪x擇和判斷，直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值。因此說(shuō)數(shù)學(xué)是一門非常有用的科學(xué)。

隨著新課程改革不斷深入，北師大版初中數(shù)學(xué)教材貫穿了“數(shù)學(xué)源于生活、服務(wù)于生活”、“學(xué)有用的數(shù)學(xué)”的思想，注重創(chuàng)設(shè)情境和探究發(fā)現(xiàn)，注重聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用和創(chuàng)新，注重學(xué)生興趣和實(shí)際操作，注重學(xué)習(xí)方式和教學(xué)方式的改革。教材體系在難度方面以螺旋式編排，采用由淺入深、逐級(jí)遞進(jìn)，逐步滲透重要的數(shù)學(xué)思想方法。螺旋式編排有利于不同年齡層次的學(xué)生的接受能力，從感性到理性，從具體到抽象，尤其是三角形的學(xué)習(xí)，前階段側(cè)重感性認(rèn)識(shí)，后階段側(cè)重從理性的角度去重新認(rèn)識(shí)，深諳應(yīng)用。在教學(xué)中，如何落實(shí)前后階段的要求，構(gòu)建一個(gè)以學(xué)習(xí)者為中心，有利于學(xué)生主體精神，創(chuàng)新能力健康發(fā)展的寬松的學(xué)習(xí)環(huán)境呢？這就要求我們教師理清三角形在教材編寫上的思路，把握三角形中的核心內(nèi)容，在每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中一步一個(gè)腳印的分步推進(jìn)。

一、剖析教材結(jié)構(gòu)，理清教學(xué)思路

北師大版教材從內(nèi)容的安排可以看出，以圖形的認(rèn)識(shí)為主線，將其他內(nèi)容與它有機(jī)的整合，螺旋上升。為此《三角形》的內(nèi)容分布在七、八、九年級(jí)四冊(cè)課本中，具體分布如下：

1、七年級(jí)下冊(cè)第四章《三角形》

（1）認(rèn)識(shí)三角形邊、角，要求理解兩條關(guān)于三邊關(guān)系的定理，一條關(guān)于三個(gè)內(nèi)角和的定理。

（2）理解三角形內(nèi)部線段，要求通過(guò)畫圖的方法理解三條中線、三條角平分線和三條高的交點(diǎn)問(wèn)題;同時(shí)掌握銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形高的畫法。

（3）三角形按角、按邊進(jìn)行分類，初步了解直角三角形的概念及性質(zhì)，等腰三角形、等邊三角形的概念。

（4）全等三角形的性質(zhì)和判定，要求通過(guò)動(dòng)手操作和畫圖探索出四個(gè)判定方法SSS，SAS，ASA，AAS。

2、八年級(jí)上冊(cè)

（1）第一章《勾股定理》中掌握直角三角形三邊關(guān)系及判定方法，本節(jié)課內(nèi)容在七年級(jí)下冊(cè)中三邊關(guān)系的升華，由一般到特殊的研究。

（2）第七章《平行線的證明》中第五節(jié)內(nèi)容是三角形內(nèi)角和定理，本節(jié)課內(nèi)容在七年級(jí)下冊(cè)內(nèi)容的基礎(chǔ)上提高了要求：①利用平行線的性質(zhì)證明三角形內(nèi)角和定理;②利用三角形內(nèi)角和定理推導(dǎo)出兩條三角形外角定理。

3、八年級(jí)下冊(cè)第一章《三角形的證明》

本章內(nèi)容從感性認(rèn)識(shí)三角形上升到了理性認(rèn)識(shí)三角形，其中（1）在第一節(jié)內(nèi)容中會(huì)用全等三角形判定中三個(gè)基本事實(shí)SSS、SAS、ASA證明全等三角形判定定理AAS;會(huì)用全等三角形的四個(gè)判定方法證明等腰三角形的性質(zhì)與判定。（2）在第二節(jié)內(nèi)容中掌握直角三角形的性質(zhì)與判定，并能證明和應(yīng)用兩個(gè)直角三角形全等的判定方法HL定理。（3）第三節(jié)內(nèi)容是線段垂直平分線性質(zhì)與判定，這個(gè)內(nèi)容為九年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)外接圓的圓心奠定了基礎(chǔ)。（4）第四節(jié)的內(nèi)容是角平分線性質(zhì)與判定，這是七年級(jí)下冊(cè)角平分線知識(shí)的延續(xù)，同時(shí)還是九年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)內(nèi)切圓的必要知識(shí)，為此此節(jié)課內(nèi)容起到了承上啟下的作用。

4、九年級(jí)上冊(cè)第四章《相似三角形》

本章內(nèi)容是全等三角形知識(shí)的拓展，即相似圖形是現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的現(xiàn)象，而全等圖形是它的一個(gè)特例。與三角形有關(guān)的內(nèi)容有探索并了解三角形相似的條件和性質(zhì)，并會(huì)利用相似三角形進(jìn)行測(cè)高。

二、研究課程標(biāo)準(zhǔn)，定位教學(xué)目標(biāo)

以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，確立各章節(jié)的教學(xué)目標(biāo)，同時(shí)在各章教學(xué)中注意三個(gè)細(xì)節(jié)：（1）加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，體現(xiàn)各部分知識(shí)之間的橫向聯(lián)系。（2）循序漸進(jìn)地培養(yǎng)推理能力，作好由實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過(guò)渡。對(duì)于推理能力的培養(yǎng)，按照“說(shuō)點(diǎn)兒理”“說(shuō)理”“簡(jiǎn)單推理”“符號(hào)表示推理”等不同層次分階段逐步加深地安排，使推理論證成為學(xué)生通過(guò)觀察、探究得到數(shù)學(xué)結(jié)論的自然延續(xù)。（3）從感性直觀認(rèn)識(shí)逐步上升到理性本質(zhì)認(rèn)識(shí)，從對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)的認(rèn)識(shí)發(fā)展到對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的認(rèn)識(shí)，從定性描述向定量刻畫過(guò)渡，從而提高對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)能力。

三、抓住核心內(nèi)容，推進(jìn)分段目標(biāo)

三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形，在生產(chǎn)實(shí)踐、科學(xué)研究和社會(huì)生活中隨處可見，它不僅是研究其他多邊形的基礎(chǔ)，在解決實(shí)際問(wèn)題中也有著廣泛的應(yīng)用。因此，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形和應(yīng)用三角形知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程中掌握最為重要的、必須學(xué)習(xí)的核心知識(shí)、基本觀念和基本技能，使得學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界、發(fā)展空間觀念和推理能力。

三角形中的核心內(nèi)容分別有全等三角形、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形和直角三角形性質(zhì)和判定，利用相似三角形解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

北師大版教材在處理核心問(wèn)題的方法是采用分兩段的策略解決課標(biāo)提出的“探索并證明”的要求。七年級(jí)下冊(cè)《三角形》的內(nèi)容主要是通過(guò)觀察、操作（包括折、拼、畫）、想象和簡(jiǎn)單推理，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，探究問(wèn)題的結(jié)論;八年級(jí)上冊(cè)、下冊(cè)則要求學(xué)生會(huì)借助已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，對(duì)探究的結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格的論證。使學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)過(guò)度到理性認(rèn)識(shí)，從合情推理過(guò)度到演繹推理，認(rèn)識(shí)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性，做到步步有據(jù)，發(fā)展學(xué)生的推理能力。以“全等三角形”為例，闡述分步推進(jìn)的方法。

對(duì)于全等三角形的研究，實(shí)際是平面幾何中對(duì)封閉的兩個(gè)圖形關(guān)系研究的第一步。它是兩三角形間最簡(jiǎn)單、最常見的關(guān)系;同時(shí)它是解決線段和角相等問(wèn)題中常用的方法，是學(xué)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)、四邊形的墊腳石，為此全等三角形是初中幾何知識(shí)中的核心內(nèi)容，利用以下方法推進(jìn)教學(xué)目標(biāo)。

1、利用數(shù)學(xué)活動(dòng)，探索全等的條件

發(fā)展空間觀念、幾何直觀，必須以學(xué)生自己的空間感覺和體驗(yàn)為基礎(chǔ)。為此在七年級(jí)下冊(cè)教學(xué)中要充分利用生動(dòng)的問(wèn)題情境和豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)——觀察、測(cè)量、折疊、翻轉(zhuǎn)、畫圖等方法探索三角形全等的條件，讓學(xué)生參與了觀察、操作、推理、想象等活動(dòng)，感性認(rèn)識(shí)一般性的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的通法，同時(shí)積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想和方法。

2、三個(gè)基本事實(shí)和兩個(gè)定理的教學(xué)

初中階段課程標(biāo)準(zhǔn)要求掌握9個(gè)基本事實(shí)（公理），除一個(gè)基本事實(shí)在九年級(jí)上冊(cè)外，學(xué)完本節(jié)課內(nèi)容，則8個(gè)基本事實(shí)就全部呈現(xiàn)了，其中本課一共有3個(gè)基本事實(shí)——SAS、ASA、SSS，這三個(gè)判定方法的教學(xué)用動(dòng)手操作方法得到即刻，在七年級(jí)教學(xué)上不要加大探索難度;而AAS這個(gè)判定方法是定理，教材安排在八年級(jí)下冊(cè)第一章第一節(jié)進(jìn)行證明，在證明這個(gè)定理時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生利用全等判定中的3條基本事實(shí)解決;判定兩個(gè)直角三角形全等的方法HL在七年級(jí)中沒有出現(xiàn)，教師不要過(guò)早在七年級(jí)補(bǔ)充，因?yàn)檫@是針對(duì)特殊三角形全等的方法，它的原理還是回到前面四個(gè)判定方法，故此教學(xué)安排在八年級(jí)下冊(cè)第一章第二節(jié)才出現(xiàn)，它的證明方法與證明AAS方法一致。

3、加強(qiáng)直觀性和簡(jiǎn)單推理的結(jié)合

幾何圖形的直觀性，是幾何學(xué)習(xí)區(qū)別于代數(shù)學(xué)習(xí)的重要的、有力的條件，在七年級(jí)學(xué)習(xí)中，要充分利用幾何圖形的直觀性，例如畫圖、折紙等直觀操作活動(dòng)，在操作中思考，有條理的表述操作的過(guò)程，逐步培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)合情推理能力

推理能力是數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)發(fā)展的核心素養(yǎng)之一，而推理能力包括合情推理能力和演繹推理能力兩個(gè)方面。七年級(jí)的教學(xué)讓學(xué)生理解了幾何命題之間的因果關(guān)系，為嚴(yán)格的演繹證明奠定基礎(chǔ)，為此八年級(jí)上、下的教學(xué)要利用好回顧探索結(jié)論的方法，由此促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)證明思路，再利用基本事實(shí)和已有定理區(qū)證明這些結(jié)論，即“探索——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)合情推理和演繹推理在獲得結(jié)論時(shí)各自發(fā)揮的作用。

3、逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法

（1）分類討論數(shù)學(xué)思想方法——注意三節(jié)課的分類標(biāo)準(zhǔn)

①七年級(jí)下冊(cè)第一節(jié)課：多少個(gè)條件能使兩個(gè)三角形全等;

②七年級(jí)下冊(cè)第二、三節(jié)課：在第一節(jié)課基礎(chǔ)上進(jìn)一步分類。即兩角一邊的分類，兩邊一角分類。

（2）轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法

七年級(jí)下冊(cè)三節(jié)課都采用“激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣——通過(guò)動(dòng)手操作探索三個(gè)條件能否得到全等三角形——明晰全等三角形判定方法”步驟進(jìn)行教學(xué)，動(dòng)手操作環(huán)節(jié)分步進(jìn)行：第一節(jié)課找圖形，第二、三課畫圖形，學(xué)完這節(jié)內(nèi)容后，要求學(xué)生會(huì)用尺規(guī)作圖，進(jìn)行運(yùn)用和舉反例。

4、變式教學(xué)，提升識(shí)圖能力

學(xué)生通過(guò)《探索三角形全等的條件》的學(xué)習(xí)后，得到了“邊邊邊”，“邊角邊”，“角邊角”，“角角邊”四個(gè)定理，用這些定理能初步判斷兩個(gè)三角形是否全等， 解決了一些簡(jiǎn)單的推理問(wèn)題，并積累了一定的活動(dòng)操作與探索經(jīng)驗(yàn)。但是在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，如何通過(guò)分析圖形，確定兩個(gè)三角形的邊與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系？在題目中的已知條件不足以解決問(wèn)題時(shí)，如何從圖形中找到條件？當(dāng)變換圖形或條件、結(jié)論時(shí)，如何以不變應(yīng)萬(wàn)變？教師在復(fù)習(xí)小結(jié)中可以利用圖形的變式，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，可以幫助學(xué)生使所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通。

【變式2】：把圖2中的△ADC繞著A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到∠BAD=∠CAE，如圖4，且AB=AC，∠B=∠C。則圖中還有全等的三角形嗎？若有，請(qǐng)指出。

【設(shè)計(jì)意圖】研究三角形全等的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)三角形按照某種規(guī)律變化的情況，需要關(guān)注圖形中各個(gè)元素的“變”與“不變”。

變，小至題目的圖形可變，數(shù)字可變，條件可變，結(jié)論可變;大至教法可變，考試方法可變，考試方法可變，甚至教材內(nèi)容可變。變，充滿著神奇;變，孕育著創(chuàng)造。變的魅力吸引著好奇心、好勝心較強(qiáng)的學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生去思考、去探索，逐步引導(dǎo)他們愛學(xué)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)。

總之，教材要求教師轉(zhuǎn)換角色，尊重和承認(rèn)每個(gè)學(xué)生的個(gè)性和價(jià)值，承認(rèn)每一位學(xué)生都是生動(dòng)活潑的人、有尊嚴(yán)的人，要關(guān)注每一位學(xué)生，相信每一個(gè)學(xué)生都能夠在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，給所有學(xué)生提供公平的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)。教材要求教師教學(xué)轉(zhuǎn)變方式，幫助學(xué)生在合作交流、自主探索的過(guò)程中理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，向?qū)W生提供充分的數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)。教材要求教師不斷地學(xué)習(xí)，掌握更多的教育教學(xué)理論和學(xué)科專業(yè)知識(shí)，提高自己駕馭和整合教材的能力。從這個(gè)意義上講，實(shí)施新課程，對(duì)每一位教師來(lái)說(shuō)都是一種挑戰(zhàn)。為此我們對(duì)現(xiàn)用的數(shù)學(xué)教材的深層次的認(rèn)識(shí)，將有利于我們進(jìn)行有效的教學(xué)，領(lǐng)會(huì)教材，把握教材，使課程改革與教材改革達(dá)到完美統(tǒng)一。

參考文獻(xiàn)

1、義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011年版》，北京師范大學(xué)出版集團(tuán)

2、義務(wù)教學(xué)教科書《數(shù)學(xué)》七、八、九年級(jí)教師用書，北京師范大學(xué)出版集團(tuán)