“二項(xiàng)式定理”（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)

于磊

摘要：二項(xiàng)式定理是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分。此節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)以學(xué)生體驗(yàn)參與教學(xué)為主題，利用多媒體教學(xué)輔助手段，注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展。

關(guān)鍵詞：二項(xiàng)式定理;排列組合;二項(xiàng)式系數(shù);核心素養(yǎng);思維發(fā)展

一、教材分析

此節(jié)課是人教A版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)（選修2-3）》第一章第3節(jié)的內(nèi)容。二項(xiàng)式定理是多項(xiàng)式乘法的特例，是初中所學(xué)多項(xiàng)式乘法的延伸。此節(jié)內(nèi)容安排在排列組合之后，既是對(duì)組合數(shù)的應(yīng)用，又是為學(xué)習(xí)二項(xiàng)分布做準(zhǔn)備。二項(xiàng)式定理是從特殊到一般進(jìn)行的歸納與概括，這部分內(nèi)容對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)有著不可忽視的價(jià)值。

二、教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能：用多項(xiàng)式乘法和計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)二項(xiàng)式定理，培養(yǎng)學(xué)生的合作探究能力。

（2）過(guò)程與方法：通過(guò)情境創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生體驗(yàn)定理的形成過(guò)程，感受知識(shí)的發(fā)生是自然的，體驗(yàn)多項(xiàng)式乘法和計(jì)數(shù)原理之間的聯(lián)系;通過(guò)總結(jié)特征，讓學(xué)生感悟從特殊到一般的研究問(wèn)題的方法。

（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：學(xué)生在合作探究中體驗(yàn)成功的喜悅，在展示總結(jié)中提高數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)，提升學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力。

（4）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用，解決與展開(kāi)式有關(guān)的問(wèn)題。

教學(xué)難點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的獲得過(guò)程。

四、教學(xué)策略分析

此節(jié)課的理論支撐是多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理。因此，筆者首先要?jiǎng)?chuàng)設(shè)計(jì)數(shù)原理的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、歸納得到二次、三次、四次的展開(kāi)式，然后采取問(wèn)題追問(wèn)的方式來(lái)組織課堂教學(xué)，給學(xué)生留有充分的思考、歸納、總結(jié)的空間。重視二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)與獲得的過(guò)程，讓學(xué)生親身體驗(yàn)公式的獲得過(guò)程，體驗(yàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)抽象思想，通過(guò)白主探究達(dá)到突出教學(xué)重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)的目的。

五、教學(xué)方法與手段

利用類(lèi)比、探索相結(jié)合的教學(xué)方法;以學(xué)生為主體、以問(wèn)題為主線，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，學(xué)生合作探究完成抽象的過(guò)程;利用多媒體技術(shù)，為學(xué)生提供直觀的圖象，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂教學(xué)效率。

六、教學(xué)過(guò)程與設(shè)計(jì)

1.問(wèn)題引入

師：請(qǐng)回答（a+b）2的展開(kāi)式。

生：（a+b）2=a2+2ab+b2。 筆者創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的問(wèn)題情境：如下圖，兩個(gè)容器中有a（白），b（黑）球各一個(gè)，每次從兩個(gè)容器中各取一個(gè)球放到一起，取得小球的結(jié)果有哪些類(lèi)？每類(lèi)結(jié)果有幾種情況？能用計(jì)數(shù)原理的知識(shí)回答嗎？

師：取得小球的結(jié)果有哪些類(lèi)？

生1：aa，ab，bb三類(lèi)情況。

師：每類(lèi)情況有哪幾種可能？

生1：aa有1種可能，ab有2種可能，66有1種可能。

師：觀察問(wèn)題（a+b）2的展開(kāi)式與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有何關(guān)聯(lián)？

生2：（1）把小球看成字母;（2）取小球的過(guò)程相當(dāng)于用多項(xiàng)式乘法把公式展開(kāi)的展開(kāi)式;（3）每類(lèi)情況有幾種可能的結(jié)果就是展開(kāi)式的系數(shù)。

生3：以取得b球的個(gè)數(shù)作為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)（同時(shí)用組合數(shù)回答結(jié)果有幾種），取0個(gè)黑球，2個(gè)白球的結(jié)果有C

種可能;取1個(gè)黑球，1個(gè)白球的結(jié)果有C

種可能;取2個(gè)黑球，0個(gè)白球的結(jié)果有C

種可能。

師：怎樣用完全平方公式的形式回答？系數(shù)又怎樣用組合數(shù)表達(dá)？

師：類(lèi)比上面的方法，回答問(wèn)題（a+b）3=_____？（a+b）4=______？你能發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律？

生4：項(xiàng)數(shù)是n+1項(xiàng)。

生5：系數(shù)是CO，C1，C2。

生6：a的次數(shù)變化規(guī)律從n次到0次冪，6的次數(shù)變化規(guī)律從0次到n次冪，ab的次數(shù)和等于，。。

生7：公式的應(yīng)用條件是兩項(xiàng)和的n次方。

2.新課內(nèi)容

筆者引導(dǎo)，學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理，由學(xué)生自己完成二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式。

筆者介紹通項(xiàng)公式

和二項(xiàng)式系數(shù)等相關(guān)概念。

3.鞏固訓(xùn)練

練習(xí)1：寫(xiě)出 （p+q）7的展開(kāi)式。

師：若中間換成“一”會(huì)有什么結(jié)果？為什么？對(duì)比符號(hào)對(duì)展開(kāi)式的影響。

師：（2a-b）6展開(kāi)式的第六項(xiàng)是什么？

生9：T6= Ts+.=C5（2a）“5（-b）5= -12ab5.

練習(xí)2：已知（1+2x）5，求：（1）展開(kāi)式的第三項(xiàng);（2）第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及第四項(xiàng)系數(shù)。以小組的形式相互討論，得出答案，并展示講解。

4.還原生活

師：今天是星期二，那么7天后的這一天是星期幾呢？

生：也是星期二。

師：那么15天后的這一天呢？

生：是星期三。

是否發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？學(xué)生探究總結(jié)。

5.歸納小結(jié)

此節(jié)課都有哪些收獲？學(xué)生回答，筆者點(diǎn)撥。

（1）解決問(wèn)題要回歸數(shù)學(xué)本質(zhì);

（2）深入理解變量思想;

（3）用類(lèi)比的思想方法解決新知識(shí)、新問(wèn)題;

（4）提高數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)。

6.課后作業(yè)

（1）必做題：教材第36頁(yè)第1，2，3題;

（2）選做題：教材第36頁(yè)第4，5題。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2018.

[2]張文娣.二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004（4）.