從典型錯(cuò)例中談初中數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

劉俊健

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。運(yùn)算能力是《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的十個(gè)核心概念之一。培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，不僅是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是學(xué)生終身學(xué)習(xí)和發(fā)展的需要。在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生雖然懂得運(yùn)算方法，但卻經(jīng)常出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤。在每次的大小考試中，學(xué)生由于運(yùn)算方面的問(wèn)題出錯(cuò)丟分的情況屢見(jiàn)不鮮。本文針對(duì)學(xué)生運(yùn)算中出現(xiàn)的一些典型錯(cuò)例，提出在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)方面的一些教學(xué)實(shí)踐和想法。

一、打好有理數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，培養(yǎng)良好的數(shù)感

有理數(shù)運(yùn)算可以說(shuō)是代數(shù)運(yùn)算乃至整個(gè)初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。如果對(duì)有理數(shù)運(yùn)算沒(méi)有很好的理解和掌握，在今后整式、分式、方程等一系列數(shù)學(xué)問(wèn)題的學(xué)習(xí)上都會(huì)遇到很大的困難。在有理數(shù)的運(yùn)算中，要注意處理好以下幾個(gè)問(wèn)題。

第一，符號(hào)問(wèn)題。正確理解符號(hào)法則，區(qū)分性質(zhì)符號(hào)和運(yùn)算符號(hào)，是處理符號(hào)問(wèn)題的關(guān)鍵。

錯(cuò)例1? ?計(jì)算：-3-6×（-2）=-3-12=-15

這道題的關(guān)鍵點(diǎn)在于把“-6”中的“-”看成是性質(zhì)符號(hào)還是運(yùn)算符號(hào)的問(wèn)題。若看作性質(zhì)符號(hào)，則可得到以下過(guò)程：-3-6×（-2）=-3+（-6）×（-2）=-3+12=9;若看作運(yùn)算符號(hào)，則可得到以下過(guò)程：-3-6×（-2）=-3-（-12）=-3+12=9。筆者認(rèn)為按前者看作性質(zhì)符號(hào)，同時(shí)直接確定更為簡(jiǎn)潔。即-3-6×（-2）=-3+6×2=-3+12=9.

學(xué)生對(duì)算式的理解程度不同，會(huì)產(chǎn)生不同的解法。例如對(duì)于“-3-2”的計(jì)算，有的學(xué)生會(huì)得出“-1”的錯(cuò)誤結(jié)果，有的學(xué)生會(huì)根據(jù)減法法則化為“-3+（-2）”再得出-5的答案。還有些學(xué)生能直接看作-3與-2的和，得出-5的答案。最后一種處理方法對(duì)符號(hào)理解最為深刻，體現(xiàn)了學(xué)生良好的數(shù)感，這是對(duì)今后認(rèn)識(shí)多項(xiàng)式的項(xiàng)及合并同類(lèi)項(xiàng)的基礎(chǔ)。

第二，運(yùn)算順序問(wèn)題。有理數(shù)混合運(yùn)算的順序?qū)W生都很熟悉，但在實(shí)際解題中，往往會(huì)受到某些因素的影響，造成運(yùn)算順序錯(cuò)誤。

錯(cuò)例2? ?計(jì)算：

在這個(gè)錯(cuò)例中，學(xué)生沒(méi)有注意到先算乘方，受“負(fù)負(fù)得正”習(xí)慣的影響，先化簡(jiǎn)了底數(shù)的符號(hào)。

第三，乘方運(yùn)算問(wèn)題。乘方運(yùn)算是四則運(yùn)算的補(bǔ)充，本質(zhì)上是乘法運(yùn)算。在乘方運(yùn)算中，要注意強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：（1）根據(jù)乘方的概念求冪;（2）明確乘方運(yùn)算的對(duì)象，即底數(shù)是什么;（3）注意乘方的優(yōu)先運(yùn)算順序。

錯(cuò)例3? ?計(jì)算：

錯(cuò)例4? ?計(jì)算：

錯(cuò)例3中對(duì)乘方概念不清，不懂得轉(zhuǎn)化乘法算式求解。錯(cuò)例4把-32看成了（-3）2，說(shuō)明對(duì)負(fù)數(shù)的整體性認(rèn)識(shí)不足。

有理數(shù)的運(yùn)算能讓學(xué)生建立起良好的數(shù)感，減少運(yùn)算錯(cuò)誤，是提高學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的關(guān)鍵。

二、牢固掌握運(yùn)算的依據(jù)，加深對(duì)算法和算理的理解

數(shù)學(xué)中的一些概念、法則、公式是進(jìn)行運(yùn)算的依據(jù)，加深對(duì)基本概念、法則、公式的理解，是正確運(yùn)算的前提。如果對(duì)運(yùn)算的依據(jù)理解不夠深刻，只是機(jī)械地背誦、模仿，很容易產(chǎn)生混亂。

第一，加強(qiáng)對(duì)公式的理解。公式是運(yùn)算方法、技巧的總結(jié)。要牢固掌握公式，就要理解公式的產(chǎn)生、推導(dǎo)過(guò)程，明白公式的原理，應(yīng)用的條件和方法，否則就容易產(chǎn)生亂公式，自編公式等錯(cuò)誤。

錯(cuò)例 5? ?計(jì)算：（x+2）2-x（x+1）=x2+4-x2-x=4-x

錯(cuò)例6? ?分解因式：x2-9=（x-3）2

以上兩個(gè)錯(cuò)例都是很常見(jiàn)的對(duì)乘法公式的運(yùn)用錯(cuò)誤。這是對(duì)積的乘方公式（ab）n≠anbn的錯(cuò)誤遷移。要減少這種錯(cuò)誤，可以對(duì)比兩個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程，同時(shí)用具體的數(shù)字來(lái)說(shuō)明（a+b）2≠a2+b2，如（1+2）2≠12+22。

第二，加深對(duì)算理的認(rèn)識(shí)。在數(shù)式運(yùn)算及方程變形中，許多學(xué)生只是單純地記住相關(guān)的算法和步驟，卻忽略了對(duì)算理的理解。數(shù)學(xué)運(yùn)算也是一種推理，是根據(jù)定義、性質(zhì)等推導(dǎo)結(jié)果的過(guò)程。正確的運(yùn)算需要對(duì)算理有透徹的理解，如果學(xué)生不理解算理，只是機(jī)械記住算法和步驟，很容易在運(yùn)算中誤用法則，并且對(duì)不合邏輯的錯(cuò)誤結(jié)果也渾然不覺(jué)。

錯(cuò)例7? ?計(jì)算：

解：原式

=2x-（x-2）

=x+2

錯(cuò)例8? ?把函數(shù)y=2x2-12x-12配成y=a（x-h）2+k的形式。

解：y=2x2-12x-12=x2-6x-6=x2-6x+32-32-6=（x-3）2-15

在錯(cuò)例7的分式計(jì)算中，學(xué)生一開(kāi)始就進(jìn)行了去分母的操作。這些學(xué)生記住的是解分式方程去分母的步驟，并沒(méi)有理解去分母的依據(jù)是等式的性質(zhì)，應(yīng)用的條件是在方程的同解變形中。而分式的計(jì)算只是代數(shù)式的恒等變形，不涉及到等號(hào)兩邊的操作。這種錯(cuò)誤在很多含有分母的計(jì)算中都會(huì)出現(xiàn)，錯(cuò)例8中的函數(shù)解析式的變形也是常出現(xiàn)的約掉系數(shù)公約數(shù)的類(lèi)似錯(cuò)誤。

三、培養(yǎng)整體思想，提高整體運(yùn)算的能力

在運(yùn)算中，很多時(shí)候需要把負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、多項(xiàng)式等看作一個(gè)整體。為了構(gòu)造出相同的整體，或把整體代入運(yùn)算，都需要合理添加括號(hào)。在數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程中，有些局部的運(yùn)算結(jié)果要作為一個(gè)整體進(jìn)入下一步的運(yùn)算，這個(gè)整體就必須加上括號(hào)，否則就失去原來(lái)的運(yùn)算意義。以下錯(cuò)例，學(xué)生缺乏整體思想，很容易漏掉括號(hào)，教師應(yīng)加強(qiáng)調(diào)。

錯(cuò)例9? ?計(jì)算：3（x-2）2-（x+3）（x-3）-2x（x+6）

解：原式=3（x2-4x+4）-x2-9-2x2-12x

=3x2-12x+12-x2-9-2x2-12x

= -24x+3

公式的應(yīng)用也要求學(xué)生有很好的整體思想。例如對(duì)（x-1）2-（2x+3）2進(jìn)行因式分解，缺乏整體思想的學(xué)生將不懂得如何下手，或者在運(yùn)用平方差公式時(shí)容易漏掉括號(hào)。加強(qiáng)整體思想的培養(yǎng)，能更好地理解整體換元，整體代入等方法，提高學(xué)生的整體運(yùn)算的能力。

四、加強(qiáng)解題方法的指導(dǎo)，培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣

良好的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，應(yīng)該是在清晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。這個(gè)過(guò)程包括理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程度，求得運(yùn)算結(jié)果等。因此，教師要注意培養(yǎng)學(xué)生正確的解題思維方式，規(guī)范解題的步驟和格式，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。

第一，養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣。正確的審題，既要細(xì)心看清楚每一個(gè)條件，還要注意區(qū)分相關(guān)概念，挖掘隱含條件，弄清已知條件和所求問(wèn)題之間的聯(lián)系等。在審題時(shí)要明確解題的模式和方向，弄清運(yùn)算對(duì)象。例如“? ? ?的平方根是_______”一題，在審題時(shí)要注意平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別，同時(shí)要注意所求的對(duì)象是? ? ? ?而不是16，學(xué)生不注意細(xì)心審題的話(huà)，很容易產(chǎn)生“±4”“4”“2”等錯(cuò)誤結(jié)果。

第二，步驟要清晰，書(shū)寫(xiě)要工整。在運(yùn)算中，要明確運(yùn)算的步驟，每一步解決什么問(wèn)題，哪些運(yùn)算可以同時(shí)進(jìn)行，哪些需要分步計(jì)算。有些學(xué)生為了追求速度，喜歡合并或省略一些步驟，很容易造成運(yùn)算錯(cuò)誤。另外，有此學(xué)生的書(shū)寫(xiě)比較馬虎，字跡比較潦草，所寫(xiě)的數(shù)學(xué)、符號(hào)等分辨不清，也容易造成運(yùn)算的錯(cuò)誤。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)要求學(xué)生嚴(yán)格按照步驟解題，書(shū)寫(xiě)工整，格式規(guī)范。

第三，善于檢驗(yàn)結(jié)果的正確性。對(duì)于檢驗(yàn)，學(xué)生往往理解為再看一遍或重新演算一次，其實(shí)這種驗(yàn)算方法是沒(méi)有多大意義的。有效的檢驗(yàn)應(yīng)該是運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)從不同的角度對(duì)結(jié)果真假或合理性做出一個(gè)判斷。例如因式分解可以利用乘法運(yùn)算驗(yàn)算，方程的解可以代入驗(yàn)算等。同時(shí)，要做到關(guān)鍵步驟回頭看的計(jì)算習(xí)慣，否則一步出錯(cuò)，后面全部跟著出錯(cuò)。善于驗(yàn)證答案的合理性，不僅可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，還在一定程度上體現(xiàn)出解題者對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解程度和思維的嚴(yán)密性。

數(shù)學(xué)運(yùn)算滲透在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，也是學(xué)習(xí)其它理科的基礎(chǔ)。在教學(xué)中培養(yǎng)和提高學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)，不僅能有效地減少和避免運(yùn)算中的錯(cuò)誤，還能提高學(xué)生思維的靈活性和嚴(yán)密性，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。