化歸思想在銳角三角函數(shù)中的巧用

董美程

化歸思想就是將面臨的新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的規(guī)范問題的數(shù)學(xué)方法。后者具有確定的解法或有確定的求解程序。這是一種具有普遍適用性的數(shù)學(xué)思想方法。一般總是將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題。

化歸包含三個要素：①化歸動象（我們不熟悉的新問題圖）②化歸的目標(biāo)（規(guī)范問題圖）：③化歸的途徑。下面將化歸思想在銳角三角函數(shù)這章的滲透列舉一二。

銳角三角函數(shù)體現(xiàn)的是直角三角形中邊和角的關(guān)系，若求某個銳角的三角函數(shù)值或要運(yùn)用某個銳角的三角的數(shù)值求線段的長度，而這個銳角不在直角形中時，則必須通過轉(zhuǎn)化的思想化斜為直，其化歸的途徑主要有兩種：

（1）直接求：構(gòu)造直角三角形，把這個角放在直角三角形里。

例1.如圖，在邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)、、都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則tan∠的值為.

點(diǎn)撥：連接根據(jù)勾股定理的逆定理，可證△CDB為直角三角形。則把∠ABC放在了直角三角形里，即可求∠ABC的正切值。

例2.如圖，⊙的半徑為5，弦的長為8，是延長線上一點(diǎn)，=2，則tan∠的值是 .

點(diǎn)撥：過點(diǎn)O做AP的垂線，垂足為C，則將∠P放在了Rt△OCP里。利用垂徑定理即可解決問題。

（2）間接求：轉(zhuǎn)化為與之相等的角。

例3.如圖，在半徑為13的⊙中，弦=10，點(diǎn)是優(yōu)弧上一點(diǎn)（不與，重合），則cos的值為 .

點(diǎn)撥：作直徑，連接，根據(jù)圓周角定理得出∠=∠，∠=90°，根據(jù)勾股定理求出，解直角三角形求出即可.

總之，化歸在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在。著名數(shù)學(xué)家笛卡爾說過“我一生只做兩件事情，一是做簡單的事情，二是將復(fù)雜的事變成簡單的事。”第二句話實(shí)質(zhì)上運(yùn)用了化歸的思想。