認(rèn)識數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)價值經(jīng)歷數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程

吳迪

【摘要】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)研究不可或缺的方法，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要充分認(rèn)識數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價值，積極開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動的過程，促進(jìn)其對數(shù)學(xué)知識的深度理解、數(shù)學(xué)思想的逐步感悟和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的豐厚積累。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 數(shù)學(xué)知識 數(shù)學(xué)方法 數(shù)學(xué)素養(yǎng)

說到數(shù)學(xué)，人們通常認(rèn)為它是一門演繹的科學(xué)，給大多數(shù)學(xué)生的感受是冰冷無情、枯燥無趣的。如能基于小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動，將有助于學(xué)生主動地參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，并獲得積極的情感體驗(yàn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動是指學(xué)生借助實(shí)驗(yàn)材料，通過觀察、操作、猜想、計(jì)算、驗(yàn)證和推理等過程，來檢驗(yàn)數(shù)學(xué)事實(shí)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想、探索數(shù)學(xué)規(guī)律和解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動。筆者就數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價值和在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中組織學(xué)生開展實(shí)驗(yàn)活動的方法談一談自己的認(rèn)識。

一、在數(shù)學(xué)發(fā)展中找尋數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的身影

數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是進(jìn)行數(shù)學(xué)探索的重要研究方法之一。初等數(shù)學(xué)時期，歐幾里得所著的數(shù)學(xué)著作《幾何原本》的出現(xiàn)，標(biāo)志著數(shù)學(xué)從具體的實(shí)驗(yàn)階段過渡到抽象的理論階段，數(shù)學(xué)逐步成為一門獨(dú)立的演繹學(xué)科。但數(shù)學(xué)的研究與探索仍離不開數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，著名數(shù)學(xué)家喬治·波利亞曾說：“僅僅把數(shù)學(xué)視為一門論證科學(xué)的看法是偏頗的，論證推理（證明）只是數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果，而要得到這個成果則必須通過猜想?！贝髷?shù)學(xué)家歐拉認(rèn)為：“數(shù)學(xué)這門科學(xué)，需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn)?！焙商m數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾也說：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動，這種活動與游泳、騎自行車一樣，不親身體驗(yàn)，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示是學(xué)不會的?！辈还軘?shù)學(xué)家是直接闡述實(shí)驗(yàn)，還是間接提到實(shí)驗(yàn)，都肯定了實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要地位。

二、在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中追尋數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價值

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)研究不可或缺的方法，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式。相對來說，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識和方法比較淺顯和簡單，很多內(nèi)容都可以引領(lǐng)學(xué)生通過具體的實(shí)驗(yàn)活動來習(xí)得，使學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)的真實(shí)體驗(yàn)和深度理解。

開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動能有效轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式?，F(xiàn)代教學(xué)理論認(rèn)為，學(xué)科教學(xué)應(yīng)建立在學(xué)生主動性和能動性的基礎(chǔ)上，積極引領(lǐng)學(xué)生形成自主探究、合作的學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動，能更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生動手實(shí)踐、自主探究和合作學(xué)習(xí)，使學(xué)生在觀察、操作、猜想、驗(yàn)證和概括等活動中，自主建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動能有效促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)注重觀察與操作、猜想與驗(yàn)證、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動，使學(xué)生經(jīng)歷一個從具體到抽象的過程，能促使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識與方法、數(shù)學(xué)現(xiàn)象和問題產(chǎn)生自己個性化的理解，更能透過數(shù)學(xué)現(xiàn)象理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想。

開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動能有效豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)作為一個重要課程目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的活動過程。而活動經(jīng)驗(yàn)只有在有意義的活動中才能不斷積累和豐富，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融觀察、操作、推理、驗(yàn)證和計(jì)算于一體，是豐富學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的重要途徑之一。

三、在數(shù)學(xué)教學(xué)中探尋數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法

在以往的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師也經(jīng)常組織學(xué)生進(jìn)行手工操作，如制作模型以及利用實(shí)物或?qū)W具演示等活動，這些也都是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動，但更多的是為了幫助學(xué)生理解基礎(chǔ)知識和掌握基本技能，很少通過這些活動引領(lǐng)學(xué)生觀察現(xiàn)象、提出猜想、進(jìn)行驗(yàn)證和獲得結(jié)論，體驗(yàn)知識的形成和發(fā)展過程，因此沒能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力方面的重要功能。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如何充分發(fā)揮數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價值？筆者認(rèn)為，要將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為日常課堂的一個重要教學(xué)環(huán)節(jié)或活動形式，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的活動過程，促進(jìn)其對數(shù)學(xué)知識的深度理解、數(shù)學(xué)思想的逐步感悟和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的豐厚積累。教師可根據(jù)三維教學(xué)目標(biāo)和具體教學(xué)內(nèi)容，設(shè)計(jì)和組織學(xué)生開展如下三類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動：

1.基于數(shù)學(xué)事實(shí)的檢驗(yàn)性實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)知識再次自然生長

檢驗(yàn)性實(shí)驗(yàn)活動是根據(jù)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)事實(shí)對相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容或問題進(jìn)行再操作、再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的數(shù)學(xué)活動。在日常課堂學(xué)習(xí)中，受課堂時間（特別是學(xué)生動手、探索的時間）或教材內(nèi)容的限制，學(xué)生對某些數(shù)學(xué)知識的習(xí)得或某種數(shù)學(xué)思想的感悟是不扎實(shí)、不充分的。如果在學(xué)生初步掌握數(shù)學(xué)事實(shí)的基礎(chǔ)上，教師組織和指導(dǎo)學(xué)生開展檢驗(yàn)性實(shí)驗(yàn)活動，將有利于學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)知識，拓展數(shù)學(xué)視野、發(fā)散數(shù)學(xué)思維和提升數(shù)學(xué)能力。

如蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊“多邊形的面積”這一課，通過前期學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)理解了三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程：由兩個完全一樣的三角形拼成平行四邊形進(jìn)行推導(dǎo)。有學(xué)生提出疑問：能不能用一個三角形來推導(dǎo)呢？在這里，教師可以根據(jù)學(xué)生提出的這個實(shí)驗(yàn)問題，設(shè)計(jì)如下的檢驗(yàn)性實(shí)驗(yàn)活動：

實(shí)驗(yàn)問題：如何用一個三角形推導(dǎo)三角形的面積公式？

實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)：自主探索用一個三角形推導(dǎo)三角形面積計(jì)算公式的具體方法。

實(shí)驗(yàn)材料：不同三角形若干個，剪刀等。

實(shí)驗(yàn)過程：通過剪、移、拼、折等方法，用一個三角形推導(dǎo)出三角形面積計(jì)算公式。

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”。開展這樣的實(shí)驗(yàn)活動，使學(xué)生在思考、操作、猜想、驗(yàn)證和推理等過程中經(jīng)歷了一次知識再創(chuàng)造的過程，得出了許多極具個性化的面積推導(dǎo)方法。如下圖：

<F：＼新建＼小學(xué)教學(xué)研究2019＼教研版2019-2＼2JY-5.tif>

圖1

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圖2

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圖3

2.基于問題解決的探究性實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)方法建構(gòu)得更加完善

探究性實(shí)驗(yàn)活動是學(xué)生根據(jù)已有的知識經(jīng)驗(yàn)，在現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)情景中產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題、經(jīng)歷觀察現(xiàn)象、提出猜想、進(jìn)行驗(yàn)證和獲得結(jié)論等一系列探究過程而使問題得以解決的數(shù)學(xué)活動。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生從“未知”走向“已知”的過程，但“未知”并非學(xué)生“無知”，每個學(xué)生都是帶著其個性特征的數(shù)學(xué)理解而進(jìn)行學(xué)習(xí)的。因此，根據(jù)情境提出實(shí)驗(yàn)問題，學(xué)生基于自身經(jīng)驗(yàn)，形成不知是否真實(shí)的數(shù)學(xué)猜想，然后通過實(shí)驗(yàn)操作進(jìn)行舉例或推理驗(yàn)證。即使學(xué)生在實(shí)驗(yàn)的過程中得出的結(jié)果與科學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)論不大相符，學(xué)生也能在這樣的實(shí)驗(yàn)活動中收獲良多、感悟頗深。

如在學(xué)習(xí)蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊的探索規(guī)律——“多邊形的內(nèi)角和”這一課前，學(xué)生已經(jīng)知道了三角形的內(nèi)角和是180°，平行四邊形的內(nèi)角和是360°。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生提出實(shí)驗(yàn)問題：一般四邊形的內(nèi)角和也是360°嗎？五邊形、六邊形呢？這些問題為猜想、探究多邊形內(nèi)角和提供了知識經(jīng)驗(yàn)和思考路徑。教師據(jù)此設(shè)計(jì)了如下探究性實(shí)驗(yàn)活動：

實(shí)驗(yàn)問題：如何計(jì)算多邊形的內(nèi)角和？

實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)：使學(xué)生經(jīng)歷觀察現(xiàn)象、提出猜想、進(jìn)行驗(yàn)證和獲得結(jié)論等活動，探索多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)之間的關(guān)系，掌握多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法。

實(shí)驗(yàn)材料：若干副三角板。

實(shí)驗(yàn)過程：用三角板拼一拼、分一分四邊形、五邊形、六邊形等;觀察多邊形與其內(nèi)三角形個數(shù)的關(guān)系，提出多邊形內(nèi)角和的相關(guān)猜想;再舉例、推理驗(yàn)證猜想，看能否找到反例;小組討論，得出實(shí)驗(yàn)結(jié)論。

學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，通過實(shí)驗(yàn)探究，最后得出多邊形內(nèi)角和的計(jì)算方法：多邊形的內(nèi)角和=（邊數(shù)-2）×180°。在活動中，不管學(xué)生探究的過程多么曲折、猜想是否正確、結(jié)論能否順利得出，不同的學(xué)生都經(jīng)歷了一次科學(xué)研究的歷程，體驗(yàn)了不一樣的學(xué)習(xí)方法，使自身對數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)趨于完善，增強(qiáng)了發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力。這個過程與數(shù)學(xué)家進(jìn)行研究、創(chuàng)造相似，使學(xué)生感受到成功的喜悅和發(fā)現(xiàn)的樂趣。

3.基于學(xué)科整合的綜合性實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有效地全面提升

綜合性實(shí)驗(yàn)活動是學(xué)生結(jié)合具體實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，依據(jù)實(shí)驗(yàn)方法與要求，整合其他學(xué)科內(nèi)容，利用提供的或自己準(zhǔn)備的實(shí)驗(yàn)材料，在課外進(jìn)行動手實(shí)踐、自主探索，經(jīng)歷和記錄實(shí)驗(yàn)過程，檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)猜想，反思實(shí)驗(yàn)過程和形成實(shí)驗(yàn)結(jié)論的數(shù)學(xué)活動。此類實(shí)驗(yàn)活動能讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的完整過程，從而進(jìn)一步感受研究問題的科學(xué)方法，形成初步的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰鸵庾R。

如蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊的綜合實(shí)踐——“蒜葉的生長”這一課，在學(xué)習(xí)折線統(tǒng)計(jì)圖后，學(xué)生就以該課內(nèi)容為實(shí)驗(yàn)主題，開展了持續(xù)20天的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動，學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識（數(shù)學(xué)和科學(xué)學(xué)科的），按要求開展實(shí)驗(yàn)并完成相應(yīng)的數(shù)據(jù)收集、整理，依據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)以及自己制作的統(tǒng)計(jì)圖表進(jìn)行比較、分析，獲得相對客觀的結(jié)論。

實(shí)驗(yàn)問題：蒜葉的生長有沒有規(guī)律？

實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)：使學(xué)生圍繞實(shí)驗(yàn)中蒜葉、根須的生長情況，經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析過程，進(jìn)一步感受數(shù)據(jù)對于發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析及解決問題的重要意義。

實(shí)驗(yàn)材料：若干飽滿的蒜瓣、三個盆、一些土和水。

實(shí)驗(yàn)過程：三個盆中一盆放水、兩盆放土，將蒜瓣種在土壤中的兩個盆分別放在陽光下和房間里;持續(xù)觀察蒜根、蒜葉的生長情況;細(xì)心測量，利用數(shù)學(xué)日記進(jìn)行記錄，有條件的可以制作個性化的ppt文稿;設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，反思實(shí)驗(yàn)過程，得出實(shí)驗(yàn)結(jié)論。

南開大學(xué)顧沛教授說：“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”就是把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識都排出或忘掉后剩下的東西。忘掉的應(yīng)該是具體的數(shù)學(xué)知識，剩下的應(yīng)該是能夠用數(shù)學(xué)的抽象視角去認(rèn)識世界、用數(shù)學(xué)的思維方式去思考問題、用數(shù)學(xué)的理性方法去解決問題的意識和能力。通過“蒜葉的生長”這一綜合性實(shí)驗(yàn)活動，學(xué)生懂得了蒜葉的生長中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)、科學(xué)的知識和規(guī)律;通過對收集、整理的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析，可以進(jìn)一步驗(yàn)證猜想和預(yù)測結(jié)果，能解決現(xiàn)實(shí)中的問題;在解決問題的過程中要不斷運(yùn)用反思、調(diào)整、再反思、再調(diào)整等元認(rèn)知行為，而這些正是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)所必需的。?

[本文系“江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十二期重點(diǎn)資助課題”——《小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)與實(shí)施研究》（課題編號：2017JK12-ZA06）的階段研究成果]