一道等差數(shù)陣題的暢想曲

高一下學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了《必修5》中的數(shù)列知識(shí)，在做練習(xí)作業(yè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了這道題：

下面給出一個(gè)“等差數(shù)陣”：

其中每行、每列都是等差數(shù)列，a_ij表示位于第i行第j列的數(shù).

（l）寫出a45的值;

（2）寫出a_ij的計(jì)算公式，以及2017這個(gè)數(shù)在等差數(shù)陣中所在的一個(gè)位置.

認(rèn)真做完題目，我掩卷沉思，不禁思緒翩翩.這樣根據(jù)已知數(shù)據(jù)，尋找恰當(dāng)規(guī)律，填數(shù)的數(shù)陣，在小學(xué)也見過.現(xiàn)在我是高中生，長(zhǎng)大了，問題也升級(jí)了，這個(gè)有意思.我就以這道題為契機(jī)，自主設(shè)置問題進(jìn)行探索求解——進(jìn)行一番數(shù)學(xué)暢想.

為了完成第（l）小題和找規(guī)律，我一定要不辭辛勞地多寫一些項(xiàng)，如圖2.這樣就輕松得到第（1）小題答案49.

第（2）小題要求解a_ij的通項(xiàng)公式.平時(shí)學(xué)的數(shù)列通項(xiàng)，只有一個(gè)變量，這個(gè)題目搞事情呀，怎么是雙變量呢？看著圖2中大量的數(shù)據(jù)和省略號(hào)，我心中不覺陣陣發(fā)毛，想必難寫！怎么辦？

不過要找出2017在等差數(shù)陣中的一個(gè)位置，可以在較小的行列中進(jìn)行試探.觀察數(shù)陣發(fā)現(xiàn)，這個(gè)數(shù)陣的數(shù)關(guān)于a_ij成對(duì)稱排列，即第一行的數(shù)和第一列的數(shù)一樣，第i行和第i列的數(shù)一樣，那么某數(shù)在a_ij位置出現(xiàn)，就必在a_ij位置出現(xiàn)，如果2 017出現(xiàn)在第一行，必有2017 =4+3（j-1），解得j=672，故2017出現(xiàn)在第1行第672列中，當(dāng)然也出現(xiàn)在第672行第1列中.它還會(huì)出現(xiàn)在別的位置嗎？繼續(xù)用這個(gè)辦法試探所有的，哦，NO，饒了我吧，這一定不是明智的想法，它定會(huì)有規(guī)律可循的，我得慢慢研究它.

暢想一：方陣暢想曲

我仔細(xì)觀察這些數(shù)據(jù)，嘿嘿，有了.從圖2中選取n行n列的方陣，對(duì)角線上行和列是相同的，相當(dāng)于一個(gè)變量，應(yīng)該簡(jiǎn)單得多，我先來解決它.

完成了對(duì)角線的通項(xiàng)，我們把目光再次轉(zhuǎn)移到任意方陣中來：任意一項(xiàng)的通項(xiàng)如何表示？如何判定任給一個(gè)數(shù)是否在這個(gè)方陣中？如果在，會(huì)出現(xiàn)多少次呢？

暢想二：矩陣暢想曲

用i，J直接表示a_ij的通項(xiàng)有困難，考慮到題目說每行、每列都是等差數(shù)列，我是不是可以采用迂回的方法，先表示每行或者每列的通項(xiàng)，再進(jìn)行觀察呢？說干就干.

暢想三：多媒體暢想曲

問題8 借用Excel表格，如何尋找規(guī)律呢？

分析 Excel有強(qiáng)大的運(yùn)算與分析能力，豐富的功能區(qū)菜單，面對(duì)大數(shù)據(jù)工作表的時(shí)候，進(jìn)行數(shù)據(jù)整理、計(jì)算、匯總、查詢、分析等處理，簡(jiǎn)直無所不能，太贊了！

我運(yùn)用Excel表格，查找2 017這個(gè)數(shù)在等差數(shù)陣中所在的一個(gè)位置，使用了如下方法.

問題9 運(yùn)用編程的方式解決問題，會(huì)否更方便呢？

我們現(xiàn)在正在學(xué)習(xí)Visual Basic語言編程，這道題目也符合編程的要求，不妨小試一下牛刀，從兩個(gè)不同角度編寫一下查找某數(shù)在等差數(shù)陣中的位置的程序，編寫的程序及結(jié)果如圖4和圖5所示.

運(yùn)行該程序，只要在方框內(nèi)輸入你想查找的數(shù)字，單擊查找，在窗體上就會(huì)列出該數(shù)字對(duì)應(yīng)的i，j的值，從而得出該數(shù)在數(shù)陣表格中的位置.

圖4是運(yùn)用了已經(jīng)算出的以a_ij=2ij +i+j這個(gè)通式，運(yùn)用二維數(shù)組進(jìn)行編程設(shè)計(jì)的.圖5是運(yùn)用了表格中給出的4個(gè)數(shù)字4，7，7，12，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，先算出第一行和第二行的各數(shù)，即i=l，2時(shí)，用公式a（i，j）=2*-a（i，j-1） a（i，j-2）計(jì)算出第一、二行.對(duì)于給定的數(shù)M，第一行可能出現(xiàn)的最大的列數(shù)是Int（（m -4）/3+1），下一列的數(shù)就超出M了.這個(gè)數(shù)就是最大的列數(shù)和行數(shù)，然后再利用a（i，j） =2*a（i-1，i）-a（i-2，j）計(jì)算其余的各行，直到最大的行.

暢想四：數(shù)陣變奏曲

對(duì)上面的表格進(jìn)行改編，一定可以得到一些有趣的規(guī)律.

改編一：使每行的公差始終為3，每列公差為5.除了前面的問題，還可以提出如下問題.

1.哪些數(shù)會(huì)在這個(gè)數(shù)陣中出現(xiàn)，哪些數(shù)不會(huì)出現(xiàn)？有規(guī)律可循嗎？

2.哪些教會(huì)出現(xiàn)兩次？三次？甚至無數(shù)多次？有規(guī)律或者公式嗎？

改編二：n²（n≥4）個(gè)正數(shù)排成n行n列的方陣：

數(shù)字構(gòu)成的數(shù)陣，千變?nèi)f化，只要你開洞大腦，不斷思考，你就可以收獲一片旖旎，欣賞無限絢麗的風(fēng)光，奏響一段愜意的暢想曲，

【指導(dǎo)老師點(diǎn)評(píng)】

馬思琪同學(xué)在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)了一道有趣的等差數(shù)陣問題，循著問題的腳步，不斷探究，運(yùn)用代數(shù)、Excel、編程三種辦法找出2017在等差數(shù)陣的位置，而且通過a_ij的通項(xiàng)設(shè)置出裂項(xiàng)求和等數(shù)列問題.善于學(xué)習(xí)思考和運(yùn)用多媒體工具解決問題是本文的一大特色，盡管學(xué)校學(xué)了一些VB編程語言，但要完成沒有學(xué)過的二維數(shù)組隨變量而精確定義，以及For語句與IF語句的嵌套運(yùn)用，還是困難不小，學(xué)習(xí)就是在這種自發(fā)的“嘗試與錯(cuò)誤”過程中完成的.