☉江蘇省江陰市第一中學(xué) 王 江
在高中數(shù)學(xué)中,有一類常見的試題類型,在解題過程中需要設(shè)一些題目中并沒有給定的變量,但是在解決過程中不需要算出這些變量的具體值,而是通過變形或者簡化處理將其消除,這就是本文所說的“設(shè)而不求”策略,其實(shí)質(zhì)就是從問題整體出發(fā),根據(jù)其結(jié)構(gòu)來進(jìn)行變式處理,借助科學(xué)轉(zhuǎn)化與運(yùn)算手段最大幅度地降低計算量,經(jīng)常以參數(shù)為過渡,以概念、定義、向量原理、基本不等式以及幾何性質(zhì)等為基礎(chǔ).“設(shè)而不求”策略應(yīng)用廣泛,在代數(shù)、幾何等內(nèi)容中均有所涉及,比如方程問題、函數(shù)問題、導(dǎo)數(shù)問題、不等式問題、解析幾何問題、向量問題等.
案例1已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,其中a、b∈R,函數(shù)f(x)值域?yàn)椋?,+∞).假設(shè)關(guān)于x的不等式x2+ax+b<c的解集為(m,m+6),試求解實(shí)數(shù)c的值.
解析:由題干信息可知,函數(shù)f(x)=x2+ax+b的值域?yàn)椋?,+∞),故判別式Δ=a2-4b=0.不等式x2+ax+b<c的解集為(m,m+6),也就是方程x2+ax+b=c的兩根分別為x1=m與x2=m+6.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知=6,已知x1+x2=-a,x1·x2=b-c,代入上述表達(dá)式有=6,將a2-4b=0整體代入,計算可得c的值為9.
總結(jié):在本題的解決過程中,關(guān)鍵的一點(diǎn)就是注意到m與m+6是方程x2+ax+b=c的兩根,在后續(xù)解答過程中,一般的處理方法是運(yùn)用求根公式將其求出,但是在本題中無法對其進(jìn)行求解.由于兩根具有“差值為6”這一顯著特征,因此將已知條件往兩根之差去轉(zhuǎn)化,再通過整體代入的方式來實(shí)現(xiàn)“設(shè)而不求”的目的,這也是處理方程的根的問題的重要思路方法.
案例2已知拋物線M:y2=4x,焦點(diǎn)為F,過F點(diǎn)作兩條垂直直線l1與l2,使得直線l1與拋物線M交于A、B兩點(diǎn),直線l2與拋物線M交于C、D兩點(diǎn),試求解|AB|+|CD|的最小值.
分析:根據(jù)已知條件,設(shè)出直線l1的方程,將其與拋物線方程進(jìn)行聯(lián)立,根據(jù)弦長公式確定|AB|的表達(dá)式,再根據(jù)兩直線垂直這一條件得到|CD|的表達(dá)式,最后利用基本不等式來求解最值問題.
解析:由已知信息可知,直線l1與l2的斜率均存在且不為0.設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x2,y2),直線l1的方程為:x=ty+1,聯(lián)立方程組可得y2-4ty-4=0,Δ=16t2+16>0,滿足y1+y2=4t,y1y2=-4.根據(jù)弦長公式可得同理可得由基本不等式可知因此|AB|+|CD|≥16,當(dāng)且僅當(dāng),即t=1或-1時等號成立.
總結(jié):在解析幾何最值問題中,我們往往結(jié)合基本不等式進(jìn)行處理.建立含參數(shù)的關(guān)系式,但不求解具體的參數(shù)值,而是整理得到基本不等式的形式,借助設(shè)而不求的思想方法進(jìn)行解決,這是解決解析幾何最值問題的常用方法.
案例3如圖1所示,已知拋物線的方程為x2=2py(p>0),M點(diǎn)為直線l:y=-2p上的任意一點(diǎn).經(jīng)過M點(diǎn)作拋物線的兩條切線,分別與拋物線相切于A點(diǎn)與B點(diǎn),假設(shè)A點(diǎn)在左,B點(diǎn)在右.當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-2)時,試求拋物線的方程以及直線AB的方程.
圖1
解析:因?yàn)镸點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-2),所以p=1.
所以拋物線的方程為x2=2y.
設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x2,y2),
所以切線MA的方程為:x1x=y1+y,切線MB的方程為:x2x=y2+y.
將M點(diǎn)的坐標(biāo)(2,-2)代入,可得:2x1=y1-2,2x2=y2-2.
所以直線AB的方程為2x=y-2.
總結(jié):在解決拋物線外一點(diǎn)的切線問題時,可以先設(shè)出切線方程,但是不需要進(jìn)行求解,可解出切點(diǎn)弦以及弦的距離,通過整體代換的方式,利用設(shè)而不求的思想,從而得到相應(yīng)的方程式.
“設(shè)而不求”的技巧方法在解決高中數(shù)學(xué)問題時具有廣泛的應(yīng)用,可以很好地拓寬學(xué)生的思維,促進(jìn)學(xué)生的動態(tài)發(fā)展.在教學(xué)過程中,教師要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成全面思考、宏觀與微觀相結(jié)合的思維方式,提高學(xué)生的思維與解題能力,進(jìn)而提升數(shù)學(xué)教學(xué)的效果,促進(jìn)學(xué)生的綜合發(fā)展.對于“設(shè)而不求”這一類問題,教師要形成兩個基本的認(rèn)識:其一是定位明確,全面理解并充分認(rèn)識這一類問題的靈活性與多變性,強(qiáng)化學(xué)生的辯證思維,杜絕機(jī)械、呆板的思維方式;其二是突出方法重點(diǎn),解決學(xué)習(xí)難點(diǎn),抓住“設(shè)而不求”的技巧方法的重點(diǎn),即“設(shè)什么”以及“如何設(shè)”,在此基礎(chǔ)上強(qiáng)化學(xué)生提取信息以及實(shí)現(xiàn)代數(shù)變形的能力,這需要學(xué)生具備一定的整體思維能力,這也是這一方法的必要素養(yǎng).