山西省臨汾市第三中學(xué)(041000) 浙江省寧波市北侖明港中學(xué) (315806)
張榮華 甘大旺
文[1]中介紹多元函數(shù)在已知條件下求極值的拉格朗日乘數(shù)法,文[2]介紹二元函數(shù)在已知條件下求極值的待定系數(shù)乘數(shù)法.前者運(yùn)用偏導(dǎo)數(shù),屬于高中生靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的一個(gè)最近發(fā)展區(qū);后者運(yùn)用初等方法,也有探究趣味.本文雙向延伸[1]的思路,給出了拉格朗日乘數(shù)法的兩點(diǎn)札記,供參考.
札記1泛化運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法求多元函數(shù)的最值,條件等式可能不止一個(gè).
例1 (2015年全國聯(lián)賽題)若實(shí)數(shù)a、b、c滿足2a+4b=2c,4a+2b=4c,求c的最小值.
解:設(shè)x=2a、y=2b、z=2c,則得到兩個(gè)條件等式x+y2=z、x2+y=z2.
由(1)(2)得u(4xy-1)=0(6),
由(1)(3)得2u(x-z)=-1≠0(7).
則由(6)(7)得4xy=1≠0(8).
訓(xùn)練題1.1 (2018年吉林省競賽題改編題)已知正實(shí)數(shù)x、y、z滿足x+y=xy,且x+y+z=xyz,求z的最大值.
訓(xùn)練題1.2 (第60屆捷克和斯洛伐克決賽題)已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足x+y+z=12,且x2+y2+z2=54,求證:xy、yz、zx均在[9,25]的范圍內(nèi).
提示:先取拉格朗日函數(shù)L(x,y,z)=xy+λ(x+y+z-12)+μ(x2+y2+z2-54),可求9≤xy≤25.同理得,9≤yz≤25,9≤zx≤25.
札記2退化運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法求多元函數(shù)的最值,條件等式可能不存在.
例2 (2009年中國科大自主招生題)求證:?x、y∈R,x2+y2+xy≥3(x+y-1)恒成立.
于是(1,1)是二元函數(shù)f(x,y)的唯一極值點(diǎn).又因?yàn)閒(1,1)=0 注釋:在此例解題過程中,設(shè)想增加一個(gè)恒成立條件等式1=1,并設(shè)想拉格朗日函數(shù)L(x,y)=x2+y2+xy-3(x+y-1)+λ(1-1),從而可以理解此例的解題思路實(shí)質(zhì)上是貫通運(yùn)用了拉格朗日乘數(shù)法的退化形式. 訓(xùn)練題2.1 (2017年清華大學(xué)標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力測模擬試題,正確選項(xiàng)不一定唯一)設(shè)x、y∈R,函數(shù)f(x,y)=x2-2xy+6y2-14x-6y+72的值域?yàn)镸,則( ). A.1∈MB.2∈MC.3∈MD.4∈M 提示:可求二元函數(shù)f(x,y)的有唯一極值點(diǎn)(9,2),再不妨取點(diǎn)(0,0),驗(yàn)算得f(9,2)=3<72=f(0,0),于是f(x,y)的值域M=[3,+∞),所以選C、D. 最后指出,把拉格朗日乘數(shù)法及其泛化、退化形式納入高中數(shù)學(xué)的校本選修教材之中是可教、易學(xué)、有用的!